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Neste vídeo, nosso tópico é o cálculo da densidade. A densidade tem a ver com quanta massa está contida em uma determinada quantidade de espaço. Quanto mais massa houver, mais denso será o objeto. Cada material tem alguma densidade e podemos usar essa propriedade para comparar materiais. Por exemplo, digamos que temos uma piscina de água. E nesta piscina, jogamos um bloco de ferro sólido e um bloco de madeira maciça. Quando esses materiais pousam na água, o ferro afunda enquanto a madeira flutua na superfície. Agora, podemos olhar para este resultado da madeira flutuando e do ferro afundando e pensar que poderíamos mudá-lo usando diferentes tamanhos de materiais.
Podemos imaginar que, se usarmos um bloco de madeira muito maior e um pedaço de ferro muito menor, talvez agora a madeira afunde e o ferro flutue. Mas, em vez disso, encontramos a mesma coisa acontecendo como antes; até mesmo o bloco muito grande de madeira flutua e até mesmo o pedaço muito pequeno de ferro afunda. O que estamos descobrindo é que a diferença entre esses três materiais, a madeira, a água e o ferro, não tem a ver com seu volume, ou seja, quanto espaço eles ocupam. Mas tem a ver com alguma outra propriedade material. Essa propriedade é chamada de densidade do material. A densidade envolve tanto a massa de um objeto quanto seu volume. A densidade é uma razão que descreve quanta matéria um determinado material possui em uma certa quantidade de volume.
Se considerarmos nossos dois blocos de madeira, o grande e o menor, o bloco grande de madeira tem mais massa do que o menor. Mas podemos ver que também tem mais volume. Ou seja, ocupa mais espaço. E porque a densidade é uma razão entre a massa de um objeto e seu volume, mesmo que as massas, bem como os volumes desses dois blocos de madeira sejam diferentes, suas densidades são exatamente as mesmas. Ou seja, se pegarmos a massa desse bloco de madeira e dividi-la pelo volume desse bloco, essa proporção é exatamente igual à massa desse bloco de madeira maior dividida por seu volume.
E é por isso que ambos os blocos, embora tenham tamanhos muito diferentes, se comportam da mesma forma, que ambos flutuam. É porque, em comparação com a água em que flutuam, ambos têm a mesma densidade. A mesma coisa vale para nossos dois pedaços de ferro. Mesmo que essas peças tenham tamanhos e massas diferentes, se pegássemos a massa desse pedacinho de ferro e a dividíssemos pelo seu volume, então essa razão seria exatamente igual à massa dessa peça maior dividida por seu volume.
Portanto, a densidade de um objeto, e todos os objetos têm alguma densidade, depende de mais do que apenas seu volume e mais do que apenas sua massa. Depende tanto da massa quanto do volume. E, especificamente, a densidade é a relação entre massa e volume. Podemos escrever isso como uma equação. Podemos dizer que a densidade, que representaremos usando a letra grega 𝜌, é igual à razão entre a massa de um objeto e o volume desse mesmo objeto. Com esta equação, agora temos uma receita confiável para calcular a densidade de algum objeto. Se sabemos ou podemos descobrir sua massa e o mesmo com seu volume, então podemos calcular sua massa por unidade de volume, sua densidade.
Como mencionamos anteriormente, a densidade é uma propriedade dos materiais. Qualquer tamanho de objeto feito exclusivamente de um determinado material tem a mesma densidade, não importa quão grande ou pequeno seja o objeto. Isso porque, conforme o volume de um objeto feito de um determinado material aumenta, a massa do objeto aumenta na mesma proporção. Esses quatro blocos são todos feitos do mesmo material. E digamos que se o volume deste bloco muito pequeno for 𝑉 maiúsculo, então o volume deste bloco aqui é duas vezes maior que aquele. São dois 𝑉. Mas a densidade desses blocos, assim como dos outros dois, são todos iguais porque eles são feitos do mesmo material, o que deve significar que se a massa do menor bloco for 𝑚, então a massa do próximo bloco menor deve ser dois 𝑚.
Então, quando calculamos a densidade do primeiro bloco, vamos chamá-lo de 𝜌 sub um, é igual à massa do bloco dividida por seu volume 𝑚 sobre 𝑉. E então, se calcularmos a densidade do segundo bloco, vamos chamá-lo de 𝜌 sub dois, que é igual a dois 𝑚 dividido por dois 𝑉 porque este bloco tem o dobro da massa e o dobro do volume. Então, o dois no numerador e o dois no denominador se cancelam. E ficamos com uma densidade para o nosso segundo bloco, que é igual à densidade do primeiro bloco. E isso é o que esperávamos porque esses blocos são feitos do mesmo material. Portanto, eles devem ter a mesma densidade.
Como a densidade de um determinado material é sempre a mesma, independentemente do tamanho do objeto feito desse material, a densidade é útil para nos permitir comparar os materiais. Por exemplo, digamos que esses dois blocos aqui são feitos de dois materiais diferentes; vamos chamá-los de A e B. Digamos que quiséssemos descobrir qual desses materiais é mais denso. Podemos dizer a olho nu que o volume do material B é maior do que o volume do material A. Mas isso não significa que será mais ou menos denso.
Para descobrir isso, precisaríamos saber as densidades desses dois materiais. Digamos que cada um desses objetos tem a forma de um cubo e que o comprimento lateral do objeto feito de material A é de dois metros, enquanto o comprimento lateral do objeto maior é de quatro metros. E digamos ainda que a massa do nosso objeto menor é de 16 quilogramas, enquanto a massa do nosso maior é quatro vezes isso, 64 quilogramas. Para comparar as densidades desses dois cubos, vamos primeiro calcular esses valores. Vamos deixar 𝜌 sub A ser a densidade do material A e 𝜌 sub B ser a densidade do material B.
Podemos ver que, com base em nossa equação para densidade, é igual à massa de um determinado objeto dividido por seu volume. Agora, sabemos quais são as massas dos objetos menores e maiores. E com aqueles substituídos, nossa próxima tarefa é resolver os volumes desses dois objetos. Como nossos dois objetos têm forma cúbica, isso significa que seu volume total será igual ao comprimento de um de seus lados ao cubo. Outra maneira de dizer isso é que se tivermos um cubo com comprimento lateral maiúsculo 𝐿, o volume desse cubo será 𝐿 vezes 𝐿 vezes 𝐿 ou 𝐿 ao cubo.
Então, quando consideramos o volume de nossos dois cubos feitos de materiais A e B, o volume do objeto menor feito de material A é igual ao seu comprimento lateral, a quantidade de dois metros ao cubo, e o volume do objeto maior é igual ao seu comprimento lateral, quatro metros cúbicos. Agora, quando realizamos esta operação, quando fazemos o cubo dessas distâncias, é importante aplicar este cubo tanto às unidades quanto aos números. Ou seja, vamos elevar ao cubo os metros para obter metros cúbicos e vamos elevar ao cubo o número na frente dessa unidade. Então, o volume do nosso objeto menor é duas vezes duas vezes dois metros cúbicos. São oito metros cúbicos. E nosso objeto maior tem um volume de quatro vezes quatro vezes quatro metros cúbicos ou 64 metros cúbicos.
Agora, antes de calcularmos essas densidades, observe as unidades que estão envolvidas. Temos a unidade básica de massa do SI, o quilograma, dividido pela unidade de distância base do SI, o metro cúbico, que é a unidade de base do volume do SI. Este conjunto de unidades, quilogramas por metro cúbico, é a forma padrão de expressar as densidades dos materiais. Então, sabendo disso, quais são essas densidades, 𝜌 sub A e 𝜌 sub B? Vemos que 𝜌 sub A é 16 dividido por oito ou dois quilogramas por metro cúbico, enquanto 𝜌 sub B é 64 dividido por 64 ou um quilograma por metro cúbico. Portanto, com base em nosso cálculo, o material B é menos denso do que o material A, o que significa, por exemplo, que se jogássemos esses dois objetos em algum líquido, mesmo que o objeto feito de material B seja maior, será mais provável para flutuar naquele líquido.
E isso porque, em comparação com o material A, sua densidade é menor. Agora, embora esses dois objetos tivessem forma cúbica e pudéssemos resolver seu volume usando essa relação, sabemos que nem sempre será o caso para objetos cuja densidade queremos calcular. Por exemplo, podemos ter um objeto no formato de uma esfera com raio 𝑟 ou podemos ter um objeto de formato mais irregular com um determinado comprimento, largura e altura. Se isso acontecer, podemos recuperar diferentes fórmulas para calcular o volume de nossa forma. O volume de uma esfera é quatro terços vezes 𝜋 vezes o raio da esfera ao cubo. E um objeto como este aqui, que é chamado de paralelepípedo, tem um volume igual a seu comprimento vezes sua largura vezes sua altura.
Essas fórmulas podem ser úteis quando calculamos o volume para determinar a densidade. Talvez a melhor maneira de se familiarizar com a densidade seja trabalhar alguns exemplos. Vamos tentar um desses agora.
Duas esferas têm a mesma massa, mas a segunda esfera tem um volume da metade do tamanho da primeira. Quanto maior é a densidade da segunda esfera do que a da primeira esfera?
Tudo bem, neste exercício temos essas duas esferas diferentes. Vamos chamá-los de esfera um e esfera dois. Quando se trata das massas dessas esferas, somos informados de que são iguais. Nós poderíamos escrever assim. Poderíamos dizer que 𝑚 um, a massa da primeira esfera, é igual à massa da segunda esfera 𝑚 dois. Mas, então, nossa definição do problema continua dizendo que o volume da segunda esfera é metade do volume da primeira. Outra maneira de dizer isso é que o volume da primeira esfera, podemos chamá-lo de 𝑉 um, é duas vezes maior que o volume da segunda esfera, 𝑉 dois.
Isso significa o mesmo que dizer que a segunda esfera tem um volume da metade do tamanho do primeira. Agora que sabemos como se comparam a massa e os volumes dessas duas esferas, queremos saber sobre a densidade da segunda esfera em comparação com a primeira. Em particular, queremos saber quão maior é a densidade desta segunda esfera em comparação com a densidade da primeira. Para descobrir isso, podemos lembrar que, em geral, a densidade 𝜌 de um objeto é igual à massa do objeto dividida por seu volume.
Então, vamos fazer isso. Vamos deixar 𝜌 sub um representar a densidade da primeira esfera, e 𝜌 sub dois representará a densidade da segunda. Sabemos pela nossa equação para densidade que a densidade da esfera um é igual a 𝑚 um dividido por 𝑉 um. E então a densidade da esfera dois é 𝑚 dois dividido por 𝑉 dois. Queremos fazer uma comparação entre essas duas densidades, 𝜌 um e 𝜌 dois. E para fazer isso, vamos expressar a densidade da esfera dois inteiramente em termos de variáveis relacionadas com a esfera um. Aqui está o que queremos dizer com isso.
Em primeiro lugar, usaremos o fato de que 𝑚 dois, a massa da segunda esfera, é igual à massa da primeira esfera. Isso significa que podemos substituir 𝑚 dois por 𝑚 um. Eles são iguais. Então, considerando os volumes das esferas, temos a equação de que 𝑉 um é igual a duas vezes 𝑉 dois. Se dividirmos os dois lados desta equação por dois, veremos que dois se cancelam à direita. E descobrimos que 𝑉 dois é igual a 𝑉 um dividido por dois. Então podemos pegar 𝑉 um dividido por dois e substituí-lo por 𝑉 dois em nossa equação por 𝜌 dois. Quando fazemos isso, agora temos essa fração 𝑚 um dividido por 𝑉 um dividido por dois.
Se multiplicarmos essa fração por dois dividido por dois, não mudaremos o número de forma alguma, porque tecnicamente estamos multiplicando por um. Mas vemos que no denominador, os dois se cancelam. E terminamos com o resultado de duas vezes 𝑚 um sobre 𝑉 um. Agora, a densidade de nossa segunda esfera é expressa inteiramente em termos de massa e volume da primeira esfera. Visto que 𝜌 um, a densidade da primeira esfera, é igual a 𝑚 um sobre 𝑉 um, podemos substituir 𝑚 um sobre 𝑉 um aqui por 𝜌 um. E descobrimos que 𝜌 dois, a densidade da segunda esfera, é duas vezes 𝜌 um, a densidade da primeira. Nossa pergunta diz: "Quanto maior é a densidade da segunda esfera do que a da primeira?" E esta é a nossa resposta. É duas vezes maior.
Vejamos agora um segundo exercício exemplo.
Um pequeno cubo de ferro tem lados com 0,15 metros de comprimento. Se a massa do cubo é 26,6 quilogramas, qual é sua densidade? Dê sua resposta a três algarismos significativos.
Ok, então neste exemplo, temos um cubo feito de ferro. E os lados têm todos o mesmo comprimento, 0,15 metros. Junto com isso, somos informados da massa do cubo - podemos nos referir a ele como 𝑚. E isso é dado como 26,6 kg. Com base nisso, queremos calcular a densidade do cubo. Para fazer isso, vamos relembrar a relação matemática entre densidade, massa e volume. A densidade 𝜌 de um determinado objeto é igual a sua massa dividida por seu volume. Portanto, no nosso caso, a densidade do nosso cubo, podemos chamá-lo de 𝜌 sub c, é igual à massa do cubo, 26,6 quilogramas, dividida pelo seu volume.
Para resolver seu volume, podemos lembrar que, como estamos trabalhando com um cubo, o volume do nosso cubo é igual ao comprimento lateral ao cubo. No nosso caso, esse comprimento lateral é de 0,15 metros. Portanto, nosso volume é 0,15 metros, quantidade ao cubo. Esses parênteses são importantes porque nos dizem que aplicaremos este cubo tanto à unidade de metros quanto ao número 0,15. Portanto, o volume do nosso cubo é 0,15 metros cúbicos. Quando calculamos essa densidade, descobrimos que é igual a 7881,48 e assim por diante quilogramas por metro cúbico.
Mas nosso enunciado nos diz para dar nossa resposta a três algarismos significativos. Então, vamos começar na frente de nossa resposta e contar três. Aqui está um número significativo, há dois e há o terceiro. Agora, para descobrir se este segundo oito aqui, nosso terceiro algarismo significativo, será arredondado para cima ou permanecerá o mesmo, examinaremos o próximo algarismo em nossa resposta. Esse algarismo é um, que é menor que cinco. Portanto, este oito não será arredondado para nove. Vai ficar como está. Então, para três algarismos significativos, nossa densidade é de 7880 quilogramas por metro cúbico. Essa é a densidade deste cubo de ferro.
Agora, vamos resumir o que aprendemos sobre o cálculo da densidade. Começando, aprendemos que a densidade é uma propriedade do material que depende da massa e do volume. Para um determinado material, sua densidade é sempre a mesma, independentemente de quão grande ou pequeno tenhamos um pedaço desse material. Escrito como uma equação, a densidade de um objeto, simbolizada pela letra grega 𝜌, é igual à sua massa dividida pelo seu volume.
E, por último, vimos que o volume de um objeto depende de sua forma. Onde o volume de um cubo é igual ao comprimento de seu lado ao cubo, o volume de uma esfera é igual a quatro terços vezes 𝜋 vezes seu raio ao cubo. E o volume de uma forma chamada paralelepípedo é igual a seu comprimento vezes sua largura vezes sua altura. Este é um resumo do cálculo da densidade.
