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Vídeo da aula: Quantidades Escalares e Vetoriais Física • 9º Ano

Neste vídeo, vamos aprender como distinguir entre quantidades escalares com comprimento e quantidades vetoriais com direção, sentido e norma.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, o nosso tópico é sobre quantidades escalares e vetoriais. Vamos aprender a definir estes dois termos, bem como maneiras diferentes de combinar quantidades escalares e vetoriais. Podemos ver que este esboço aqui está a sugerir uma diferença entre eles. Mas, para esclarecer as coisas à medida que começamos, vamos definir estes dois termos.

Uma quantidade escalar, ou um escalar para abreviar, é uma quantidade ou número de algo que é descrito completamente pelo comprimento ou tamanho. Como um exemplo simples disso, se tivéssemos, digamos, cinco maçãs, a quantidade escalar que descreve o número de maçãs é simplesmente cinco maçãs. Em geral, uma quantidade escalar pode ser apenas um número puro por si só. Neste caso, seriam cinco. Ou pode ser um número junto com uma unidade. E neste exemplo, podemos pensar na palavra maçãs como uma unidade, o tipo de coisa que estamos a quantificar.

Mas vamos pensar noutros exemplos de quantidades escalares. Digamos que tivemos que ir ao supermercado, e a loja ficava a 1.3 quilómetros de distância. Esta é uma quantidade escalar. E, em geral, isso vale para qualquer distância. Ou se planeássemos encontrar-nos com um amigo daqui a 30 minutos? Esta é uma hora, e todos os valores das horas são escalares. O mesmo vale para temperaturas e também rapidez. Nesta altura, podemos começar a pensar em que tipo de quantidades não são escalares. Ou seja, o que resta para as quantidades vetoriais descreverem? Mas primeiro, uma definição.

Podemos dizer que quantidades vetoriais, ou vetores para abreviar, são quantidades completamente descritas por uma norma, uma direção e um sentido. Voltando ao exemplo no nosso ecrã de abertura destas duas aves de rapina, se soubessem que o coelho não estava a apenas cinco quilómetros de distância, mas cinco quilómetros a este, saberiam o deslocamento do coelho em relação a si. Vemos que este deslocamento tem uma norma, que é de cinco quilómetros, além de uma direção e sentido, que é a este e, portanto, é um vetor. Todos os deslocamentos partilham esta qualidade.

Outro tipo de quantidade vetorial é todas as forças. A descrição completa de uma força envolve a sua norma, neste caso, sete newtons, bem como a direção e sentido em que a força atua. Portanto, uma força é um vetor, assim como uma aceleração. Sempre que definimos completamente uma aceleração, descrevemos a sua norma, geralmente em metros por segundo ao quadrado. E também dizemos para onde está a apontar. E, como último exemplo, todas as velocidades também são vetores. E observe que, neste caso, escolhemos uma norma para a velocidade que corresponde à nossa rapidez. Então a velocidade, que é um vetor, é uma rapidez, uma quantidade escalar, nalguma direção e nalgum sentido. A propósito, o vetor deslocamento e a distância escalar funcionam da mesma maneira. O vetor deslocamento consiste numa distância, um escalar, nalguma direção e nalgum sentido, neste caso, este.

Agora que sabemos o que são quantidades escalares e vetoriais, vamos considerar maneiras diferentes de combiná-las. Para começar, vamos imaginar que gostaríamos de combinar uma quantidade escalar com outra quantidade que também é escalar. Digamos que estas duas quantidades sejam, por um lado, cinco metros, uma distância e, por outro, 13 kelvin, uma temperatura. Podemos ver imediatamente que, embora estas quantidades sejam escalares, não faz sentido adicioná-las ou subtrair uma da outra. Só poderíamos fazer isso se as nossas duas quantidades escalares tivessem o mesmo tipo de unidade. Por exemplo, digamos que queríamos combinar cinco metros com 27 metros. Ambos são escalares e, nesse caso, não haveria problema em adicioná-los ou subtrair um do outro.

Podemos dizer que, em geral, se quisermos combinar duas quantidades escalares, desde que as unidades correspondam, podemos adicioná-las ou subtraí-las. E se considerarmos combinar duas quantidades vetoriais, obteremos um resultado semelhante. Digamos, por exemplo, que gostaríamos de combinar estes dois vetores: uma força de oito newtons a oeste com uma velocidade de três metros por segundo para a direita. Assim como as nossas duas quantidades escalares de tipo semelhante, não podemos adicionar estes vetores ou subtrair um do outro porque também são de tipos diferentes. A maneira mais rápida de ver isso é perceber que têm diferentes unidades, newtons e metros por segundo.

Portanto, mesmo que estas duas quantidades sejam vetores, não podemos adicioná-las e subtraí-las devido à incompatibilidade das unidades. Mas se tivessem o mesmo tipo de unidades, digamos esta força aqui e esta que acabámos de definir, então combiná-las por adição ou subtração faria sentido. Portanto, se queremos combinar um escalar com um escalar ou um vetor com um vetor, podemos adicionar ou subtrair esses pares de quantidades desde que as suas unidades concordem. E agora vamos considerar uma terceira possibilidade de combinar escalares e vetores.

E se quiséssemos combinar uma quantidade escalar com uma quantidade vetorial? Por exemplo, digamos que queremos combinar um tempo, digamos, 16 segundos, com um vetor de aceleração, digamos, dois metros por segundo ao quadrado para a esquerda. Com estes exemplos, fica claro para nós imediatamente que não podemos simplesmente adicionar ou subtrair estas quantidades escalar e vetorial. Mas, para explorar um pouco esta ideia, digamos que a quantidade escalar e a quantidade vetorial que escolhemos tenham realmente o mesmo tipo de unidades. Por exemplo, e se quiséssemos combinar uma velocidade, que é escalar, com unidades de metros por segundo, com velocidade, que é um vetor, mas que possui as mesmas unidades? Acontece que, mesmo neste caso de concordância de unidades, não podemos adicionar ou subtrair um escalar e um vetor.

Imagina, por exemplo, tentar adicionar três metros por segundo a quatro metros por segundo para norte. Como a nossa quantidade vetorial tem uma direção e um sentido, não saberíamos, na verdade, como combinar estes aspetos de direção e sentido com um escalar sem direção. Nós simplesmente não temos estas informações acerca da rapidez e, portanto, não podemos adicioná-las a uma velocidade. Talvez surpreendentemente, isso não significa que não haja como combinar uma quantidade escalar com uma quantidade vetorial. Isso acontece porque as operações matemáticas de multiplicação e divisão ainda estão abertas para nós.

E, por mais estranho que possa parecer, estas operações entre um escalar e um vetor, em geral, são permitidas. Como exemplo, digamos que dividimos a nossa aceleração, um vetor, por este período de tempo, um escalar. O resultado disso seria uma fração, dois dezasseis avos, ou equivalente a um oitavo, de um metro por segundo ao quadrado por segundo, atuando para a esquerda. Agora, um metro por segundo ao quadrado por segundo também pode ser escrito como um metro por segundo ao cubo. E, assim, o que temos aqui é essencialmente uma taxa de variação temporal de uma aceleração, ou seja, o quanto uma aceleração em metros por segundo ao quadrado muda a cada segundo.

Agora, esta é definitivamente uma unidade estranha e não uma que costumamos encontrar, mas isso não significa que seja proibida ou impossível. Poderíamos imaginar um cenário em que uma aceleração muda com o tempo. E assim, embora talvez seja muito incomum, esta maneira de combinar estas duas quantidades é permitida. Outros exemplos podem mostrar-nos que, assim como a divisão é permitida, o mesmo acontece com a multiplicação entre uma quantidade escalar e vetorial. Então, vamos resumir desta maneira. Quando queremos combinar um escalar com um vetor, não podemos adicioná-los ou subtraí-los, mas podemos multiplicar ou dividir.

Agora, um último ponto que podemos destacar sobre a combinação de escalares e vetores é que, quando estamos a pensar em juntar um vetor e um vetor, combinando-os por adição ou subtração, se isso for permitido — ou seja, se as unidades corresponderem — então podemos fazer isso graficamente e aritmeticamente. Para ver como funciona, vamos abrir um pouco de espaço no ecrã e desenhar um par de eixos coordenados. Agora, o que queremos fazer aqui é combinar graficamente dois vetores, que diremos que são de forças. Já temos uma força oito newtons para oeste e, portanto, vamos definir outra. Digamos que são dois newtons para sul.

Estas unidades de newtons e as direções e sentidos a eles associadas, oeste e sul, mostram-nos como podemos identificar os eixos no nosso gráfico. Digamos que esta direção e sentido seja para norte, esta direção e sentido é para este e que os nossos eixos estejam marcados em unidades de newtons assim. Agora, quando traçarmos o nosso vetor de oito newtons para oeste neste gráfico, veremos imediatamente que precisaremos de estender o nosso eixo para oeste. Mas, uma vez feito isto, podemos traçar a nossa força de oito newtons para oeste. Começa na origem e depois segue oito unidades, oito newtons, na direção oeste. Em seguida, podemos esboçar a nossa força de dois newtons para o sul. Isso ficará assim no nosso gráfico.

Agora, dissemos anteriormente que, se tivermos dois vetores e as suas unidades concordarem, podemos adicioná-las ou subtraí-las. Como estes vetores são as duas forças, atendem à condição de ter as mesmas unidades. Portanto, devemos poder, por exemplo, adicioná-las. E quando os vetores são representados juntos no mesmo gráfico, assim, utilizamos o chamado método do triângulo para o fazer. Este método funciona assim. Começando com um dos nossos dois vetores, localizamos a origem deste vetor. Digamos que começamos com o nosso vetor de oito newton para oeste, o que significa que a origem está aqui. Então, esta é a nossa pista no método do triângulo.

Então, o que fazemos é localizar a extremidade do outro vetor. É este ponto aqui. E deslocamos ou movemos o segundo vetor para que a sua extremidade fique junto à origem do primeiro. Então, isto envolveria mover o nosso vetor dourado, aquele que aponta dois newtons para sul, assim. Agora que os nossos vetores estão dispostos origem com extremidade, começamos no início, a origem do primeiro, que está na origem. E desenhamos um vetor desse ponto até a extremidade do nosso segundo vetor. Então, podemos dizer que, se o nosso primeiro vetor era o vetor 𝐀 e o segundo era o vetor 𝐁, então este vetor verde que acabámos de desenhar é igual a 𝐀 mais 𝐁. Então, quando combinamos vetores, é possível não apenas fazer isso algebricamente, mas também graficamente.

Sabendo tudo isto sobre quantidades escalares e vetoriais, vamos praticar um pouco essas ideias por meio de um exemplo.

Qual das seguintes é uma quantidade vetorial? (A) Energia, (B) pressão, (C) diferença de potencial, (D) força, (E) carga.

Ok, então a ideia aqui é que uma destas cinco quantidades seja um vetor. E podemos lembrar que uma quantidade vetorial é definida como tendo norma e direção e sentido. E, especificamente, é o facto de um vetor ter uma direção e um sentido associados que o diferencia da chamada quantidade escalar, que é uma quantidade que só tem magnitudes. Assim, ao examinarmos as nossas diferentes opções de resposta, vamos considerar exemplos de cada uma destas quantidades e ver se encontramos alguma direção e algum sentido juntos com as normas.

Começando com a opção (A), energia, uma quantidade exemplar de energia pode ser a seguinte: 12 joules. Quando se trata de pressões, a unidade padrão para indicar uma pressão é o pascal. A unidade padrão para indicar uma diferença de potencial é o volt. Podemos ter, digamos, 32 volts. Enquanto a unidade de força baseada no SI é o newton, podemos ter uma força, digamos, 13 newtons para a direita. E quantidades de carga são normalmente indicadas em unidades de coulombs. Poderíamos ter 0.3 coulombs de carga.

Em todas estas quantidades de exemplo, vemos que existem magnitudes: 12 joules, 3.1 pascal, 32 volts e assim por diante. Mas, pela nossa definição do que é uma quantidade vetorial, a magnitude por si só não é suficiente para criar um vetor. Também precisamos de uma direção e um sentido associados a esta norma. Exigindo que isto seja verdade, vemos que apenas uma das nossas cinco opções tem uma direção e um sentido. Essa é a força, que é uma força de 13 newtons para a direita. Aqui, então, temos uma norma, 13 newtons e uma direção e um sentido. E nenhuma das outras quantidades tem uma direção nem sentido. Portanto, escolheremos a opção de resposta (D), força, como a única quantidade vetorial apresentada aqui.

Vamos ver agora um segundo exemplo de exercício.

Se uma área é multiplicada por um comprimento, a quantidade resultante é uma quantidade vetorial ou uma quantidade escalar?

Tudo bem, então estamos a falar de multiplicar uma área por um comprimento. E podemos imaginar, digamos, que esta é a nossa área e que este aqui é o nosso comprimento. Quando multiplicamos esta área por este comprimento, obtemos um resultado e queremos saber se é uma quantidade vetorial ou uma quantidade escalar. Aqui está a diferença entre os dois. Uma quantidade escalar, ou um escalar abreviado, possui apenas uma magnitude, enquanto uma quantidade vetorial, ou um vetor, possui norma e direção e sentido. Portanto, para descobrir se a nossa área multiplicada por um comprimento é escalar ou vetorial, precisamos ver se ela tem uma magnitude apenas ou uma norma junto com uma direção e um sentido.

O produto da nossa área e do nosso comprimento é este volume 𝑉. E agora perguntamo-nos: este volume tem apenas uma magnitude ou tem uma norma junto com uma direção e um sentido? Dito desta maneira, podemos ver que este volume tem uma magnitude, ou seja, um tamanho igual a 𝐴 vezes 𝐿. Mas não há uma direção nem sentido específicos neste volume ou em qualquer ponto de volume. Então, aqui, temos uma magnitude, mas não temos uma direção nem sentido. Com base nas nossas definições de quantidades escalares e vetoriais, isto responde à nossa questão. Se uma área é multiplicada por um comprimento, a quantidade resultante é uma quantidade escalar.

Vamos resumir agora o que aprendemos sobre quantidades escalares e vetoriais. Nesta aula, definimos quantidades escalares e vetoriais. E vimos que a diferença vital entre estes é que uma quantidade escalar tem apenas uma magnitude, enquanto uma quantidade vetorial tem norma e direção e sentido. Vimos ainda que um escalar e um escalar ou um vetor e um vetor podem ser adicionados ou subtraídos se as suas unidades concordarem. Relacionado com isto, vimos que uma quantidade escalar pode multiplicar ou dividir um vetor. Por fim, vimos que dois ou mais vetores podem ser combinados graficamente utilizando o que é chamado de método do triângulo. Este é um resumo das quantidades escalares e vetoriais.

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