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Vídeo da aula: Sinais de funções trigonométricas nos quadrantes Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como identificar em que quadrante está um ângulo e se o seu seno, o seu cosseno e a sua tangente são positivos ou negativos

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como identificar em que quadrante está um ângulo e se o seu seno, o seu cosseno e a sua tangente serão positivos ou negativos.

Primeiro, vamos considerar um plano de coordenadas com os eixos O𝑥 e O𝑦. O quadrante superior direito é identificado como quadrante um. O quadrante superior esquerdo é o segundo quadrante. O quadrante inferior esquerdo é o quadrante três. E o quadrante inferior direito é o quadrante quatro. Sabemos que à direita da origem, os valores de 𝑥 são positivos. E à esquerda da origem, os valores de 𝑥 são negativos. De maneira semelhante, acima da origem, os valores de 𝑦 são positivos. E abaixo da origem, os valores de 𝑦 são negativos. Vamos adicionar quatro pontos ao nosso plano: o ponto 𝑥, 𝑦; o ponto menos 𝑥, 𝑦; o ponto menos 𝑥, menos 𝑦; e o ponto 𝑥, menos 𝑦.

E a seguir, no primeiro quadrante, traçamos uma reta da origem até ao ponto 𝑥, 𝑦. E seja o ângulo formado entre o eixo O𝑥 e esta reta 𝜃. Se traçarmos uma reta vertical de 𝑥, 𝑦 ao eixo O𝑥, vemos que criamos um triângulo retângulo com uma distância horizontal da origem de 𝑥 e uma distância vertical de 𝑦. E se nos é dado que é uma unidade da origem ao ponto 𝑥, 𝑦, podemos utilizar as nossas funções trigonométricas para descobrir algumas coisas sobre este triângulo.

Para as nossas três funções trigonométricas principais, seno, cosseno e tangente, o seno do ângulo 𝜃 será igual ao comprimento do lado oposto sobre a hipotenusa. O cos do ângulo 𝜃 será igual ao comprimento do lado adjacente sobre a hipotenusa. E o tan do ângulo 𝜃 será o comprimento do lado oposto sobre o comprimento do lado adjacente. Se quisermos determinar o sen de 𝜃, podemos dizer que é igual a 𝑦 sobre um, pois 𝑦 é o comprimento do lado oposto e a hipotenusa é um. Analogamente, o cosseno será igual a 𝑥 sobre um, o comprimento do lado adjacente sobre a hipotenusa. E tan de 𝜃 será igual a 𝑦 sobre 𝑥.

Podemos simplificar o seno e o cosseno para 𝑦 e 𝑥, respetivamente. E como sabemos que no primeiro quadrante todos os valores de 𝑦 são positivos, podemos dizer que, para ângulos que pertencem ao quadrante um, o valor do seno será positivo. Analogamente, quando temos valores de 𝑥 no primeiro quadrante, sabemos que o valor do cosseno também será positivo. E a tangente no primeiro quadrante será um número positivo sobre um número positivo, que também será positivo.

Vamos ver como isto muda se passarmos para o segundo quadrante. A distância da origem até menos 𝑥, 𝑦 é também um. É o oposto sobre a hipotenusa, 𝑦 sobre um. Mas o cosseno será menos 𝑥 sobre um. No segundo quadrante, estamos a lidar com valores negativos de 𝑥, o que torna tan de 𝜃 𝑦 sobre menos 𝑥. Isto significa que, no segundo quadrante, a razão seno permanece positiva. Mas a razão cosseno e a razão tangente serão negativas.

Indo para o quadrante três, onde estamos a lidar com coordenadas negativas de 𝑥 e coordenadas negativas de 𝑦, sen de 𝜃 será menos 𝑦 sobre um. cos 𝜃 é menos 𝑥 sobre um. Podemos simplificar isto para menos 𝑦 e menos 𝑥. Mas algo interessante acontece com a tangente. É igual a menos 𝑦 sobre menos 𝑥, o que simplifica para 𝑦 sobre 𝑥. No terceiro quadrante, a razão tangente ainda é positiva. Mas neste quadrante, as razões seno e cosseno serão negativas.

E agora no quarto quadrante, onde a coordenada em 𝑥 é positiva e a coordenada 𝑦 é negativa, sen de 𝜃 é menos 𝑦 sobre um. Mas cos de 𝜃 é mais 𝑥 sobre um, o que nos dá um seno negativo e um cosseno positivo. E isto tornará a nossa tangente menos 𝑦 sobre 𝑥. A única razão positiva no quarto quadrante é o cosseno. Os valores negativos de 𝑦 tornam as razões seno e tangente negativas.

O que descobrimos para cada um destes quadrantes será verdade para qualquer ângulo que caia dentro desse quadrante. Qualquer ângulo no primeiro quadrante terá valores positivos de seno, cosseno e tangente. Qualquer ângulo que pertença ao segundo quadrante terá apenas a razão seno positiva. Os ângulos no quadrante três terão razões da tangente positivas. E os ângulos no quadrante quatro terão razões de cosseno positivas.

Há um dispositivo de memória que às vezes utilizamos para recordar isto. É designado por diagrama CAST e parece-se com isto. No diagrama CAST, indicamos quais as razões trigonométricas que são positivas em cada quadrante. No quarto quadrante, no canto inferior direito, o cosseno é positivo e o seno e a tangente são negativos. No primeiro quadrante, no canto superior direito, temos um A porque todas as três razões são positivas. No segundo quadrante, no canto superior esquerdo, o seno é positivo, com um cosseno negativo e uma tangente negativa. E no terceiro quadrante, no canto inferior esquerdo, a tangente é positiva e o seno e o cosseno são negativos.

Há uma coisa final que precisamos de rever antes de ver alguns exemplos. E é assim que medimos os ângulos num plano de coordenadas. O eixo O𝑥 no sentido para a direita é designado por lado origem. E o lado extremidade é onde o ângulo para. Se estivermos a medir do lado origem até ao lado extremidade em sentido horário, estamos a medir uma amplitude positiva do ângulo. Se estivermos a medir do lado origem ao lado extremidade em sentido horário, estaremos a medir uma amplitude negativa do ângulo. E, finalmente, começando no lado origem está a uma amplitude de zero graus. Do lado origem ao eixo O𝑦 são 90 graus, para o outro lado do eixo O𝑥 são 180 graus, mais 90 graus leva-nos a 270 e, finalmente, de volta a 360 graus..

Agora estamos prontos para ver alguns exemplos.

Em que quadrante está o ângulo de 288 graus?

Quando pensamos nos quatro quadrantes do plano de coordenadas e os denominamos de um a quatro, sabemos que o lado inicial mede zero graus. E, em seguida, cada quadrante adicional tem mais 90 graus. E, em seguida, uma rotação completa é de 360. Quando medimos ângulos em planos de coordenadas, começamos no eixo O𝑥 e prosseguimos em sentido anti-horário se estivermos a lidar com um ângulo positivo. E para nós, isto significa que vamos do lado origem, um pouco depois de 270, pois sabemos que 288 está entre 270 e 360. E vemos que este ângulo está no quarto quadrante.

No próximo exemplo, teremos informações sobre o seno e o cosseno de um ângulo e ser-nos-á solicitado que determinemos a que quadrante pertence.

Determine o quadrante no qual 𝜃 reside se cos de 𝜃 for maior do que zero e sen de 𝜃 for menor do que zero.

Estamos a tentar considerar um plano de coordenadas e determinar a que quadrante um ângulo pertencerá. Disseram-nos que cos de 𝜃 é maior do que zero, isto significa que tem um valor de cosseno positivo, enquanto o sen de 𝜃 é menor do que zero, o que significa que o seno tem um valor negativo. Um método que utilizamos para identificar os valores do seno e do cosseno em diferentes quadrantes é o diagrama CAST que se parece com isto

No diagrama CAST, sabemos que no primeiro quadrante, todos os valores são positivos. No segundo quadrante, apenas o valor do seno é positivo. No terceiro quadrante, apenas o valor tangente é positivo. E no quarto quadrante, apenas o cosseno é positivo. Se tivermos um valor de seno negativo e um valor de cosseno positivo, podemos eliminar o quadrante um, pois todos os valores devem ser positivos aqui. Podemos eliminar o segundo quadrante, pois o seno é positivo. No quadrante três, o seno é negativo, mas o cosseno também. E isto significa que o quadrante três não resultará. No quadrante quatro, o cosseno é positivo e o seno é negativo. E isto significa que o nosso ângulo 𝜃 nestas condições deve pertencer ao quarto quadrante.

Vamos considerar outro exemplo.

A que quadrante 𝜃 pertence se sen de 𝜃 é igual a um sobre a raiz quadrada de dois e cos de 𝜃 é igual a um sobre a raiz quadrada de dois?

Quando pensamos nas razões seno e cosseno, sabemos que o sen de 𝜃 é o oposto sobre a hipotenusa, enquanto o cos de 𝜃 é o lado adjacente sobre a hipotenusa. Mas como traduzimos estas informações para um plano de coordenadas?

Num plano de coordenadas, as razões seno, cosseno e tangente terão valores positivos ou negativos. E podemos recordar onde cada uma destas razões terá valores positivos com o diagrama CAST que se parece com isto. No primeiro quadrante, todas as três razões trigonométricas são positivas. No segundo quadrante, apenas a razão seno é positiva. No quadrante três, apenas a razão tangente é positiva. E no quadrante quatro, apenas a razão cosseno é positiva.

Neste caso, estamos a lidar com uma razão seno positiva e uma razão cosseno positiva. Também poderemos utilizar as informações que nos deram para determinar a razão tangente, que será igual ao oposto sobre o adjacente. Para este ângulo, esta será um sobre um. E o que estamos a ver é que todas estas três razões são positivas para este ângulo. E isto significa que devemos dizer que pertence ao primeiro quadrante.

No nosso próximo exemplo, consideraremos um ângulo maior do que 360 graus.

Cos de 400 graus é positivo ou negativo?

Para responder a esta questão, precisamos de determinar onde é que 400 graus pertence num plano de coordenadas. Se escrevermos no nosso plano de coordenadas padrão de zero a 360 graus, precisamos de pensar sobre o que faríamos com 400 graus. Percorrendo em sentido anti-horário uma rotação completa, deslocámo-nos 360 graus. Mas, para chegar a 400, precisaremos de mais 40 graus, já que 400 menos 360 é igual a 40. E isto significa que o ângulo 400 pertencerá ao mesmo lugar que o ângulo de 40 graus, aqui.

Agora que identificámos onde é que o ângulo de 400 graus pertence no plano de coordenadas, precisamos de pensar em como saberíamos se isto é positivo ou negativo. E para fazer isso, podemos utilizar o nosso diagrama CAST que se parece com isto. O nosso diagrama CAST diz-nos onde as razões trigonométricas são positivas num plano de coordenadas. No primeiro quadrante, todas as três razões são positivas. No segundo quadrante, apenas o seno é positivo. No terceiro quadrante, apenas a tangente é positiva. E no quarto quadrante, apenas o cosseno é positivo. O nosso ângulo pertence ao primeiro quadrante. No primeiro quadrante, seno, cosseno e tangente são positivos. E isto significa que o cos de 400 graus será positivo.

Antes de terminar, vamos rever os nossos pontos principais. Podemos identificar se o seno, o cosseno e a tangente serão positivos ou negativos com base no quadrante em que o ângulo se encontra. No primeiro quadrante, as razões seno, cosseno e tangente serão todas positivas. Para ângulos que pertencem ao segundo quadrante, a razão seno será positiva, mas as razões cosseno e tangente serão negativas. Para ângulos que pertencem ao quadrante três, as razões seno e cosseno serão negativas, mas a razão tangente será positiva. E, finalmente, no quadrante quatro, a razão seno é negativa, a razão cosseno é positiva e a razão tangente também é negativa. Muitas vezes utilizamos o diagrama CAST para nos recordar disto. Estas letras ajudam-nos a identificar quais são os valores que serão positivos em cada quadrante.

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