Video Transcript
Neste vídeo, vamos ver como usar a razão de cosseno para calcular o comprimento do cateto adjacente ou da hipotenusa em um triângulo retângulo. Então, primeiro de tudo, um lembrete de qual é a razão de cosseno. Eu tenho na tela aqui um diagrama de um triângulo retângulo. E eu escolhi um dos outros dois ângulos para rotular como 𝜃. Eu rotulei os três lados desse triângulo com seus nomes em relação a esse ângulo 𝜃. Então nós temos a hipotenusa. Nós temos o cateto oposto. E nós temos o cateto adjacente. A razão de cosseno ou cos, como é frequentemente abreviada, é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa desse triângulo. Portanto, sua definição é que cos do ângulo 𝜃 é igual ao cateto adjacente dividido pela hipotenusa. E se você está usando SOHCAHTOA para ajudá-lo com trigonometria, então esta é a parte CAH disso. Agora vamos ver como podemos usar essa razão para calcular o comprimento dos lados ausentes em triângulos retângulos.
Então aqui está o nosso primeiro problema.
Temos um diagrama de um triângulo retângulo. Podemos ver que nos foi dado o comprimento de um lado e um ângulo. E somos solicitados a calcular 𝑥, que é o comprimento do outro lado. Então, para mim, o primeiro passo para qualquer problema envolvendo trigonometria é rotular os três lados do triângulo com seus nomes em relação a esse ângulo de 28 graus. Então, usando a primeira letra de cada uma dessas palavras, você pode ver que tenho a hipotenusa, o cateto oposto e o cateto adjacente. Agora, olhando para esses três lados, você pode ver que tenho seis centímetros, que é a hipotenusa. E eu quero calcular 𝑥, que é o cateto adjacente. Então eu tenho o 𝐴 e o 𝐻 envolvidos nessa razão. E se você pensar em SOHCAHTOA, então 𝐴 e 𝐻 aparecem juntos na razão de cos, que é como sabemos que é a razão de cos que vamos precisar para essa questão em particular.
Então eu me lembro da definição da razão de cos. E é isso que é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. O que vou fazer então é escrever essa razão. Mas vou preencher as informações que conheço. Então, vou substituir 𝜃, que é o ângulo, por 28. Vou substituir o cateto adjacente por 𝑥 porque essa é a letra dele no diagrama. E eu vou substituir a hipotenusa por seis. Então, isso me dá cos de 28 é igual a 𝑥 sobre seis. Agora, esta é uma equação que estou procurando resolver para calcular o valor de 𝑥. Então, o primeiro passo a ser dado, bem, há um seis no denominador. Então eu preciso multiplicar ambos os lados dessa equação por seis. Quando eu faço isso, eu percebo que 𝑥 é igual a seis cos 28. Isso significa apenas seis multiplicado por cos 28. Mas não precisamos do sinal de multiplicação lá.
Agora, vou calcular isso usando minha calculadora, certificando-me de que está no modo de graus porque o ângulo na questão foi especificado em graus. Então, calculando isso, eu percebo que 𝑥 é igual a 5,29768. A pergunta me pediu para encontrar esse valor para o décimo mais próximo. Então eu preciso arredondar minha resposta. E, portanto, eu tenho que 𝑥 é igual a 5,3. Então, um rápido resumo, nesta questão, o que fizemos foi identificar que era a razão de cosseno que precisávamos rotulando os lados do triângulo. Em seguida, escrevemos essa razão, mas usando as informações dessa questão específica, e depois resolvemos a equação resultante para calcular o valor ausente 𝑥.
Certo, aqui está o segundo exemplo que vamos ver.
Diz, calcule o comprimento da hipotenusa do triângulo 𝐴𝐵𝐶, com duas casas decimais. E podemos ver que nos é dado um diagrama de um triângulo retângulo, onde temos o comprimento de um lado e o tamanho de um dos outros ângulos.
Então, como antes, meu primeiro passo é rotular os três lados com os nomes em relação a esse ângulo de 65 graus. Então, temos seus nomes aqui. E novamente podemos ver que é a razão de cosseno que vamos precisar, porque eu recebi o comprimento do lado adjacente. São 5,1 milímetros. E é a hipotenusa que eu quero calcular. Então, 𝐴 e H, lembre-se, é a razão de cosseno. Então, como antes, o que vou fazer é escrever a razão de cosseno. Mas vou preencher as informações que conheço. Então, 𝜃 vai se tornar 65. O cateto adjacente se tornará 5,1. E a hipotenusa à qual me referirei como 𝐵𝐶, pois é a notação para este triângulo em particular. Então eu tenho cos de 65 é igual a 5,1 sobre 𝐵𝐶. Agora, novamente, essa é uma equação que eu gostaria de resolver para calcular o valor de 𝐵𝐶. É um pouco mais complexo porque, desta vez, o comprimento desconhecido está no denominador de uma fração.
Então, meu primeiro passo para resolver essa equação será multiplicar ambos os lados da equação por 𝐵𝐶. Então, fazendo isso, temos 𝐵𝐶 multiplicado por cos 65 é igual a 5,1. Agora, eu quero calcular 𝐵𝐶. Portanto, o próximo passo é dividir ambos os lados da equação por cos de 65. Cos de 65 é apenas um número. Então, está perfeitamente bem para mim fazer isso. Isso me dá então que 𝐵𝐶 é igual a 5,1 sobre cos de 65. Este estágio aqui é quando eu vou usar minha calculadora para calcular isso. E isso me diz que 𝐵𝐶 é igual a 12,067 e assim por diante. Agora, a pergunta me pediu para dar minha resposta com duas casas decimais.
Então, finalmente, preciso arredondar essa resposta. E eu preciso incluir as unidades que serão milímetros. Portanto, minha resposta final é que o comprimento da hipotenusa 𝐵𝐶 é de 12,07 milímetros.
Então o processo para essa pergunta foi muito semelhante ao anterior. Rotulamos os três lados, identificamos a necessidade da razão cosseno, anotamos usando as informações da pergunta e, em seguida, resolvemos a equação resultante. A equação era apenas um pouco mais complexa desta vez porque o comprimento que estávamos procurando encontrar estava no denominador de uma fração. Portanto, envolveu duas etapas para resolvê-lo, em vez de apenas uma.
Certo, nosso próximo exemplo parece um pouco diferente.
Recebemos uma circunferência. E nos é dito que 𝐴𝐵 é o diâmetro dessa circunferência. Somos então solicitados a calcular o raio dessa circunferência até o centésimo mais próximo.
Agora, podemos ver que, dentro dessa circunferência, temos um triângulo. E nós temos um dos ângulos do triângulo que é de 40 graus e um comprimento de lado que é de quatro centímetros. A questão é: bem, este é um triângulo retângulo? Porque se for, podemos aplicar a trigonometria a esse problema. Agora, para ver que este é de fato um triângulo retângulo, você precisa fazer uma conexão com algum trabalho em outra área da matemática. E essa é a área dos teoremas da circunferência. Um dos principais teoremas da circunferência nos diz que, se você tiver um cenário como esse, o ângulo que está na borda da circunferência será a metade do ângulo que está no centro. Agora, aqui o ângulo no centro é uma linha reta. Então são 180 graus. E, portanto, o ângulo na circunferência, o ângulo 𝐴𝐶𝐵, é a metade disso. Então são 90 graus, o que significa que este ângulo aqui é de fato um ângulo reto.
Se você talvez tenha estudado tópicos em uma ordem diferente e ainda não conheceu os teoremas da circunferência, esperaria que esse ângulo reto fosse marcado no diagrama para você. Mas, em última análise, uma vez que você conheceu os teoremas da circunferência, você seria capaz de deduzir isso por si mesmo. Então, o que isso nos diz é que temos um triângulo retângulo. E, portanto, podemos usar a trigonometria para responder a esse problema. Portanto, meu primeiro passo será rotular os três lados desse triângulo com seus nomes, o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa, em relação ao ângulo de 40 graus. E então o que podemos ver é que sabemos o comprimento do cateto adjacente. Se quisermos calcular o raio dessa circunferência, precisamos calcular o comprimento de 𝐴𝐵, que é o diâmetro, e depois dividi-lo pela metade. Então, novamente, precisamos conhecer a hipotenusa. Então, A e 𝐻 estão envolvidos, o que nos diz que é a razão do cosseno que precisamos.
Então, como nas perguntas anteriores, vamos escrever a razão de cosseno novamente, mas preenchendo as informações desta pergunta em particular. Então nós temos aquele cos do ângulo que é igual a quatro, o cateto adjacente de 𝐴𝐵, a hipotenusa. Agora, o que estamos procurando fazer é resolver essa equação para calcular o valor de 𝐴𝐵. Então, isso é muito semelhante ao que vimos no exemplo anterior. 𝐴𝐵 está no denominador dessa fração. Então, primeiro de tudo, precisamos multiplicar ambos os lados da equação por 𝐴𝐵. E fazendo isso me dá 𝐴𝐵 multiplicado por cos 40 é igual a quatro. O próximo passo é que eu preciso dividir ambos os lados dessa equação por cos de 40. Então eu tenho 𝐴𝐵 é igual a quatro sobre cos 40. Agora, não vou calcular isso ainda porque a questão me pediu para calcular o raio da circunferência. E 𝐴𝐵 é o diâmetro. Então eu preciso reduzir isso pela metade para responder à pergunta.
Então, 𝑟, que estou usando para representar o raio da circunferência, é quatro sobre cos 40 multiplicado por um meio. E eu vou usar minha calculadora agora para calcular isso, o que me diz que 𝑟 é igual a 2,6108 e assim por diante. Agora, a questão me pediu para encontrar esse raio para o centésimo mais próximo. Então vou arredondar minha resposta. Então temos que o raio da circunferência é igual a 2,61 centímetros. Portanto, nesta questão, o processo real é muito semelhante ao que já vimos anteriormente. A única diferença foi que, desta vez, estávamos combinando nosso conhecimento de trigonometria com nosso conhecimento de teoremas de circunferência e usando teoremas de circunferência para identificar que o ângulo 𝐴𝐶𝐵 era de 90 graus. E, portanto, poderíamos aplicar a trigonometria ao problema.
Certo, a pergunta final que vamos analisar é uma pergunta que não é de calculadora.
Portanto, temos um diagrama de um triângulo retângulo. E nos é dito para usar as informações da tabela para calcular 𝐵𝐶. E na tabela, podemos ver que recebemos os valores das razões de seno, cosseno e tangente para esse ângulo de 35 graus.
Portanto, ao fazer trigonometria, você quase sempre tem acesso a uma calculadora porque precisa dela para informar os valores dessas relações de seno, cosseno e tangente. Existem alguns ângulos particulares, então 30 graus, 45 graus e 60 graus, para os quais esses valores são razões bastante simples em termos de limites. E assim você pode fazer trigonometria sem uma calculadora. Mas na maioria das vezes nós precisamos disso. No entanto, essa pergunta contornou a necessidade de uma calculadora, dando-nos os valores de sen, cos e tg dentro da própria pergunta. E assim, veremos como usá-los em um minuto. O primeiro passo, pois provavelmente está envolvendo trigonometria, é rotular os três lados em relação a esse ângulo de 35 graus. Então, temos os três rótulos aqui. E novamente, como em todos os exemplos neste vídeo, podemos ver que é a razão de cosseno que precisamos, porque temos o comprimento da hipotenusa 𝐻. E estamos procurando calcular 𝐵𝐶 que é o cateto adjacente. Então 𝐴 e 𝐻 nos dizem que é a razão de cosseno que precisamos.
Então, como nas questões anteriores, vamos escrever a razão do cosseno, mas preenchendo as informações para essa questão, substituindo o ângulo por 35, substituindo o cateto adjacente por 𝐵𝐶 e substituindo a hipotenusa por 10. Temos então que cos de 35 é igual a 𝐵𝐶 sobre 10. Agora, eu preciso resolver essa equação para 𝐵𝐶. Então, vou multiplicar os dois lados da equação por 10. E eu tenho que 𝐵𝐶 é igual a 10 cos de 35. Agora, é aqui que as informações da pergunta entram, porque lembre-se de que não temos uma calculadora. Mas, olhando para a tabela, podemos ver que temos o valor de cos de 35 aqui. É 0,819. Então eu posso usar esse valor neste estágio da pergunta. Então, isso me diz que 𝐵𝐶 é igual a 10 multiplicado por 0,819. E essa é uma multiplicação direta sem calculadora. Então temos que o comprimento de 𝐵𝐶 é de 8,19 centímetros.
Agora, esse não é o seu valor exato porque cos de 35 não é exatamente 0,819; é um decimal mais longo. Mas nós só recebemos três casas decimais. Portanto, este valor para 𝐵𝐶, é exatamente igual a duas casas decimais ou ao centésimo mais próximo. Portanto, esta questão apenas fornece um exemplo de como você pode usar a trigonometria quando não tem acesso a uma calculadora.
Em resumo, então, lembramos a definição da razão cosseno como o cateto adjacente dividido pela hipotenusa. E vimos como aplicar essa razão a quatro perguntas diferentes em que procuramos calcular o cateto adjacente ou a hipotenusa em um triângulo retângulo.
