Vídeo: Fatorando Trinômios Quadrados Perfeitos

Fatore 𝑎² − 6𝑎𝑏 + 9𝑏².

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Transcrição do vídeo

Fatore 𝑎 ao quadrado menos seis 𝑎𝑏 mais nove 𝑏 ao quadrado.

Nessa expressão, temos um 𝑎 ao quadrado - vou colocar isso lá - e temos nove 𝑏 ao quadrado, e então temos esse termo no meio, que é seis vezes 𝑎 vezes 𝑏.

O fato de que a maior potência é dois e nós temos esse padrão específico que significa que vamos ter dois pares de parênteses como este que podemos multiplicar para refazer essa expressão. Então, no primeiro parênteses, vamos ter algo mais ou menos alguma coisa; e no segundo, vamos ter algo mais ou menos outra coisa.

Agora vamos pensar sobre isso ao contrário, se eu tivesse alguns parênteses como este e eu fosse multiplicá-los, eu teria que multiplicar este termo por este termo e este termo e este termo, e este termo e por este termo. O fato de eu ter um 𝑎 ao quadrado significa que eu poderia colocar 𝑎 aqui e um 𝑎 aqui e quando eu multiplicar 𝑎 por 𝑎 temos 𝑎 ao quadrado.

Então, vamos descobrir quais serão os outros dois termos. Eles serão positivos ou negativos? E presumimos que eles vão envolver 𝑏. Bem, temos que gerar nove 𝑏 ao quadrado. E dado que temos um 𝑎 aqui e um 𝑎 aqui, a única maneira que eu posso gerar este último termo aqui, nove 𝑏 ao quadrado, é se ambos os termos envolverem números vezes 𝑏.

E quando eu multiplicar esses dois termos juntos teremos, 𝑏 vezes 𝑏, que é 𝑏 ao quadrado, e algo vezes algo, que dá nove. Vamos pensar sobre quais seriam essas combinações. Então, apenas permanecendo em números inteiros por enquanto, uma vez nove é nove e três vezes três é nove.

Se fizermos esses termos um 𝑏 e nove 𝑏, eles se multiplicam para formar nove 𝑏 ao quadrado; ou se fizéssemos três 𝑏 e três 𝑏, eles também se multiplicariam para formar nove 𝑏 ao quadrado. Mas ainda temos que multiplicar este termo por este termo e adicioná-lo a este termo multiplicado por este termo, então temos combinações de 𝑎s e 𝑏s a considerar.

Então, vamos fazer essa parte do cálculo, multiplicando 𝑎 por alguns 𝑏s e adicionando alguns 𝑏s multiplicados por 𝑎.

O primeiro desses dois termos 𝑎 vezes alguma coisa vezes 𝑏 pode ser escrito como algo vezes 𝑎𝑏, e o segundo também pode ser escrito assim, algo vezes 𝑎𝑏 ao invés de algo vezes 𝑏 vezes 𝑎.

E quando eu os acrescento, esse algo e esse algo precisam ser somados para fazer seis negativos; esse é o número de 𝑎𝑏s que preciso gerar no final. Bem, isso nos gera um problema, porque até agora as opções que temos são um positivo e nove positivo ou três positivo e três positivo para essas duas coisas. Nenhum desses dois pares somados vai gerar seis negativo. Então, vamos pensar em que outros números se multiplicam para fazer nove positivo.

Bem, menos um vezes menos nove dá nove positivo, ou menos três vezes menos três dá nove positivo. Agora, qual par desses números somam para fazer seis negativo? Só pode ser menos três e menos três.

Então, esse número na frente do 𝑏 é menos três; e esse número na frente desse 𝑏 também é menos três. Então vamos arrumar essa expressão.

A forma fatorada dessa expressão é 𝑎 menos três 𝑏 vezes 𝑎 menos três 𝑏. Vamos verificar nossa resposta. 𝑎 vezes 𝑎 é 𝑎 ao quadrado; 𝑎 vezes menos três 𝑏 é menos três 𝑎𝑏; menos três 𝑏 vezes 𝑎 é menos três 𝑏𝑎 - mas não importa se trocarmos essa ordem, que é o mesmo que menos três 𝑎𝑏, então eu vou escrever isso dessa maneira - e menos três 𝑏 vezes menos três 𝑏 é nove 𝑏 ao quadrado.

Agora, no meio, temos menos três 𝑎𝑏 menos três 𝑎𝑏, o que significa menos seis 𝑎𝑏. Então, quando nós verificamos, de fato conseguimos a mesma expressão com a qual começamos.

Então esta é a nossa resposta. Mas você notará que ambas as expressões em cada parêntese são as mesmas, então temos 𝑎 menos três 𝑏 vezes 𝑎 menos três 𝑏. Isso é 𝑎 menos três 𝑏 todos ao quadrado, então a forma mais eficiente de escrever nossa resposta é: 𝑎 menos três 𝑏 todos ao quadrado.

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