Pop Video: Diferenciação Implícita, O Que está Acontecendo Aqui?

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Deixe-me compartilhar com você algo que achei particularmente estranho quando eu era um aluno que aprendia cálculo. Digamos que você tenha um círculo com raio cinco centrado na origem do plano 𝑥𝑦. Isso é algo definido com a equação 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado igual a cinco ao quadrado. Ou seja, todos os pontos deste círculo estão a uma distância de cinco da origem, conforme enquadrado pelo teorema de Pitágoras. Onde a soma dos quadrados dos dois catetos neste triângulo é igual ao quadrado da hipotenusa, cinco ao quadrado. E suponha que você queira encontrar a inclinação de uma reta tangente a este círculo, talvez no ponto 𝑥, 𝑦 seja igual a três, quatro.

Agora, se você é experiente em geometria, já deve saber que essa reta tangente é perpendicular ao raio que a toca naquele momento. Mas digamos que você ainda não saiba disso, ou talvez queira uma técnica que generalize outras curvas além de círculos. Assim como em outros problemas sobre as inclinações das retas tangentes às curvas, o principal pensamento aqui é aumentar o zoom o suficiente para que a curva se pareça basicamente com sua própria reta tangente. E então pergunte sobre um pequeno passo nessa curva. A componente 𝑦 desse pequeno passo é o que você pode chamar de d𝑦. E a componente 𝑥 é um pequeno d𝑥. Portanto, a inclinação que queremos é o aumento da corrida, d𝑦 dividido por d𝑥.

Mas, diferentemente de outros problemas de inclinação tangente no cálculo, essa curva não é o gráfico de uma função. Portanto, não podemos simplesmente usar uma derivada simples, perguntando sobre o tamanho de uma pequena alteração na saída de uma função causada por uma pequena alteração na entrada. 𝑥 não é uma entrada e 𝑦 não é uma saída. Ambos são apenas valores interdependentes relacionados por alguma equação.

Isso é chamado de curva implícita. É apenas o conjunto de todos os pontos 𝑥, 𝑦 que satisfazem alguma propriedade escrita em termos das duas variáveis ​​𝑥 e 𝑦. O procedimento de como você realmente encontra d𝑦 d𝑥 para curvas como essa é a coisa que eu achei muito estranha como estudante de cálculo. Você pega a derivada de ambos os lados, assim. Para 𝑥 ao quadrado, você escreve dois 𝑥 vezes d𝑥. E da mesma forma, 𝑦 ao quadrado se torna dois 𝑦 vezes d𝑦. E então, a derivada dessa constante, cinco ao quadrado, à direita é apenas zero. Agora, você pode ver por que isso parece um pouco estranho, certo? O que significa obter a derivada de uma expressão que possui várias variáveis? E por que estamos aderindo ao pequeno d𝑦 e o pequeno d𝑥 dessa maneira?

Mas, se você avançar cegamente com o que obtém, poderá reorganizar esta equação e encontrar uma expressão para d𝑦 dividido por d𝑥. Que, nesse caso, acaba sendo menos 𝑥 dividido por 𝑦. Portanto, no ponto com coordenadas 𝑥, 𝑦 é igual a três, quatro, essa inclinação seria menos três dividido por quatro, evidentemente. Esse processo estranho é chamado de diferenciação implícita. E não se preocupe, eu tenho uma explicação de como você pode interpretar a derivada de uma expressão com duas variáveis ​​como essa. Mas, primeiro, quero deixar de lado esse problema específico e mostrar como ele está conectado a um tipo diferente de problema de cálculo, algo chamado problema de taxas relacionadas.

Imagine uma escada de cinco metros de comprimento apoiada contra uma parede. Onde o topo da escada começa quatro metros acima do solo, o que, pelo teorema de Pitágoras, significa que o fundo fica a três metros da parede. E digamos que está escorregando de tal maneira que o topo da escada está caindo a uma taxa de um metro por segundo. A questão é, naquele momento inicial, qual é a taxa na qual a parte inferior da escada está se afastando da parede? É interessante, né? Essa distância do fundo da escada até a parede é 100 por cento determinada pela distância do topo da escada ao chão. Portanto, devemos ter informações suficientes para descobrir como as taxas de variação de cada um desses valores realmente dependem uma da outra. Mas pode não estar totalmente claro como exatamente você relaciona esses duas.

Para começar, é sempre bom dar nomes às quantidades de que nos importam. Então, vamos nomear essa distância do topo da escada até o chão 𝑦 de 𝑡, escrito em função do tempo, pois está mudando. Da mesma forma, identifique a distância entre o fundo da escada e a parede 𝑥 de 𝑡. A equação chave que relaciona esses termos é o teorema de Pitágoras, 𝑥 de 𝑡 ao quadrado mais 𝑦 de 𝑡 ao quadrado é igual a cinco ao quadrado. O que torna uma equação poderosa para usar é que ela é verdadeira em todos os momentos. Agora, uma maneira de resolver isso seria isolar 𝑥 de 𝑡. E então você descobre o que 𝑦 de 𝑡 tem que ser baseado nessa taxa de queda de um metro por segundo. E você pode pegar a derivada da função resultante, d𝑥 d𝑡, a taxa na qual 𝑥 está mudando em relação ao tempo.

E tudo bem; envolve algumas camadas do uso da regra de cadeia. E definitivamente funcionará para você. Mas quero mostrar uma maneira diferente de pensar sobre o mesmo problema. Esse lado esquerdo da equação é uma função do tempo, certo? Acontece que é igual a uma constante, o que significa que o valor evidentemente não muda enquanto o tempo passa. Mas ainda está escrito como uma expressão dependente do tempo, o que significa que podemos manipulá-lo como qualquer outra função que tenha 𝑡 como entrada. Em particular, podemos usar uma derivada desse lado esquerdo. Qual é uma maneira de dizer: “Se eu deixar um pouco de tempo passar, algum pequeno d𝑡, o que faz com que 𝑦 diminua levemente e 𝑥 aumente levemente, quanto essa expressão muda?”

Por um lado, sabemos que essa derivada deveria ser zero, pois a expressão é uma constante. E as constantes não se importam com suas pequenas alterações por tempo. Elas apenas permanecem inalteradas. Mas, por outro lado, o que você ganha quando calcula essa derivada? Bem, a derivada de 𝑥 de 𝑡 ao quadrado é duas vezes 𝑥 de 𝑡 vezes a derivada de 𝑥. Essa é a regra da cadeia da qual falei no último vídeo. Dois 𝑥 d𝑥 representam o tamanho de uma alteração em 𝑥 ao quadrado causada por alguma alteração em 𝑥 e, em seguida, dividimos por d𝑡. Da mesma forma, a taxa na qual 𝑦 de 𝑡 ao quadrado está variando é duas vezes 𝑦 de 𝑡 vezes a derivada de 𝑦.

Agora, evidentemente, toda essa expressão deve ser zero. E essa é uma maneira equivalente de dizer que 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado não deve mudar enquanto a escada se move. No início, o tempo 𝑡 é igual a zero, a altura 𝑦 de 𝑡 é de quatro metros e a distância 𝑥 de 𝑡 é de três metros. E como o topo da escada está caindo a uma taxa de um metro por segundo, essa derivada, d𝑦 d𝑡, é menos um metro por segundo. Agora, isso nos fornece informações suficientes para isolar a derivada, d𝑥 d𝑡. E quando você calcula isso, ela equivale a quatro terços metros por segundo.

A razão de eu trazer esse problema da escada é que eu quero que você o compare com o problema de encontrar a inclinação de uma reta tangente ao círculo. Nos dois casos, tivemos a equação 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado igual a cinco ao quadrado. E nos dois casos, acabamos pegando a derivada de cada lado dessa expressão. Mas para a questão da escada, essas expressões eram funções do tempo. Portanto, pegar a derivada tem um significado claro. É a taxa na qual a expressão muda conforme o tempo muda. Mas o que torna a situação do círculo estranha é que, em vez de dizer que uma pequena quantidade de tempo, d𝑡, passou, o que faz com que 𝑥 e 𝑦 mudem. A derivada apenas possui essas pequenas alterações, d𝑥 e d𝑦, flutuando livremente, não ligadas a alguma outra variável comum, como o tempo. Deixe-me mostrar uma boa maneira de pensar sobre isso.

Vamos dar essa expressão, 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado, um nome, talvez 𝑆. 𝑆 é essencialmente uma função de duas variáveis. Ela pega todos os pontos 𝑥, 𝑦 do plano e os associam a um número. Para pontos neste círculo, esse número é 25. Se você sair do círculo para longe do centro, esse valor seria maior. Para outros pontos 𝑥, 𝑦 mais próximos da origem, esse valor seria menor. Agora, o que significa obter uma derivada dessa expressão, uma derivada de 𝑆, é considerar uma pequena alteração nessas duas variáveis. Alguma pequena alteração, d𝑥, para 𝑥 e alguma pequena alteração, d𝑦, para 𝑦. E não necessariamente aquela que mantém você no círculo, a propósito. É apenas um pequeno passo em qualquer direção do plano 𝑥𝑦. E a partir daí você pergunta, quanto o valor de 𝑆 muda? E essa diferença, a diferença no valor de 𝑆 antes da alteração e depois da alteração, é o que estou escrevendo como d𝑆.

Por exemplo, nesta figura, estamos começando em um ponto onde 𝑥 é igual a três e onde 𝑦 é igual a quatro. E digamos que o passo que eu dei tenha d𝑥 em menos 0.02 e d𝑦 em menos 0.01. Então a diminuição em 𝑆, a quantidade que 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado muda ao longo desse passo, seria cerca de duas vezes três vezes menos 0.02 mais duas vezes quatro vezes menos 0.01. É isso que essa expressão derivada, dois 𝑥 d𝑥 mais dois 𝑦 d𝑦, na verdade significa. É uma receita para dizer quanto o valor 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado muda conforme determinado pelo ponto 𝑥, 𝑦 onde você inicia e pelo pequeno passo d𝑥, d𝑦 que você recebe. E, como em todas as coisas derivadas, isso é apenas uma aproximação. Mas é cada vez mais verdadeiro para escolhas cada vez menores de d𝑥 e d𝑦. O ponto principal aqui é que, quando você se restringe a etapas ao longo do círculo, está basicamente dizendo que deseja garantir que esse valor de 𝑆 não mude. Começa com um valor de 25 e você deseja mantê-lo com um valor de 25. Ou seja, d𝑆 deve ser zero.

Portanto, definir essa expressão dois 𝑥 d𝑥 mais dois 𝑦 d𝑦 igual a zero é a condição sob a qual um desses pequenos passos realmente permanece no círculo. Novamente, isso é apenas uma aproximação. Falando com mais precisão, essa condição é o que o mantém na reta tangente do círculo, não no próprio círculo. Mas, para etapas suficientemente pequenas, essas são essencialmente a mesma coisa. Obviamente, não há nada de especial na expressão 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado igual a cinco ao quadrado. É sempre bom pensar em mais exemplos. Então, vamos considerar essa expressão seno de 𝑥 vezes 𝑦 ao quadrado igual a 𝑥. Isso corresponde a um monte de curvas em forma de U no plano. E essas curvas, lembre-se, representam todos os pontos 𝑥, 𝑦 onde o valor do seno de 𝑥 vezes 𝑦 ao quadrado passa a ser igual ao valor de 𝑥.

Agora, imagine dar um pequeno passo com as componentes d𝑥, d𝑦 e não necessariamente um que o mantenha na curva. Tomar a derivada de cada lado desta equação nos dirá quanto o valor desse lado muda durante a etapa. No lado esquerdo, a regra do produto pela qual conversamos no último vídeo nos diz que isso deve ser esquerda d direita e direita d esquerda. Ou seja, seno de 𝑥 vezes a mudança para 𝑦 ao quadrado, que é dois 𝑦 vezes d𝑦, mais 𝑦 ao quadrado vezes a mudança para o seno de 𝑥, que é cos de 𝑥 vezes d𝑥. O lado direito é simplesmente 𝑥, então o tamanho de uma alteração nesse valor é exatamente d𝑥, certo? Agora, definir esses dois lados iguais um ao outro é uma maneira de dizer: “Qualquer que seja o seu pequeno passo com coordenadas d𝑥 e d𝑦, se isso nos manter na curva, os valores do lado esquerdo e do lado direito deve mudar na mesma quantidade.” Essa é a única maneira pela qual essa equação superior pode permanecer verdadeira.

A partir daí, dependendo do problema que você está tentando resolver, você tem algo para trabalhar algebricamente. E talvez o objetivo mais comum seja tentar descobrir o que d𝑦 dividido por d𝑥 é. Como exemplo final aqui, quero mostrar como você pode realmente usar essa técnica de diferenciação implícita para descobrir novas fórmulas derivadas. Mencionei que a derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 é ela mesma. Mas e a derivada de sua função inversa, o logaritmo natural de 𝑥? Bem, o gráfico do logaritmo natural de 𝑥 pode ser pensado como uma curva implícita. São todos os pontos 𝑥, 𝑦 no plano em que 𝑦 é igual a ln de 𝑥. Acontece que os 𝑥s e 𝑦s desta equação não são tão misturados quanto eram em nossos outros exemplos. A inclinação deste gráfico, d𝑦 dividido por d𝑥, deve ser a derivada de ln de 𝑥, certo? Bem, para descobrir ela, primeiro reorganize essa equação, 𝑦 é igual a ln de 𝑥, sendo 𝑒 elevado a 𝑦 igual a 𝑥. É exatamente o que o logaritmo natural de 𝑥 significa. Está dizendo 𝑒 elevado ao que é igual 𝑥.

Como conhecemos a derivada de 𝑒 elevado a 𝑦, podemos tomar a derivada de ambos os lados aqui. Perguntando efetivamente como um pequeno passo com as componentes d𝑥, d𝑦 altera o valor de cada um desses lados. Para garantir que um passo permaneça na curva, a mudança para este lado esquerdo da equação, que é 𝑒 elevado a 𝑦 vezes 𝑑𝑦, deve ser igual à mudança para o lado direito, que neste caso é apenas d𝑥. Reorganizando, isso significa que d𝑦 dividido por d𝑥, a inclinação do nosso gráfico, é igual a um dividido por 𝑒 elevado a 𝑦. E quando estamos na curva, 𝑒 elevado a 𝑦 é, por definição, a mesma coisa que 𝑥. Portanto, evidentemente, a inclinação é um dividido por 𝑥. E, é claro, uma expressão para a inclinação de um gráfico de uma função escrita em termos de 𝑥 assim é a derivada dessa função. Portanto, evidentemente, a derivada de ln de 𝑥 é um dividido por 𝑥.

A propósito, tudo isso é uma espiada no cálculo multivariável. Onde você considera as funções que possuem várias entradas e como elas mudam à medida que você ajusta essas múltiplas entradas. A chave, como sempre, é ter uma imagem clara em sua mente o que pequenas alterações estão fazendo e como exatamente elas dependem uma da outra.