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Diferença de Dois Quadrados
Então, se começarmos com um quadrado, isto é, dimensões 𝑎 por 𝑎, sabemos que a área deste quadrado será 𝑎 ao quadrado. Essa é a diferença de dois quadrados. Então vamos tirar outro quadrado desse quadrado. Então, digamos que queremos encontrar a área da forma branca. Podemos ver que estamos tirando a área da forma azul. Então, temos 𝑎 ao quadrado e estamos tirando 𝑏 ao quadrado. Ou sabemos que, cortando aqui, isso nos dá diferentes dimensões dos lados para diferentes partes. Esta parte é naturalmente 𝑎 menos 𝑏, porque todo o comprimento é 𝑎 e podemos ver apenas que a parte no fundo é 𝑏, então essa parte é 𝑎 menos 𝑏. E então, é claro que é 𝑏. Mas se tomarmos essa forma e a movermos para o lado, sabemos que podemos porque nosso comprimento pontilhado também é 𝑎 menos 𝑏, obtemos uma forma diferente. Acabaremos com esse retângulo. Assim, podemos ver o comprimento do lado, novamente, é 𝑎 menos 𝑏 e o topo tem um comprimento de 𝑎. E então estamos adicionando o comprimento de 𝑏. Então, 𝑎 menos 𝑏 é uma dimensão e 𝑎 mais 𝑏 é a outra. Sabemos que a área de nossa forma original era 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado, porque era o quadrado grande que tirava o quadrado menor. Então, nossa nova forma seria 𝑎 menos 𝑏 multiplicada por 𝑎 mais 𝑏, pois é um retângulo. E colocando esses dois juntos, nos dá a diferença de dois quadrados.
Vamos dar uma olhada algebricamente também. Então, vamos expandir esses dois parênteses usando a distributiva. Nós vamos multiplicar os primeiros termos, que são 𝑎 multiplicado por 𝑎, que dá 𝑎 ao quadrado. Então 𝑎 multiplicado por menos 𝑏 que dá menos 𝑎𝑏. 𝑏 multiplicado por 𝑎 que dá mais 𝑎𝑏. E finalmente, 𝑏 multiplicado por menos 𝑏 que dá menos 𝑏 ao quadrado. Assim, podemos ver nossos termos do meio se cancelarem e ficamos com 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado. Então, vimos isso geometricamente e também algebricamente. Vamos realmente aplicar isso a um problema.
Então, precisamos encontrar quem é 𝑎. Então, o que está sendo elevado ao quadrado para nos dar dezesseis 𝑥 ao quadrado. Bem, sabemos que quatro ao quadrado é dezesseis e 𝑥 ao quadrado é 𝑥 ao quadrado. Então, isso será quatro 𝑥, todos ao quadrado. Então, quatro 𝑥 é o valor de 𝑎. Agora olhando para o nosso 𝑏. Bem, o que ao quadrado nos dá nove, três. Então, isso será três 𝑦 todos ao quadrado que é nove 𝑦 quadrado. E isso é 𝑏. Então, substituindo a relação, temos 𝑎 mais 𝑏 todos multiplicados por 𝑎 menos 𝑏. Então temos quatro 𝑥 mais três 𝑦 todos multiplicados por quatro 𝑥 menos três 𝑦. Vamos ver mais um exemplo.
Então, olhando para este exemplo, novamente, você pode dizer o que elevado ao quadrado que nos dá trinta e seis 𝑥 ao quadrado. Bem, isso será seis 𝑥 todos ao quadrado. E de novo, o que elevado ao quadrado nos dá trinta e seis 𝑦 ao quadrado. Mais uma vez, isso será seis 𝑦 todos ao quadrado. Então, podemos aplicar a fórmula colocando 𝑎 como seis 𝑥 e 𝑏 como seis 𝑦 e acabamos. Mas neste caso, há outra maneira de fazer isso. Se olharmos para a primeira parte da questão, trinta e seis 𝑥 ao quadrado menos trinta e seis 𝑦 ao quadrado, podemos ver que ambos têm um fator comum, o maior fator comum, que é trinta e seis. Então podemos fatorar os trinta e seis primeiros. E isso nos daria isso. Pois bem, neste caso, nosso 𝑎 é 𝑥 e nosso 𝑏 é 𝑦. Então poderíamos substituir isso na relação, e conseguiríamos isso. Agora estes são exatamente os mesmos. Então a resposta que obtivemos usando o primeiro método e o segundo método é exatamente a mesma. Porque se no primeiro método nós colocarmos o seis em evidência de cada grupo individual, teríamos que fazer seis multiplicados por seis, o que sabemos que é trinta e seis. Então, obtemos a mesma coisa de qualquer maneira, mas esse segundo método é um método totalmente fatorado. Então, em resumo, a única coisa que realmente precisamos lembrar, na diferença de dois quadrados, é a relação e apenas descobrir como identificá-la quando tivermos uma opção. Então, quando vemos um número quadrado subtraído por outro número quadrado, obviamente com variáveis que também são quadradas, então podemos imediatamente utilizar essa relação.
