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Vídeo da aula: Adicionando e Subtraindo Matrizes Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como adicionar e subtrair matrizes usando as propriedades de adição e subtração.

14:54

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos aprender como adicionar e subtrair matrizes usando as propriedades de adição e subtração.

Lembramos que uma matriz é uma tabela de números. Eles são organizados em linhas e colunas, e cada número é então chamado de elemento. As dimensões de uma matriz fornecem o número de linhas e colunas, portanto, essa matriz na tela tem duas linhas e três colunas e, portanto, é uma matriz dois por três. Com tudo isso em mente, a adição de matriz, e de fato a subtração, é bastante direta. Para adicionar ou subtrair um par de matrizes, simplesmente adicionamos ou subtraímos seus elementos correspondentes. Com isso, porém, devemos impor uma restrição. Pegue este par de matrizes dois por dois. Podemos ver que o primeiro elemento na soma dessas matrizes é 𝑎 mais 𝑒. O segundo elemento na primeira linha é 𝑏 mais 𝑓 e assim por diante.

Agora, segue que, se estamos adicionando os elementos nas matrizes, precisamos nos certificar de que cada elemento em nossa primeira matriz tenha algo a somar na segunda e vice-versa. Podemos, portanto, apenas adicionar ou subtrair matrizes cuja ordem é a mesma. Eles absolutamente devem ter o mesmo número de linhas e colunas para que possamos realizar a adição ou subtração de matrizes. Agora, as matrizes também têm muitas das propriedades de adição e subtração que os números reais têm. Em particular, a adição de matriz é comutativa; ou seja, pode ser feito em qualquer ordem. Ele também satisfaz a propriedade de identidade aditiva. E, isto é, se adicionarmos a matriz zero, a matriz cujos elementos são todos zero, acabamos com a matriz original. Então, vamos dar uma olhada em um exemplo realmente simples.

Calcule a matriz cujos elementos são oito, 11, menos três, sete mais a matriz cujos elementos são 10, menos um, três, um.

Sabemos que para adicionar matrizes, simplesmente adicionamos seus elementos correspondentes. E, é claro, isso só funciona se a ordem de cada matriz for a mesma, ou seja, se cada matriz tiver o mesmo número de linhas e colunas. Agora, ambas as nossas matrizes têm duas linhas e duas colunas. A ordem delas é dois por dois. Agora a ordem é a mesma, então sabemos que podemos continuar e adicionar as matrizes. É convenção, é claro, começar com o elemento na primeira linha e na primeira coluna. Então, vamos começar com oito em nossa primeira matriz e 10 em nossa segunda. E assim o elemento na primeira linha e na primeira coluna da soma dessas matrizes será oito mais 10, o que é claro, 18. Agora passamos para o elemento na primeira linha, mas na segunda coluna. Então são 11 em nossa primeira matriz e menos um em nossa segunda. A soma deles é 11 mais menos um. Isso é o mesmo que 11 menos um, que é simplesmente 10.

Vamos agora passar para os elementos da segunda linha. Começaremos com menos três em nossa primeira matriz e três em nossa segunda. Desta vez, a soma deles é menos três mais três, que é zero. E assim, o primeiro elemento em nossa segunda linha da soma dessas matrizes é zero. Resta um par de elementos para lidar, e são esses sete na primeira matriz e um na segunda. E, claro, a soma deles é sete mais um, que é oito. A soma de nossas duas matrizes é a matriz cujos elementos são 18, 10, zero e oito.

Agora que vimos como adicionar um par de matrizes, vamos ver como subtraímos um par.

Encontre a matriz sete, nove, menos cinco, zero menos a matriz oito, menos cinco, dois, zero.

Agora, sabemos que podemos adicionar ou subtrair matrizes, desde que sua ordem seja a mesma. Temos um par de matrizes dois por dois aqui, então podemos continuar para a próxima etapa. Para subtrair um par de matrizes, simplesmente subtraímos os elementos correspondentes. Convencionalmente, começamos com o primeiro elemento da primeira linha. Então, em nossa primeira matriz, são sete e em nossa segunda matriz, são oito. O elemento correspondente no resultado da diferença dessas duas matrizes é sete menos oito, que é menos um. Agora, é claro, a subtração de matriz, assim como a subtração com números reais, não é comutativa. Não podemos mudar a ordem, então absolutamente precisamos fazer sete menos oito, em vez do contrário.

O elemento na primeira linha e na segunda coluna é encontrado calculando nove menos menos cinco. Agora, é claro, quando subtraímos um negativo, é o mesmo que adicionar um positivo. Então, vamos calcular nove mais cinco, que é igual a 14. Em seguida, vamos lidar com o primeiro elemento da segunda linha. Então, em nossa primeira matriz, são menos cinco e, em nossa segunda, dois. Então, vamos ter menos cinco menos dois, que é menos sete. Nosso elemento final na diferença entre nossas duas matrizes é apenas zero menos zero, que é, obviamente, zero. E assim o resultado da subtração de nossas duas matrizes é uma matriz dois por dois cujos elementos são menos um, 14, menos sete, zero.

Agora vamos ver como encontrar uma matriz desconhecida aplicando operações envolvendo a matriz zero.

Dado que 𝑋 mais a matriz cujos elementos são menos seis, menos oito, seis, cinco é igual a zero, onde zero é a matriz zero dois por dois, encontre o valor de 𝑋.

Começamos, é claro, lembrando o que queremos dizer quando dizemos que uma matriz é uma matriz zero. Esta é uma matriz quadrada, ou seja, uma matriz com um número igual de linhas e colunas cujas entradas ou elementos são todos iguais a zero. E assim, neste caso, a matriz zero dois por dois é a matriz mostrada. Podemos, portanto, reescrever nossa equação matricial como 𝑋 mais menos seis, menos oito, seis, cinco igual a zero, zero, zero, zero. Agora estamos tentando encontrar o valor de 𝑋. Então, dada a equação que escrevemos agora, o que podemos inferir sobre 𝑋? Bem, uma coisa que sabemos é que, se adicionarmos um par de matrizes, simplesmente adicionamos os elementos. E só podemos fazer isso se as matrizes forem de mesma ordem. Não poderíamos adicionar, por exemplo, uma matriz dois por dois a uma matriz dois por três, nem poderíamos adicionar uma matriz dois por dois a apenas um número com um único valor.

E assim, para esta equação matricial fazer sentido, 𝑋 também deve ser uma matriz dois por dois. Agora, para resolver essa equação matricial, vamos realizar um conjunto semelhante de etapas para resolver uma equação normal. Vamos subtrair essa matriz menos seis, menos oito, seis, cinco de ambos os lados da equação. Quando o subtraímos do lado esquerdo, é claro, acabamos com a matriz 𝑋. E assim 𝑋 é zero, zero, zero, zero menos a matriz cujos elementos são menos seis, menos oito, seis, cinco. Agora, assim como quando adicionamos um par de matrizes e adicionamos seus elementos para subtrair um par de matrizes, subtraímos seus elementos individuais.

O elemento na primeira linha e na primeira coluna será zero menos menos seis. Agora, é claro, subtrair menos um é o mesmo que adicionar um positivo. Então é o mesmo que fazer zero mais seis, que é seis. Então, fazemos zero menos menos oito. E mais uma vez, isso é o mesmo que fazer zero mais oito, que é oito. Agora passamos para os elementos na segunda linha, então calculamos zero menos seis. E, é claro, isso é simplesmente menos seis. E, finalmente, vamos calcular zero menos cinco, e isso é menos cinco. E assim a matriz 𝑋 dois por dois é seis, oito, menos seis, menos cinco.

Agora, este exemplo ilustra algo realmente importante. Vemos que a adição de matriz satisfaz a propriedade do inverso aditivo. Agora, o inverso aditivo de um número é o que você adiciona a um número para criar zero, e geralmente isso é encontrado alterando o sinal do número original. Se olharmos para o nosso exemplo aqui, podemos ver que mudamos o sinal dos elementos individuais. E assim a matriz seis, oito, menos seis, menos cinco é o inverso aditivo da matriz menos seis, menos oito, seis, cinco.

Vamos agora considerar outro exemplo que envolve a resolução de uma equação matricial.

Considere a matriz 𝐴 que tem os elementos menos um, menos um, cinco, 13, menos um, zero. Suponha que a soma das matrizes 𝐴 e 𝐵 seja 𝐴 mais 𝐵 igual a um, zero, menos um, zero, um, dois. Encontre a matriz 𝐵.

Nos é dado que a soma das matrizes 𝐴 e 𝐵 é uma matriz dois por três. Possui duas linhas e três colunas. Também sabemos que podemos adicionar matrizes simplesmente adicionando seus elementos individuais. Mas isso significa que as matrizes que adicionamos devem ser de mesma ordem. E assim, para poder adicionar a matriz 𝐴 e 𝐵, onde 𝐴 também é uma matriz dois por três e o resultado é uma matriz dois por três, 𝐵 em si deve ser uma matriz dois por três. Agora podemos resolver essa equação matricial como faríamos com qualquer outra equação normal. Vamos subtrair 𝐴 de ambos os lados. Mas é claro que 𝐴 é uma matriz, então podemos escrever isso como 𝐵 igual a um, zero, menos um, zero, um, dois menos a matriz cujos elementos são menos um, menos um, cinco, 13, menos um e zero.

Agora, assim como quando adicionamos matrizes, podemos subtrair matrizes subtraindo seus elementos individuais. E então vamos começar com o primeiro elemento em nossa primeira matriz e o primeiro em nossa segunda. É um menos menos um. Mas é claro que, quando subtraímos um negativo, é o mesmo que adicionar um positivo. Então, isso é como calcular um mais um, que é igual a dois. Repetimos esse processo com o segundo elemento em cada matriz. Agora estamos calculando zero menos menos um, que é o mesmo que zero mais um, que é um. Passamos para o terceiro elemento. É menos um na primeira matriz e cinco na segunda. Então fazemos menos um menos cinco, que é menos seis.

Vamos agora repetir isso com os elementos da segunda linha. Temos zero menos 13, que é menos 13. Em seguida, calculamos um menos menos um. E, é claro, isso é o mesmo que um mais um, que é dois. E então nosso cálculo final é dois menos zero, o que é, obviamente, simplesmente dois. E assim encontramos a matriz 𝐵. É a matriz dois por três com os elementos dois, um, menos seis, menos 13, dois, dois.

Em nosso exemplo final, consideraremos como podemos estender isso para trabalhar com mais de duas matrizes.

Dado que 𝐴 é igual à matriz quatro, três, menos um, três; 𝐵 é menos um, zero, dois, três; 𝐶 é menos cinco, um, zero, sete, encontre 𝐴 mais 𝐵 menos 𝐶.

Vamos reescrever essa expressão usando as matrizes dadas. São quatro, três, menos um, três mais menos um, zero, dois, três menos menos cinco, um, zero, sete. Agora sabemos como adicionar e subtrair matrizes. Desde que as matrizes sejam de mesma ordem, ou seja, tenham o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, adicionamos ou subtraímos seus elementos correspondentes. Mas, assim como trabalhar com números reais, a adição é comutativa. Em outras palavras, isso pode ser feito em qualquer ordem, mas a subtração não. Também sabemos que, quando consideramos a ordem das operações, se tivermos adição e subtração no mesmo cálculo, simplesmente nos moveremos da esquerda para a direita. E então vamos começar pegando o primeiro elemento da primeira linha de cada matriz. São quatro, menos um e menos cinco.

Usamos a notação subscrito para definir o primeiro elemento na primeira linha como 𝑎 sub um um. E assim temos quatro mais menos um menos menos cinco. Quatro mais menos um é três, e então vamos subtrair menos cinco. Então é o mesmo que adicionar cinco. Então temos três mais cinco, que é igual a oito. Então esse é o primeiro elemento da primeira linha. Então 𝑎 sub um dois é o elemento na primeira linha e na segunda coluna. Então são três mais zero menos um. Três mais zero são três e, em seguida, fazemos três menos um, que é igual a dois. Agora passamos a considerar o elemento na segunda linha e na primeira coluna. É menos um mais dois menos zero. E como menos um mais dois é um, obtemos um menos zero, que é simplesmente um.

Nosso elemento final é definido por 𝑎 sub dois dois. Esse é o elemento na segunda linha e na segunda coluna. São três mais três menos sete. Três mais três é igual a seis, então calculamos seis menos sete como menos um. E então tudo o que resta é colocar isso de volta em sua forma de matriz. 𝐴 mais 𝐵 menos 𝐶 é a matriz dois por dois cujos elementos são oito, dois, um, menos um.

Agora vamos recapitular os pontos principais desta aula. Neste vídeo, aprendemos que podemos adicionar ou subtrair matrizes adicionando ou subtraindo seus elementos correspondentes. Vimos também, porém, que isso só funciona se a ordem de cada matriz for a mesma, ou seja, se elas tiverem o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Vimos que a adição de matriz é comutativa; isso pode ser feito em qualquer ordem, ao contrário da subtração da matriz. E, assim como trabalhar com números reais, a adição de matriz também satisfaz a propriedade de identidade aditiva e a propriedade do inverso aditivo.

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