Vídeo: Pontos Críticos e Extremo Local de uma Função

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar pontos críticos de uma função e verificar se há extremos locais usando o teste da primeira derivada.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos o que significa os pontos críticos de uma função. Aprenderemos sobre os tipos de pontos críticos que existem e como encontrar os pontos críticos de uma função usando a derivação. Também veremos como aplicar o teste da primeira derivada para classificar os pontos críticos.

Em primeiro lugar, quais são os pontos críticos? Às vezes, são chamados de pontos fixos ou de virada. E são recursos realmente importantes do gráfico de uma função. Eles são pontos nos quais o gradiente do gráfico — d𝑦 por d𝑥 — é igual a zero ou é indefinido. Se a função foi especificada como 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥, então seus pontos quando 𝑓 linha de 𝑥 é igual a zero.

Existem três tipos de pontos críticos dos quais precisamos estar cientes. Os primeiros são máximos locais, que são pontos onde o valor da função é o mais alto em uma região vizinha em torno desse ponto. Estes são distinguidos pelo gradiente do gráfico sendo positivo à esquerda do ponto máximo. Isso é para valores de 𝑥 menores que o valor de 𝑥 no máximo. E sendo negativo à direita do ponto máximo. Isso é para valores de 𝑥 maiores que o valor de 𝑥 no máximo. Um exemplo disso seria no gráfico de 𝑦 igual a menos 𝑥 ao quadrado.

O segundo tipo de pontos críticos dos quais precisamos estar cientes são os mínimos locais, que são pontos em que o valor da função é o mais baixo do que em uma região vizinha. Estes são caracterizados por terem um gradiente negativo para a esquerda e um gradiente positivo para a direita, como o ponto de virada no gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 ao quadrado.

O tipo final de ponto crítico são pontos de inflexão. E estes são caracterizados pelo gradiente com o mesmo sinal em ambos os lados do ponto crítico. Por isso, pode ser positivo em ambos os lados, como no gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 ao cubo. Ou pode ser negativo em ambos os lados, como no gráfico de 𝑦 igual a menos 𝑥 ao cubo.

Lembre-se que, em cada ponto de virada, o gradiente d𝑦 por d𝑥 será igual a zero. Para encontrar um ponto crítico, primeiro precisamos encontrar a função gradiente para a curva d𝑦 por d𝑥. Uma vez que encontramos isso, podemos definir d𝑦 por d𝑥 igual a zero e resolver a equação resultante para encontrar a coordenada 𝑥 do ponto crítico.

Normalmente, também queremos saber a coordenada 𝑦 para o ponto crítico ou o valor da função, que podemos encontrar substituindo nosso valor 𝑥 ou valores de volta à equação da curva. Vamos ver alguns exemplos disso. Além disso, discutiremos também um método para determinar o tipo de ponto crítico que temos.

Determine os pontos críticos da função 𝑦 é igual a menos oito 𝑥 ao cubo no intervalo menos dois, um.

Primeiro, lembramos que, nos pontos críticos de uma função, o gradiente d𝑦 por d𝑥 será igual a zero. Então, precisamos encontrar a função gradiente para essa curva. Podemos aplicar a regra de potência da derivação. E nos diz que d𝑦 por d𝑥 é igual a menos oito multiplicado por três multiplicado por 𝑥 ao quadrado, que simplifica para menos 24𝑥 ao quadrado.

Em seguida, definimos nossa expressão para d𝑦 por d𝑥 igual a zero, dando a equação menos 24𝑥 ao quadrado igual a zero. Agora precisamos resolver para 𝑥. E podemos ver que, como menos 24 não é igual a zero, deve ser o caso que 𝑥 ao quadrado é igual a zero. E se 𝑥 ao quadrado é igual a zero, então 𝑥 em si deve ser igual a zero. Então encontramos o valor de 𝑥 em nosso ponto crítico.

Agora, na questão, nos pediram para determinar os pontos críticos apenas em um intervalo particular, o intervalo de menos dois a um. E nosso valor de 𝑥 reside nesse intervalo. De fato, é o único ponto crítico dessa função.

Em seguida, precisamos encontrar o valor de 𝑦 neste ponto crítico, que podemos fazer substituindo nosso valor 𝑥 na equação da função. A função era 𝑦 é igual a menos oito 𝑥 ao cubo. Portanto, temos 𝑦 igual a menos oito multiplicado por zero ao cubo, que é apenas zero. Portanto, o único ponto crítico nesse intervalo e, de fato, o único ponto crítico para toda a função tem coordenadas zero, zero. Também podemos ver isso se esboçarmos um gráfico de 𝑦 igual a menos oito 𝑥 ao cubo.

Agora este é o gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 ao cubos, com o qual devemos estar familiarizados. E tem um ponto crítico. Na verdade, é um ponto de inflexão na origem. Multiplicar por oito causará um alongamento com um fator de escala de oito na direção vertical. Mas isso não afeta o ponto crítico. E então multiplicar por menos um causará uma reflexão no eixo 𝑥. Então, em verde, temos o gráfico de 𝑦 igual a menos oito 𝑥 ao cubo. Podemos ver que de fato tem um ponto crítico um ponto de inflexão na origem.

Então, primeiro encontrando a função gradiente d𝑦 por d𝑥 e, em seguida, definindo-a igual a zero e resolvendo a equação resultante, encontramos a coordenada 𝑥 do nosso ponto crítico. Em seguida, substituímos isso novamente na equação da função original, a fim de encontrar a coordenada 𝑦 correspondente, dando um ponto crítico de zero, zero. Em nosso próximo exemplo, vamos considerar como determinar o tipo de ponto crítico sem precisar esboçar um gráfico.

Determine, se houver, os valores de máximo e mínimo locais de 𝑓 de 𝑥 é igual a menos dois 𝑥 ao cubo menos 9𝑥 ao quadrado menos 12𝑥 menos 15 juntamente com o local onde eles ocorrem.

Nesta questão, fomos solicitados a determinar os valores de máximo e mínimo locais. Então, esses são os valores da função em si. E “com o local onde ocorrem” significa que também precisamos encontrar os valores 𝑥 correspondentes. Primeiro, lembramos que, nos pontos críticos de uma função, o gradiente — de modo que é 𝑓 linha de 𝑥 — é igual a zero. Então, começamos por derivar 𝑓 de 𝑥, o que podemos fazer usando a regra de potência, para dar menos seis 𝑥 ao quadrado menos 18𝑥 menos 12. Em pontos críticos, 𝑓 linha de 𝑥 é igual a zero. Então, definimos nossa expressão para 𝑓 linha de 𝑥 igual a zero.

E agora vamos resolver a equação resultante para 𝑥. Podemos fatorar menos seis desta equação, dando menos seis multiplicado por 𝑥 ao quadrado mais três 𝑥 mais dois é igual a zero. E vemos que, dentro dos parênteses, temos uma quadrática em 𝑥 que pode ser fatorada. É igual a 𝑥 mais dois multiplicado por 𝑥 mais um. Também notamos neste ponto que menos seis não é igual a zero. Então, podemos eliminá-lo da nossa equação neste ponto.

Agora, definimos cada fator igual a zero, dando 𝑥 mais dois igual a zero ou 𝑥 mais um igual a zero. Ambas as equações podem ser resolvidas de maneira relativamente simples para fornecer as coordenadas 𝑥 dos pontos críticos dessa função. 𝑥 é igual a menos dois ou 𝑥 é igual a menos um.

Agora sabemos os valores 𝑥 em nossos pontos críticos. Mas também precisamos conhecer os valores da função em si. Então, precisamos calcular 𝑓 de 𝑥 em cada valor crítico. Quando 𝑥 é igual a menos dois, 𝑓 de menos dois é menos dois multiplicado por menos dois ao cubo menos nove multiplicado por menos dois ao quadrado menos 12 multiplicado por menos dois menos o 15, que é igual a menos 11. Calculando 𝑓 de menos um da mesma maneira dá menos 10.

Então, agora estabelecemos que essa função tem pontos críticos em menos dois, menos 11 e menos um, menos 10. Mas como determinamos se eles são máximos ou mínimos locais ou mesmo pontos de inflexão? Bem, vamos usar algo chamado teste de primeira derivada. Consideraremos o sinal da derivada de cada lado do nosso ponto crítico, que nos informará o gradiente da função em ambos os lados do ponto crítico. Ao considerar isso, poderemos identificar a forma da função perto de cada ponto crítico.

Aqui está o que vamos fazer. Vamos calcular a primeira derivada — que é 𝑓 linha de 𝑥 — um pouco de cada lado dos nossos valores críticos de 𝑥 de menos dois e menos um. Agora, normalmente, tentamos usar apenas os valores inteiros mais próximos. Mas, neste caso, menos dois e menos um são inteiros consecutivos. Então, em vez disso, escolhemos um valor entre eles para ser o valor superior para menos dois e o menor para menos um. Nós escolhemos um valor de menos 1.5.

Lembre-se que nossa função gradiente 𝑓 linha de 𝑥 é menos seis 𝑥 ao quadrado menos 18𝑥 menos 12. Então quando calculamos isso em menos três, obtemos um valor de menos 12. Agora não estamos particularmente interessados ​​em saber qual é o valor, mas sim o seu sinal. Então, menos 12 é um valor negativo. Também calcularemos nossa função gradiente em menos 1.5. E dá 1.5, que é um valor positivo.

Finalmente, precisamos calcular essa função gradiente em zero. E dá menos 12, um valor negativo. Então, como isso nos ajuda a determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos? Bem, vemos que o gradiente dessa curva é negativo quando 𝑥 é igual a menos três. Então, é igual a zero quando 𝑥 é igual a menos dois e é positivo quando 𝑥 é igual a menos 1.5. E esboçando essa forma, vemos que o ponto crítico em menos dois deve ser um mínimo local.

Da mesma forma, o gradiente desta função é positivo quando 𝑥 é igual a menos 1.5. É zero quando 𝑥 é igual a menos um. E é negativo quando 𝑥 é igual a zero. Então, vemos que o ponto crítico em 𝑥 igual a menos um deve ser um máximo local. Portanto, esse método, o teste da primeira derivada, consideramos a primeira derivada — essa é o gradiente — de cada lado do ponto crítico. E, considerando o sinal desse gradiente, podemos deduzir a forma da curva nesse ponto.

Descobrimos então que esta função, 𝑓 de 𝑥, tem um mínimo local em menos dois, menos 11 e um máximo local em menos um, menos 10. Há também um outro método para determinar a natureza dos pontos críticos, chamado teste da segunda derivada. Envolve a derivação da função gradiente para dar a segunda derivada da função original. Como a primeira derivada revela como a própria função está mudando, a segunda derivada revela como o gradiente está mudando. Assim, considerando isso, podemos determinar se um ponto é um mínimo local, um máximo local ou um ponto de inflexão. No entanto, isso está fora do escopo do que vamos ver neste vídeo.

Dado que a função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais 𝐿 𝑥 mais 𝑀 tem um valor mínimo de dois em 𝑥 igual a menos um, determine os valores de 𝐿 e 𝑀.

Nesta pergunta, nos foi dito o valor mínimo da função. São dois. E nos foi dito o valor de 𝑥 em que isso ocorre. É menos um. Precisamos usar essas informações para calcular os coeficientes ausentes 𝐿 e 𝑀 na definição de 𝑓 de 𝑥.

Um mínimo é um tipo de ponto crítico. E lembramos então que, em pontos críticos, o gradiente da função 𝑓 linha de 𝑥 é igual a zero. Podemos usar a regra de potência para derivar 𝑓 de 𝑥. E nós temos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a dois 𝑥 mais 𝐿. Como menos um é o valor 𝑥 em um ponto crítico, sabemos que, se substituirmos 𝑥 igual a menos um em nossa expressão de 𝑓 linha de 𝑥, devemos obter um resultado igual a zero. Então podemos formar uma equação. Dois multiplicados por menos um negativo mais 𝐿 é igual a zero. Isso dá a equação menos dois mais 𝐿 igual a zero, que podemos resolver para dar 𝐿 igual a dois.

Então encontramos o valor de 𝐿. Mas e quanto ao valor de 𝑀? Bem, sabemos que a função tem um valor mínimo de dois quando 𝑥 é igual a menos um. Então, quando 𝑥 é menos um, 𝑓 de 𝑥 é igual a dois. Assim, podemos substituir menos um por 𝑥, dois por 𝐿 e dois por 𝑓 de 𝑥 a dar uma segunda equação. Menos um ao quadrado mais dois multiplicado por menos um mais 𝑀 é igual a dois. Isso simplifica para um menos dois mais 𝑀 é igual a dois, o que novamente podemos resolver para dar 𝑀 é igual a três.

Encontramos os valores de 𝐿 e 𝑀. 𝐿 é igual a dois e 𝑀 é igual a três. Mas vamos apenas confirmar que esse ponto é de fato um ponto mínimo. Podemos fazer isso usando o teste da primeira derivada. Calculamos a primeira derivada, 𝑓 linha de 𝑥, de cada lado do nosso valor crítico de 𝑥, para que possamos ver como o gradiente dessa função está mudando em torno do ponto crítico.

Lembre-se, no próprio ponto crítico, o gradiente é igual a zero. Nossa função gradiente 𝑓 linha de 𝑥 era dois 𝑥 mais 𝐿. Mas agora sabemos que 𝐿 é igual a dois. Portanto, nossa função gradiente é dois 𝑥 mais dois. Quando 𝑥 é igual a menos dois, isso dará menos dois. E quando 𝑥 é igual a zero, isso dará dois positivos.

Na verdade, é o sinal do valor em vez do valor em si que nos interessa. Vemos que o gradiente é negativo à esquerda de menos um. Então, é zero em menos um e depois positivo à direita de menos um. Então, esboçando esse padrão, vemos que o ponto crítico em menos um é de fato um mínimo local.

Nós terminamos o problema então. 𝐿 é igual a dois e 𝑀 é igual a três. Às vezes, as funções que derivamos serão mais complexas do que polinômios, como funções exponenciais ou trigonométricas. Também podemos precisar usar uma de nossas regras de derivação, como a equação do produto ou a regra da cadeia. Vamos ver isso no nosso próximo exemplo.

Determine onde 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥 ao quadrado 𝑒 elevado a menos 𝑥 tem um máximo local e forneça o valor lá.

Vamos lembrar, em primeiro lugar, que um máximo local é um tipo de ponto crítico. E em pontos críticos, 𝑓 linha de 𝑥 é igual a zero. Então, precisamos começar encontrando a derivada de 𝑓 de 𝑥. Agora olhando para 𝑓 de 𝑥, podemos ver que na verdade é um produto. É igual a uma função, três 𝑥 ao quadrado, multiplicada por outra função 𝑒 elevado a menos 𝑥. Então, para derivar 𝑓 de 𝑥, precisamos aplicar a regra do produto.

A regra do produto informa que a derivada do produto 𝑢𝑣 é igual a 𝑢𝑣 linha mais 𝑢 linha 𝑣. Podemos definir 𝑢 para ser a função três 𝑥 ao quadrado. E podemos definir 𝑣 para ser a função 𝑒 elevado a menos 𝑥. Agora precisamos derivar cada uma dessas funções. Podemos aplicar a regra de potência para derivar 𝑢. E dá seis 𝑥.

E para derivar 𝑣, precisamos nos lembrar de nossas regras para derivar exponenciais. A derivada em relação a 𝑥 de 𝑒 à potência de 𝑘𝑥 é 𝑘𝑒 à potência de 𝑘𝑥. Assim, a derivada de 𝑒 elevado a menos 𝑥 é menos 𝑒 elevado a menos 𝑥. O valor de 𝑘 aqui é menos um. Aplicando a regra do produto, então, 𝑓 linha de 𝑥 é igual a 𝑢𝑣 linha — que é três 𝑥 ao quadrado multiplicado por menos 𝑒 elevado a menos 𝑥 — mais 𝑢 linha 𝑣 — que é seis 𝑥 multiplicado por 𝑒 elevado a menos 𝑥.

Podemos fatorar por três 𝑥𝑒 elevado a menos 𝑥, deixando três 𝑥𝑒 elevado a menos 𝑥 multiplicado por menos 𝑥 mais dois. Agora ajustamos 𝑓 linha de 𝑥 igual a zero, dando três 𝑥𝑒 elevado a menos 𝑥 vezes menos 𝑥 mais dois é igual a zero. Três não é igual a zero, então podemos eliminá-lo de nossa equação. Você pode pensar nisso dividindo os dois lados por três.

Nós somos então deixados com 𝑥 é igual a zero ou 𝑒 elevado a menos 𝑥 é igual a zero ou menos 𝑥 mais dois é igual a zero. A primeira e última equações fornecem soluções para 𝑥 imediatamente. Mas e a equação do meio? Bem, na verdade, não há solução para essa equação. Se você pensar no gráfico de 𝑒 elevado a menos 𝑥, então o eixo 𝑥 é uma assíntota. Não há valor de 𝑥 para o qual 𝑒 elevado a menos 𝑥 é igual a zero. Então os únicos valores de 𝑥 são zero e dois. Em seguida, calculamos 𝑓 de 𝑥 em cada um desses pontos, dando zero e 12 sobre 𝑒 ao quadrado.

Finalmente, precisamos confirmar qual desses pontos é um máximo local. E podemos fazer isso aplicando o teste da primeira derivada. Nós calculamos 𝑓 linha de 𝑥 em valores inteiros em ambos os lados de nossos dois valores críticos de 𝑥 de zero e dois. E o importante a notar é o sinal desses valores. Vemos que, para nosso ponto crítico quando 𝑥 é igual a dois, o gradiente muda de positivo para negativo, o que significa que esse é um ponto de máximo local. Assim, concluímos que há um máximo local de 12 sobre 𝑒 ao quadrado quando 𝑥 é igual a dois.

Vamos resumir o que aprendemos. Nos pontos críticos de uma função, d𝑦 por d𝑥 ou 𝑓 linha de 𝑥 é igual a zero ou é indefinido. Os três tipos de pontos críticos dos quais precisamos estar atentos são máximos locais, mínimos locais e pontos de inflexão. Podemos usar o teste da primeira derivada para considerar o gradiente de cada lado de um ponto crítico e, portanto, classificá-lo como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.

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