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Vídeo da aula: Resolvendo Equações Exponenciais Graficamente Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como resolver equações exponenciais utilizando métodos gráficos.

18:33

Transcrição do vídeo

Resolvendo Equações Exponenciais Graficamente

Neste vídeo, aprenderemos como determinar o número de soluções para uma equação exponencial dada graficamente e também veremos como aplicar isto para resolver equações exponenciais utilizando métodos gráficos. Antes de começarmos a tentar resolver as equações exponenciais graficamente, vamos começar por recordar o que queremos dizer com função exponencial.

Lembramos que uma função exponencial é uma da forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 multiplicado por 𝑏 elevado a 𝑥, onde 𝑏 é positivo e 𝑏 não pode ser igual a um. Bem, é importante notar que estes não são o único exemplo de funções exponenciais. Por exemplo, poderemos multiplicar o nosso valor de 𝑥 por uma constante, ou adicionar uma constante a este valor de 𝑥, e esta ainda será uma função exponencial. No entanto, por enquanto, vamos concentrar-nos apenas neste tipo de função exponencial. Isto significa que uma equação exponencial é uma equação que envolve uma função exponencial. Então, esta é uma da forma 𝑎 vezes 𝑏 elevado a 𝑥 que é igual a uma função 𝑔 de 𝑥. Uma solução para esta equação será um valor de 𝑥 que torna os dois membros da equação iguais.

Às vezes, podemos resolver equações utilizando manipulação algébrica. No entanto, para equações exponenciais, isto geralmente é muito difícil. Isto acontece porque 𝑥, a nossa variável, aparece no expoente. Então, em vez disso, vamos concentrar-nos em determinar estas soluções graficamente. Para ver como podemos resolver uma equação exponencial graficamente, vamos começar com um exemplo. Vamos assumir que o gráfico da função exponencial 𝑦 é igual a quatro elevado a 𝑥 e digamos que nos pedem para resolver a equação quatro elevado a 𝑥 igual a um. Isto significa que precisamos de determinar o valor de 𝑥 que substituímos na nossa função exponencial para produzir um valor de um. Podemos fazer isto utilizando o nosso gráfico. Lembre-se, a coordenada em 𝑦 de cada ponto da nossa curva diz-nos o valor da imagem da nossa função neste valor de 𝑥.

Queremos saber quando é que a nossa função produz o valor de um, produzirá o valor de imagem de um quando a sua coordenada em 𝑦 for igual a um. Então, esboçamos a reta 𝑦 igual a um nos nossos eixos. Podemos então ver quando a nossa curva tem um valor de 𝑦 de um. Tem um valor de 𝑦 de um quando o seu valor de 𝑥 é igual a zero. Por outras palavras, mostrámos que há um ponto de interseção entre a reta 𝑦 igual a um e a curva 𝑦 igual a quatro elevado a 𝑥. Este é o ponto com coordenadas zero, um. Neste valor de 𝑥, a nossa função quatro elevado a 𝑥 e a função um geram o mesmo valor. Estas geram o valor de um. Portanto, esta deve ser uma solução para a nossa equação. 𝑥 igual a zero resolve a equação quatro elevado a 𝑥 igual a um.

Existem algumas outras coisas que podemos notar. Por exemplo, este é o único ponto de interseção entre a nossa reta e a curva. E cada solução da nossa equação será um ponto de interseção entre a reta e a curva. Então, como há apenas um ponto de interseção entre a reta e a curva, podemos concluir que há apenas uma solução para esta equação. Também é importante notar que podemos verificar se 𝑥 é igual a zero é uma solução da nossa equação, substituindo 𝑥 igual a zero em ambos os membros da equação e certificando-se de que são iguais. Vamos começar com a substituição de 𝑥 igual a zero no primeiro membro da equação.

Substituindo 𝑥 igual a zero no primeiro membro da nossa equação, obtemos quatro elevado a zero. E podemos calcular isto utilizando as nossas regras das potências. Sabemos que qualquer número diferente de zero elevado a zero é sempre igual a um. Podemos então fazer o mesmo com o segundo membro da nossa equação. No entanto, o segundo membro desta equação é apenas um valor constante de um, portanto, o valor de 𝑥 não afeta este valor. Portanto, quando 𝑥 é igual a zero, o primeiro e o segundo membros da nossa equação são iguais. Isto confirma que 𝑥 igual a zero é uma solução da nossa equação.

Podemos utilizar exatamente este mesmo método para resolver outras equações exponenciais. Por exemplo, vamos resolver a equação quatro elevado a 𝑥 igual a cinco menos 𝑥. Mais uma vez, uma vez que uma solução da nossa equação é um valor de 𝑥 tal que ambos os membros da nossa equação são iguais, podemos determinar as soluções da nossa equação procurando pontos de interseção entre a curva 𝑦 igual a quatro elevado a 𝑥 e a reta 𝑦 igual a cinco menos 𝑥 porque os pontos de interseção terão a mesma imagem para ambas as funções, ou seja, serão soluções da nossa equação.

Já temos um gráfico de 𝑦 igual a quatro elevado a 𝑥. Portanto, no mesmo eixo, devemos esboçar a reta 𝑦 igual a cinco menos 𝑥. Primeiro, sabemos que a sua interseção em 𝑦 é cinco. Também podemos determinar a interseção em 𝑥 desta reta. Substituímos 𝑦 igual a zero e resolvemos o nosso valor de 𝑥. Vemos que a interseção com 𝑥 desta reta é quando 𝑥 é igual a cinco. Podemos utilizar isto para traçar a reta. Sabemos que a sua interseção em 𝑦 está em cinco e a sua interseção em 𝑥 também está em cinco. Então, a reta que liga estes dois pontos é a reta 𝑦 igual a cinco menos 𝑥.

Finalmente, podemos ver que há um ponto de interseção entre a nossa curva e a nossa reta, e este será o ponto em que as imagens de ambas as funções são iguais. Podemos ver que a coordenada em 𝑥 deste ponto de interseção é um. Então, temos que 𝑥 igual a um é uma solução para a nossa equação. E, de facto, como este é o único ponto de interseção entre a reta e a curva, esta é a única solução da nossa equação. No entanto, precisamos de ter cuidado. Esboçamos a reta 𝑦 igual a cinco menos 𝑥 e utilizamos isto para estimar o ponto de interseção entre a reta e a curva. Portanto, não podemos ter certeza de que 𝑥 é igual a um é a solução exata da nossa equação, pois estamos a aproximar utilizando o nosso esboço.

Para mostrar que 𝑥 é igual a um é a solução para esta equação, vamos precisar de substituir 𝑥 é igual a um no primeiro e no segundo membro da nossa equação e verificar se são iguais. Podemos começar com o primeiro membro da nossa equação. Substituindo 𝑥 igual a um, obtemos quatro elevado a um. E ao utilizar as nossas regras das potências, sabemos que qualquer número elevado à primeira potência é igual a si próprio. Então, quatro elevado a quatro é igual a quatro. Podemos então fazer o mesmo com o segundo membro da nossa equação. Substituindo 𝑥 igual a um, obtemos cinco menos um, que podemos calcular igual a quatro. Portanto, como o primeiro e o segundo membro da nossa equação são iguais quando 𝑥 é igual a um, podemos concluir que 𝑥 é igual a um é uma solução da nossa equação exponencial.

Até agora, todas as nossas equações tiveram soluções. No entanto, também é possível que uma equação não tenha soluções. Por exemplo, podemos ver que a reta 𝑦 é igual a menos dois e a curva 𝑦 é igual a quatro elevado a não tem pontos de interseção. Isto significa que se nos pedissem para resolver a equação quatro elevado a 𝑥 igual a menos dois utilizando o diagrama dado, poderíamos concluir que não há soluções para esta equação porque qualquer solução para esta equação será um O ponto de interseção entre a curva 𝑦 é igual a quatro elevado a 𝑥 e a reta 𝑦 é igual a menos dois. E, em vez de dizer que não há soluções para esta equação, podemos introduzir a ideia do conjunto-solução.

O conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções dessa equação. Então, em vez de dizer que a equação quatro elevado a 𝑥 é igual a menos dois não tem soluções, podemos dizer que o seu conjunto-solução é o conjunto vazio. Vamos agora ver um exemplo em que temos o gráfico de uma função exponencial e precisamos de o utilizar para determinar o conjunto-solução de uma equação exponencial.

Utilize o gráfico dado da função 𝑓 de 𝑥 igual a dois elevado a cinco menos 𝑥 para determinar o conjunto-solução da equação dois elevado a cinco menos 𝑥 é igual a dois.

Nesta questão, temos o gráfico de uma função exponencial e esta função exponencial aparece na equação exponencial fornecida. Precisamos de utilizar isto para determinar o conjunto-solução da equação. Primeiro, lembramos que o conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções dessa equação. Portanto, estamos à procura do conjunto de todos os valores de 𝑥 que equilibram os dois membros da equação. Outra maneira de pensar nisto é, como dois elevado a cinco menos 𝑥 é igual à função 𝑓 de 𝑥, podemos substituir 𝑓 de 𝑥 na nossa equação. Isto dá-nos a equação 𝑓 de 𝑥 igual a dois. Estamos à procura do conjunto de todos os valores de 𝑥 tais que 𝑓 de 𝑥 seja igual a dois.

Para determinar estes valores de 𝑥, podemos lembrar que cada ponto na curva 𝑦 é igual a 𝑓 de 𝑥 terá coordenadas da forma 𝑥, 𝑓 de 𝑥. Por outras palavras, as coordenadas em 𝑦 dos pontos na curva dizem-nos as imagens da nossa função para o valor dado de 𝑥. Queremos determinar os valores de 𝑥 onde a nossa função produz dois. Estes serão os pontos da nossa curva com coordenada em 𝑦 igual a dois. Portanto, podemos determiná-los esboçando a reta 𝑦 igual a dois no mesmo conjunto de eixos. Podemos ver que há apenas um ponto na nossa curva de coordenada em 𝑦 igual a dois. Será o ponto de interseção entre a reta 𝑦 igual a dois e a curva 𝑦 igual a dois elevado a cinco menos 𝑥. A coordenada em 𝑦 deste ponto é dois e a sua coordenada em 𝑥 é quatro. Por outras palavras, quando 𝑥 é igual a quatro, a nossa função produz dois. 𝑓 calculado em quatro é dois.

Portanto, 𝑥 igual a quatro é uma solução da nossa equação. Na verdade, como este é o único ponto de interseção entre a reta e a curva, esta é a única solução da nossa equação. Isto significa que o conjunto-solução da nossa equação é apenas o conjunto que contém quatro.

Também é importante notar que podemos verificar a nossa resposta substituindo 𝑥 igual a quatro na nossa equação ou na nossa função. Substituindo 𝑥 igual a quatro na nossa função 𝑓 de 𝑥, obtemos 𝑓 calculado como quatro é dois elevado a cinco menos quatro. Cinco menos quatro é igual a um. Então, isto simplifica para nos dar dois elevado a um. E qualquer número elevado a um é igual a si mesmo. Então, 𝑓 calculado em quatro é igual a dois, que é exatamente o mesmo que o segundo membro da nossa equação, confirmando que 𝑥 é igual a quatro é uma solução da nossa equação. Portanto, fomos capazes de mostrar que o conjunto-solução da equação dois elevado a cinco menos 𝑥 é igual a dois é apenas o conjunto que contém quatro.

Vamos agora ver outro exemplo em que temos o gráfico de uma função exponencial e precisamos de o utilizar para resolver uma equação exponencial.

O diagrama mostra que o gráfico de 𝑓 de 𝑥 é igual a dois elevado a dois 𝑥. Utilize este gráfico para determinar o conjunto-solução da equação dois elevado a dois 𝑥 igual a quatro.

Nesta questão, temos o gráfico de uma função exponencial e é-nos pedido para resolver uma equação exponencial onde esta função aparece. Para fazer isto, começamos por lembrar que o conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções dessa equação. Isto significa que estamos à procura de todos os valores de 𝑥 que resolvem a equação dois elevado a dois 𝑥 igual a quatro. Para nos ajudar a fazer isto, vamos começar por substituir dois elevado a dois 𝑥 na nossa equação por 𝑓 de 𝑥. Isto significa que a equação que nos pedem para resolver pode ser reescrita, pois 𝑓 de 𝑥 é igual a quatro.

Por outras palavras, estamos apenas à procura dos valores de 𝑥 tais que a nossa função 𝑓 produza um valor de quatro. E podemos lembrar que a coordenada em 𝑦 de um ponto na nossa curva diz-nos o valor da imagem de uma função para esse valor de 𝑥. Portanto, podemos determinar todos os valores em que a nossa função produz quatro, esboçando a reta 𝑦 igual a quatro no nosso diagrama. E podemos ver no nosso diagrama que há apenas um ponto na nossa curva com coordenada em 𝑦 igual a quatro. Este é o ponto das coordenadas um, quatro.

E vale a pena reiterar que isto nos diz que 𝑓 calculado em um é igual a quatro. E, portanto, um é uma solução para a nossa equação. De facto, todas as soluções da nossa equação serão um ponto de interseção entre a reta 𝑦 igual a quatro e a curva 𝑦 igual a dois elevado a dois 𝑥. Então, porque podemos ver que há apenas um ponto de interseção, sabemos que há apenas uma solução. Portanto, o conjunto-solução da equação dois elevado a dois 𝑥 é apenas o conjunto que contém um.

Vamos agora ver um exemplo em que primeiro precisamos de reorganizar a equação exponencial que nos foi dada.

O diagrama mostra que o gráfico de 𝑓 de 𝑥 é igual a dois elevado a 𝑥 sobre dois. Utilize este gráfico para determinar o conjunto-solução da equação dois elevado a 𝑥 sobre dois mais cinco igual a nove.

Nesta questão, temos o gráfico de uma função exponencial 𝑓 de 𝑥. E pedem-nos para utilizar isto para determinar o conjunto-solução de uma equação que contém a nossa função 𝑓 de 𝑥. Para fazer isto, começamos por recordar que o conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções dessa equação. Neste caso, será o conjunto de todos os valores de 𝑥, tais que dois elevado a 𝑥 sobre dois mais cinco é igual a nove. Para responder a esta questão, pode ajudar-nos a reescrever a nossa equação exponencial em termos da função 𝑓 de 𝑥. Substituindo dois elevado a 𝑥 sobre dois é igual a 𝑓 de 𝑥 na nossa equação, obtemos 𝑓 de 𝑥 mais cinco igual a nove. Podemos simplificar ainda mais esta equação subtraindo cinco de ambos os membros. Obtemos 𝑓 de 𝑥 igual a nove menos cinco, o que simplifica para nos dar 𝑓 de 𝑥 igual a quatro. Portanto, queremos determinar os valores de 𝑥 de modo que a nossa função produza um valor de quatro.

Lembre-se de que a coordenada em 𝑦 de qualquer ponto da nossa curva nos diz o valor da imagem da nossa função nesse valor de 𝑥. Então, queremos determinar todos os pontos da nossa curva com coordenada em 𝑦 quatro. Fazemos isto esboçando a reta 𝑦 igual a quatro no nosso diagrama. Podemos ver que há apenas um ponto de interseção entre a nossa reta e a nossa curva. E podemos ver que este ponto tem coordenada em 𝑥 quatro. Portanto, quando inserimos um valor de 𝑥 igual a quatro na nossa função, o valor de saída é quatro. 𝑓 de quatro é igual a quatro. E, de facto, como este é o único ponto de interseção entre a nossa reta e a nossa curva, esta é a única solução para a nossa equação. Portanto, o conjunto-solução desta equação é o conjunto que contém quatro.

Podemos verificar se 𝑥 igual a quatro é uma solução para a nossa equação substituindo 𝑥 igual a quatro no primeiro membro da nossa equação. Substituindo 𝑥 igual a quatro no primeiro membro da nossa equação, obtemos dois elevado a quatro sobre dois mais cinco, o que podemos simplificar quatro sobre dois é igual a dois. Então, isso é igual a dois ao quadrado mais cinco. E a seguir, podemos calcular isto. Dois ao quadrado é igual a quatro. Então, temos quatro mais cinco, que é igual a nove, que podemos ver é exatamente igual ao segundo membro desta equação. Portanto, quatro é uma solução da nossa equação e sabemos que é a única solução. Portanto, o conjunto-solução da equação dois elevado a 𝑥 sobre dois mais cinco é igual a nove é o conjunto que contém quatro.

Vamos agora ver um exemplo em que a nossa equação exponencial envolve uma função linear.

Utilize os gráficos embaixo para responder à seguinte questão. Verdadeiro ou falso: a equação dois elevado a 𝑥 é igual a menos 𝑥 não tem solução.

Nesta questão, temos o gráfico de duas funções. Vamos começar por determinar de que duas funções são estes gráficos. Primeiro, podemos ver que a nossa reta passa pela origem, então a sua interseção em 𝑦 é zero. Em seguida, podemos ver que para cada unidade que atravessamos, percorremos uma unidade para baixo. Portanto, o seu declive é negativo. Na forma reduzida, esta é a reta 𝑦 igual a menos um 𝑥 mais zero, que é apenas 𝑦 igual a menos 𝑥. A nossa outra curva tem a forma de uma função exponencial e podemos ver que passa pelo ponto com as coordenadas um, dois. Se substituirmos 𝑥 igual a um na função dois elevado a 𝑥, podemos ver que isto gera um valor de dois. Poderemos fazer isto com outros pontos da nossa curva para concluir que este é realmente um esboço da curva 𝑦 igual a dois elevado a 𝑥.

Precisamos de utilizar estes gráficos para determinar se a equação dois elevado a 𝑥 é igual a menos 𝑥 tem uma solução ou não. Podemos ser tentados a tentar resolver isto utilizando manipulação. No entanto, isto será muito difícil porque 𝑥 aparece no expoente e não no expoente. Em vez disso, lembre-se de que uma solução desta equação é um valor de 𝑥 tal que ambos os membros da equação são iguais. Por outras palavras, precisamos de inserir um valor de 𝑥 na função dois elevado a 𝑥 e, em seguida, colocar o mesmo valor na função menos 𝑥 para obter a mesma imagem. Podemos fazer isto diretamente a partir do nosso gráfico. Para que as imagens destas duas funções sejam iguais ao mesmo objeto 𝑥, estas devem ter um ponto de interseção. Isto acontece porque a coordenada em 𝑦 diz-nos as imagens desta função para o objeto dado.

Portanto, como há um ponto de interseção entre a reta e a curva, podemos concluir que dois elevado a 𝑥 é igual a menos 𝑥 tem uma solução. Na verdade, podemos até aproximar este valor tentando ler a sua coordenada em 𝑥 no gráfico. Fazendo isso, obteríamos que 𝑥 é aproximadamente igual a menos 0.6. Portanto, fomos capazes de mostrar que é falso que a equação dois elevado a 𝑥 seja igual a menos 𝑥 não tenha soluções.

No nosso exemplo final, resolveremos uma equação exponencial graficamente também esboçando uma função linear no mesmo gráfico.

O gráfico seguinte mostra que a função 𝑓 índice um de 𝑥 é igual a dois elevado a menos 𝑥. Utilize este gráfico e represente a função 𝑓 índice dois de 𝑥 igual a 𝑥 mais três para determinar o conjunto-solução da equação dois elevado a menos 𝑥 igual a 𝑥 mais três.

Nesta questão, temos duas funções 𝑓 índice um de 𝑥 e 𝑓 índice dois de 𝑥, e temos um gráfico da função 𝑦 igual a 𝑓 índice um de 𝑥. Somos solicitados determinar o conjunto-solução de uma equação. E como 𝑓 índice um de 𝑥 é igual ao primeiro membro desta equação e 𝑓 índice dois de 𝑥 é igual ao segundo membro desta equação, a equação é 𝑓 índice um de 𝑥 igual a 𝑓 índice dois de 𝑥. Podemos resolver esta equação graficamente. Qualquer solução desta equação será um ponto de interseção entre a curva 𝑦 igual a 𝑓 índice um de 𝑥 e a reta 𝑦 igual a 𝑓 índice dois de a 𝑥. Como o ponto de interseção terá a mesma coordenada em 𝑦 e a coordenada em 𝑦 será a imagem da função para a coordenada em 𝑥 dada, o que significa que as imagens da função serão iguais, então a nossa equação poderá ser resolvida.

Precisamos de esboçar a curva 𝑦 igual a 𝑥 mais três. Primeiro, notamos que a sua interseção com 𝑦 será em três. Também podemos determinar que a sua interseção com by substituindo 𝑦 é igual a zero. Resolvendo isto, obtemos que 𝑥 é igual a menos três. Podemos então traçar nossa reta. A sua interseção em 𝑦 está em três e a sua interseção em 𝑥 está em menos três. Isto permite-nos traçar a nossa reta. Acabámos de relacionar a interseção com O𝑦 e O𝑥 com uma reta. Então, o único ponto de interseção entre a nossa reta e a nossa curva será a única solução da nossa equação. Podemos ler a sua coordenada em 𝑥; a sua coordenada em 𝑥 é menos um.

Então, como a questão nos pede para escrever isto como um conjunto-solução, vamos escrever isto como o conjunto que contém menos um. Portanto, fomos capazes de mostrar que o conjunto-solução da equação dois elevado a menos 𝑥 é igual a 𝑥 mais três é apenas o conjunto que contém menos um.

Vamos agora repassar alguns dos pontos principais deste vídeo. Primeiro, o conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções dessa equação, ou seja, é o conjunto de todos os valores que satisfazem a equação. E, em particular, se uma equação não tiver soluções, podemos dizer que o conjunto-solução é o conjunto vazio. A seguir, vimos que podemos resolver a equação 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑥 determinando as coordenadas em 𝑥 de todos os pontos de interseção entre os gráficos 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 e 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑔.

Cada ponto de interseção é uma solução da equação. E se não houver pontos de interseção, não há soluções para a equação. Finalmente, vimos que as soluções gráficas para as equações podem ser aproximações. Isto é particularmente verdadeiro se precisarmos de esboçar uma das funções. Nestes casos, devemos utilizar as linhas da grelha para tentar tornar a nossa aproximação o mais precisa possível.

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