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Vídeo: Problema da Corrida de Modelos de Caracóis

Neste vídeo, vemos rapidamente alguma matemática por detrás da corrida de modelos de caracóis e, depois, consideraremos uma abordagem lógica para determinar os três modelos de caracóis de corrida mais rápidos de um grupo de 25.

10:21

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos ver um problema que se passa no empolgante, mas tanto quanto sei, imaginário exporte da corrida de modelos de caracóis.

Mas primeiro, vamos aprender sobre a corrida de modelos de caracóis. Bem, é bem direto. Temos um conjunto de 25 modelos em madeira de caracóis e uma rampa. Agora, porque é muito difícil desenhá-los com aparência idêntica, coloquei a maior parte deles numa caixa grande. Agora escolhemos cinco caracóis aleatoriamente. Colocamo-los no topo da rampa aqui. Deixamo-los deslizar. E o primeiro a chegar ao fundo é o vencedor!

Os caracóis não têm partes móveis. Assim, o seu progresso na rampa depende inteiramente dos diferentes níveis de atrito das suas bases e a rampa. Eles foram projetados para que sejam parecidos uns com os outros. Mas eles têm uma base mais ou menos lisa e encontrarão níveis diferentes de atrito na rampa. O efeito da resistência do ar pode ser ignorado para o tipo de velocidade que atingem. Na verdade, algumas pessoas tentaram remover as conchas dos caracóis para torná-los mais simples. Mas eles relataram que, se alguma coisa aconteceu, foi apenas que fez os caracóis mais lentos.

Agora, o problema que temos para si não requer matemática de alta categoria, apenas um pouco de lógica. Mas antes de descrevermos o problema real a ser resolvido, vamos ver rapidamente a matemática por trás das corridas de modelos de caracóis. Podemos modelar o caracol como uma partícula numa rampa irregular. E isto significa apenas que há algum atrito no caracol a deslizar pela rampa. Vamos chamar o ângulo entre a rampa e a horizontal 𝜃. O peso do caracol atua verticalmente para baixo, com uma força em newtons igual à sua massa em quilogramas, vezes a constante gravitacional, 𝑔, em metros por segundo ao quadrado. E geralmente utilizamos um valor de 9,8 metros por segundo ao quadrado para a aceleração devido à gravidade na superfície da Terra.

A terceira lei de Newton diz-nos que, para cada ação, há uma reação igual e oposta. Assim, enquanto o caracol pressiona a rampa, haverá uma reação normal, vamos chamá-la de 𝑅, num ângulo perpendicular à rampa que age da rampa para o caracol. Agora temos um triângulo retângulo aqui. O que significa que este ângulo é 90 menos 𝜃. E este ângulo também é 𝜃. E lembre-se que a força de reação normal é perpendicular à rampa. Agora, porque o caracol não salta da rampa e não se abate sobre a rampa, isto significa que esta força 𝑅 deve estar a equilibrar exatamente a componente da força do peso que está a agir nesta direção. E isso será 𝑚 vezes 𝑔 vezes o cosseno do ângulo entre essa força e essa direção. Então a força de reação 𝑅 é igual a 𝑚𝑔 vezes cos de 𝜃.

Então, como é uma rampa irregular, haverá uma força de atrito que resiste ao movimento do caracol nela. Agora lembre-se, a coisa que torna o caracol tão empolgante é o facto de que os caracóis estão mesmo a mover-se. Então esta força de atrito terá atingido seu nível máximo teórico. Vamos chamá-la 𝐹 max. E à escala em que estamos a trabalhar, será constante durante todo o movimento destes caracóis pela rampa. Agora, o valor de 𝐹 max será 𝜇, o coeficiente de atrito entre o caracol e a rampa, vezes 𝑅, a intensidade da força de reação normal que atua sobre o caracol.

Ora, 𝜇 é o fator escorregadio do caracol. E esperemos que, para termos uma corrida boa e excitante, cada caracol tenha um 𝜇 diferente. Portanto, para que este caracol deslize pela rampa, a componente da força do peso que age para baixo na rampa deve ser maior que esta 𝐹 força máxima aqui. E quando isso acontece, temos uma aceleração constante de, chamemos 𝑎, a descer a rampa. E a segunda lei de Newton diz-nos que a força resultante que age sobre o caracol na rampa é igual à massa do caracol vezes sua aceleração. Assim, podemos ver que 𝑚𝑔 cosseno de 90 menos 𝜃 menos 𝐹 max é igual à massa do caracol vezes sua aceleração. Mas cosseno de 90 menos 𝜃 é o mesmo que seno de 𝜃. E 𝐹 max é igual a 𝜇 vezes 𝑅. E 𝑅 é igual a 𝑚𝑔 cos 𝜃. Agora podemos anular os 𝑚 em ambos os membros da equação. E podemos ver que a aceleração constante do caracol pela rampa é esta expressão aqui, que é independente da massa do caracol, o que é algo interessante.

Agora podemos utilizar uma das equações de movimento de Newton, onde 𝑠 é a distância percorrida pelo caracol na rampa em metros, 𝑢 é a velocidade inicial do caracol em metros por segundo, o que obviamente é zero metros por segundo, porque nós só colocámos o caracol no topo da rampa. Então, zero vezes o tempo que demora vai fazer com que este termo seja igual a zero. E podemos utilizar a expressão que acabamos de elaborar para a aceleração.

E então, como todos os caracóis estão a descer a mesma rampa, a mesma distância, no mesmo ângulo, com a mesma gravidade, a única coisa que varia, é este coeficiente de atrito para cada um dos caracóis. Dado que a nossa rampa física se parece com algo assim, podemos ver pela fórmula que o caracol com o menor 𝜇 deslizará pela rampa mais rápido. O que me lembra possivelmente a pior piada de matemática de todos os tempos. Que gato desce a ladeira mais rápido? Aquele com o menor 𝜇 (miu). E, dito isto, acho melhor irmos para o tema principal de hoje, o problema das corridas de modelos de caracóis.

Sem um cronômetro, e com corridas que consistem em não mais do que cinco caracóis de cada vez, apenas anotando as suas posições finais nas corridas, qual é o número mínimo de corridas necessárias para determinar o primeiro, segundo e terceiro caracóis mais rápidos em geral?

Ora, não sabemos o valor de 𝜇 para nenhum dos caracóis. Não sabemos o ângulo de inclinação da rampa. E não sabemos o comprimento da rampa. Então eu não quero que utilize qualquer matemática que tenha mencionado para responder a este problema, apenas um pouco de lógica. Então, faça pausa no vídeo agora. Tente abordar o problema. E depois compare com a nossa solução.

Ok, então podemos rotular todos os nossos caracóis A, B, C, D, E, F e assim por diante até W, X e Y. A seguir coloque A a E na primeira corrida e veja quem termina em primeiro, em segundo e em terceiro. A seguir, podemos substituir os caracóis que terminaram em quarto e quinto por F e G. Em seguida, realize a corrida novamente e veja quem termina em primeiro, em segundo e em terceiro. Em seguida, livre-se dos caracóis que terminaram em quarto e quinto e substitua-os pelos caracóis H e I. Em seguida, realize a corrida novamente e substitua os dois caracóis mais lentos por J e K, e assim por diante. Assim, no final da 11.ª corrida, ficaríamos a conhecer os três caracóis mais rápidos.

Mas poderá fazer isso com menos de 11 corridas? Ora, é tentador dizer que poderíamos disputar cinco corridas e depois colocar os vencedores de cada corrida uns contra os outros numa grande final. Isso certamente ajudar-nos-ia a identificar o caracol mais rápido em geral. Mas isso não nos diz necessariamente sobre o segundo e terceiro mais rápidos. Por exemplo, se A, B e C fossem os três caracóis mais rápidos em geral, teríamos rejeitado dois deles para a grande final sob este sistema. Então, seis corridas não são a resposta. Mas se analisarmos cuidadosamente os resultados depois de colocá-los numa tabela como esta, onde as linhas são as corridas e as posições estão em coluna, talvez possamos obter mais informações do que pensávamos inicialmente.

Agora, obviamente, dependendo da velocidade dos caracóis, estas letras aparecerão em ordens diferentes. Mas pode ver aqui que, na primeira corrida, o caracol A termina em primeiro, C em segundo, D em terceiro, E em quarto e B em quinto. Isto diz-nos que E e B não podem estar entre os três primeiros caracóis em toda a competição. Da mesma forma, na segunda corrida, os caracóis G e J terminaram em quarto e em quinto. Eles não podem ser um dos três principais caracóis mais rápidos. E da mesma forma, qualquer caracol que termine em quarto ou em quinto na sua corrida não pode ser um dos três primeiros caracóis mais rápidos. Agora, a sexta linha é a corrida dos vencedores. E nós podemos ver que o caracol A, não só derrotou todos na sua primeira corrida, mas também venceu todos os vencedores da corrida final. Então o caracol A deve ser o caracol mais rápido em geral.

Agora também podemos ver que o caracol V terminou em quarto lugar nesta corrida. Então, se não for um dos três primeiros, então qualquer um mais lento que V também não é um dos três principais. Então podemos descartar V, U e W do nosso raciocínio. Da mesma forma, com P, terminou em último na corrida dos vencedores. Então, qualquer um mais lento que P, certamente não pode ser um dos três principais. E quanto ao caracol H? Terminou em terceiro na corrida dos vencedores. Então, na melhor das hipóteses, pode ser o terceiro caracol mais rápido do grupo inteiro. Então, qualquer um mais lento que H não pode ser considerado para os três primeiros. Então isso exclui F e I.

Pensando no caracol O, na melhor das hipóteses, é o segundo caracol mais rápido em geral. Agora, os concorrentes do terceiro caracol mais rápido devem ser H, que terminou imediatamente atrás dele na corrida dos vencedores, e N, que terminou imediatamente atrás dele na corrida original. K, que terminou dois lugares atrás na corrida original, não pode ser o terceiro caracol mais veloz. Por fim, sabemos que A é o mais rápido. Agora, isso dá-nos cinco opções para os caracóis do segundo e terceiro lugares.

Então agora podemos ter uma corrida final, a sétima corrida. E o vencedor dessa corrida é o segundo mais rápido no geral. E o segundo nesta corrida seria o terceiro caracol mais rápido em geral. Portanto, seis corridas não nos dariam informações suficientes para nos informar sobre o primeiro, o segundo e o terceiro caracóis em geral. Mas com esta corrida extra e um pouco de análise cuidadosa, podemos identificar os três principais caracóis em geral. Agora, se tentou isto num grupo de 25 caracóis de corrida, a ordem das letras que obteve provavelmente será diferente da ordem das letras que obtivemos. Mas é o processo de executar cinco corridas iniciais, seguidas por uma sexta corrida de vencedores, depois a lógica e a análise que utilizamos seguidas pela sétima corrida final, que nos leva aos nossos caracóis um, dois e três mais rápidos no grupo.