Vídeo: O Que a Área Tem a Ver Com a Inclinação?

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

O Que a Área Tem a Ver Com a Inclinação?

12:08

Transcrição do vídeo

Aqui, quero discutir um tipo comum de problema em que a integração surge: encontrando a média de uma variável contínua. Isso é uma coisa perfeitamente útil para se saber, certo? Mas o mais interessante é que ele pode nos dar uma perspectiva completamente diferente do motivo pelo qual integrais e derivadas são inversas uma da outra.

Para começar, dê uma olhada no gráfico de seno de 𝑥 entre zero e 𝜋, que é metade do seu período. Qual é a altura média deste gráfico nesse intervalo? Não é uma pergunta inútil. Todos os tipos de fenômenos cíclicos no mundo são modelados usando ondas senoidais. Por exemplo, o número de horas em que o sol nasce por dia em função de qual dia do ano é seguido por um padrão de ondas senoidais. Portanto, se você quiser prever, digamos, a eficácia média dos painéis solares nos meses de verão versus meses de inverno, poderá responder a uma pergunta como esta. Qual é o valor médio dessa função seno durante metade do seu período? Enquanto um caso como esse terá todos os tipos de constantes destruindo a função, você e eu apenas focaremos em uma função seno de 𝑥 pura e sem ônus. Mas a substância da abordagem seria totalmente a mesma em qualquer outra aplicação.

É uma pergunta meio estranha de se pensar, não é? A média de uma variável contínua. Geralmente, com médias, pensamos em um número finito de variáveis, onde você pode somar todas elas e dividir essa soma pelo número de variáveis. Mas existem infinitos valores de seno de 𝑥 entre zero e 𝜋. E não é como se pudéssemos somar todos esses números e dividir pelo infinito. Agora, essa sensação realmente aparece muito em matemática, e vale a pena lembrar, onde você tem essa vaga sensação de que o que você deseja fazer é agregar infinitamente muitos valores associados a um contínuo, mesmo que isso realmente não faça sentido.

E quase sempre, quando você tiver esse sentido, a chave será usar uma integral de alguma forma. E para pensar exatamente como, um bom primeiro passo é geralmente aproximar sua situação com algum tipo de soma finita. Nesse caso, imagine amostrar um número finito de pontos, espaçados igualmente ao longo desse intervalo. Como é uma amostra finita, você pode encontrar a média somando todas as alturas, o seno de 𝑥 em cada uma delas, e depois dividindo essa soma pelo número de pontos que você amostrou, certo? E, presumivelmente, se a ideia de uma altura média entre todos os infinitos pontos fizer algum sentido, quanto mais pontos amostrarmos, o que envolveria somar mais e mais alturas, mais próxima a média dessa amostra deveria estar da média real da variável contínua.

E isso deve parecer pelo menos um pouco relacionado à obtenção de uma integral de seno de 𝑥 entre zero e 𝜋, mesmo que não esteja exatamente claro como as duas ideias se combinam. Para essa integral, lembre-se, você também pensa em uma amostra de entradas nesse contínuo. Mas, em vez de adicionar a altura, o seno de 𝑥 em cada uma e dividir por quantas existem, você soma o seno de 𝑥 vezes d𝑥, onde d𝑥 é o espaçamento entre as amostras. Ou seja, você está adicionando pequenas áreas, não alturas. E tecnicamente, a integral não é exatamente essa soma. É o que quer que essa soma se aproxime quando d𝑥 se aproxima de zero. Mas é realmente bastante útil raciocinar com relação a uma dessas iterações finitas, em que observamos um tamanho concreto para d𝑥 e um número específico de retângulos.

Então, o que você quer fazer aqui é reformular essa expressão para a média, essa soma das alturas dividida pelo número de pontos amostrados, em termos de d𝑥, o espaçamento entre as amostras. E agora, se eu lhe disser que o espaçamento entre esses pontos é, digamos, 0.1 e você sabe que eles variam de zero a 𝜋, você pode me dizer quantos existem? Bem, você pode pegar o comprimento desse intervalo, 𝜋 e dividi-lo pelo comprimento do espaço entre cada amostra. Se não for perfeitamente uniforme, você precisará arredondar para o número inteiro mais próximo. Mas como uma aproximação, isso é completamente bom. Portanto, se escrevermos esse espaçamento entre as amostras como d𝑥, o número de amostras serão 𝜋 dividido por d𝑥. E quando substituímos isso em nossa expressão aqui em cima, você pode reorganizá-la, colocando esse d𝑥 em cima e distribuindo-o pela soma.

Mas pense no que significa distribuir esse d𝑥 em cima. Isso significa que os termos que você adicionará parecerão um seno de 𝑥 vezes d𝑥 para as várias entradas 𝑥 que você está amostrando. Portanto, esse numerador se parece exatamente com uma expressão integral. E assim, para amostras cada vez maiores de pontos, essa média se aproximará da integral real do seno de 𝑥 entre zero e 𝜋, todas divididas pelo comprimento desse intervalo, 𝜋. Em outras palavras, a altura média deste gráfico é essa área dividida por sua largura. Em um nível intuitivo, e apenas pensando em termos de unidades, isso parece bastante razoável, não é? A área dividida pela largura fornece uma altura média.

Então, com essa expressão em mãos, vamos resolvê-la. Como vimos no último vídeo, para calcular uma integral, você precisa encontrar uma primitiva da função dentro da integral, alguma outra função cuja derivada é o seno de 𝑥. E se você se sente confortável com derivadas das funções trigonométricas, sabe que a derivada do cosseno é menos seno. Então, se você apenas nega isso, menos cosseno é a função que queremos, a primitiva do seno. E para verificar isso, veja este gráfico de menos cosseno. Em zero, a inclinação é zero. E então aumenta até alguma inclinação máxima em 𝜋 meios e depois volta a zero em 𝜋. E, em geral, sua inclinação parece de fato corresponder à altura do gráfico senoidal em todos os pontos.

Então, o que precisamos fazer para calcular a integral do seno entre 0 e 𝜋? Bem, calculamos essa primitiva no limite superior e subtraímos seu valor no limite inferior. Mais visualmente, essa é a diferença na altura desse gráfico de menos cosseno sobre 𝜋 e sua altura em zero. E como você pode ver, essa mudança de altura é exatamente dois. Isso é interessante, não é? Que a área sob esse gráfico seno seja exatamente dois. Portanto, a resposta para o nosso problema de altura média, essa integral dividida pela largura da região, evidentemente acaba sendo dois dividido por 𝜋, que é em torno de 0.64.

Prometi desde o início que essa questão de encontrar a média de uma função oferece uma perspectiva alternativa sobre porque integrais e derivadas são inversas uma da outra, por que a área sob um gráfico tem alguma coisa a ver com a inclinação de outro gráfico. Observe como encontrar esse valor médio, dois dividido por 𝜋, passou a observar a mudança na primitiva menos cos 𝑥 sobre o intervalo de entrada dividido pelo comprimento desse intervalo. E outra maneira de pensar sobre essa fração é como a inclinação cresce entre o ponto do gráfico da primitiva abaixo de zero e o ponto desse gráfico acima de 𝜋. E agora pense porque faria sentido que essa inclinação representasse um valor médio de seno de 𝑥 naquela região.

Bem, por definição, seno de 𝑥 é a derivada deste gráfico da primitiva. Isso nos dá a inclinação de menos cosseno em todos os pontos. Portanto, outra maneira de pensar sobre o valor médio do seno de 𝑥 é como a inclinação média sobre todas as linhas tangentes aqui entre zero e 𝜋. E quando você vê coisas assim, não faz muito sentido que a inclinação média de um gráfico em todos os seus pontos em um determinado intervalo seja igual à inclinação total entre os pontos inicial e final?

Para digerir essa ideia, é útil pensar em como ela é para uma função geral. Para qualquer função 𝑓 de 𝑥, se você quiser encontrar seu valor médio em algum intervalo, digo entre 𝑎 e 𝑏, o que você faz é pegar a integral de 𝑓 nesse intervalo, dividi-la pela largura desse intervalo, 𝑏 menos 𝑎. Você pode pensar nisso como a área abaixo do gráfico dividida por sua largura. Ou, mais precisamente, é a área assinalada desse gráfico, pois qualquer área abaixo do eixo 𝑥 é contada como negativa. E vale a pena tirar um momento para lembrar o que essa área tem a ver com a noção usual de uma média finita, na qual você soma muitos números e divide por quantos existem.

Quando você coleta uma amostra de pontos espaçados por d𝑥, o número de amostras é aproximadamente igual ao comprimento do intervalo dividido por d𝑥. Portanto, se você somar os valores de 𝑓 de 𝑥 em cada amostra e dividir pelo número total de amostras, será o mesmo que adicionar o produto, 𝑓 de 𝑥 vezes d𝑥 e dividir pela largura de todo o intervalo. A única diferença entre isso e a integral é que a integral pergunta o que acontece quando d𝑥 se aproxima de zero. Mas isso corresponde apenas a amostras de mais e mais pontos que se aproximam cada vez mais da média real.

Agora, para qualquer integral, calcular se resume a encontrar uma primitiva de 𝑓 de 𝑥, geralmente designada 𝐹 de 𝑥. O que queremos é a mudança dessa primitiva entre 𝑎 e 𝑏, 𝐹 de 𝑏 menos 𝐹 de 𝑎, que você pode pensar como a mudança de altura desse novo gráfico entre os dois limites. Escolhi convenientemente uma primitiva que passa por zero no limite inferior aqui. Mas lembre-se, você pode alternar livremente para cima e para baixo, adicionando a constante que desejar. E ainda seria uma primitiva válida. Portanto, a solução para o problema médio é a alteração na altura deste novo gráfico dividida pela alteração no valor 𝑥 entre 𝑎 e 𝑏. Em outras palavras, é a inclinação do gráfico da primitiva entre os dois pontos finais.

E, novamente, quando você pensa sobre isso, isso deve fazer muito sentido, porque 𝑓 de 𝑥 nos dá a inclinação da reta tangente a este gráfico em cada ponto. Afinal, é por definição a derivada de 𝐹. Então, por que as primitivas são a chave para resolver integrais? Bem, minha intuição favorita ainda é a que mostrei no último vídeo. Mas uma segunda perspectiva é que, quando você reformula a questão de encontrar uma média de um valor contínuo, ao invés de encontrar a inclinação média de várias retas tangentes, ela permite que você veja a resposta apenas comparando pontos de extremidade, em vez de precisar realmente calcular todos os pontos intermediários.

No último vídeo, descrevi a sensação que deve trazer integrais à sua mente. Ou seja, se você sentir que o problema que está resolvendo pode ser aproximado, resolvendo-o de alguma maneira e adicionando um grande número de pequenas coisas. E aqui, eu quero que você saia reconhecendo uma segunda sensação que também deve trazer integrais à sua mente. Se alguma vez houver alguma ideia que você entenda em um contexto finito e que envolva a adição de vários valores, como calcular a média de vários números, e se você quiser generalizar essa ideia para aplicar a uma faixa contínua infinita de valores, tente ver se você pode transformar as coisas em termos de uma integral. É um sentimento que surge o tempo todo, especialmente em probabilidade. E definitivamente vale a pena lembrar.

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