Vídeo: Encontrando o Módulo de um Número Complexo

Dado que 𝑧 = 8 + 4𝑖, encontre |𝑧|.

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Transcrição do vídeo

Dado que 𝑧 é igual a oito mais quatro 𝑖, encontre o módulo de 𝑧.

Bem, para nos permitir encontrar o módulo do nosso número complexo, o que precisamos fazer é considerar uma regra. E a regra é que para um número complexo na forma 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖, seu módulo é encontrado pela equação: o módulo do número complexo é igual à raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado.

E apenas para nos ajudar a lembrar o que a forma 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖 significa, bem, na verdade significa onde temos o número complexo dividido em partes diferentes. Então nós temos que Re 𝑧 é 𝑎 e essa é a nossa parte real. E então, temos 𝑏 e 𝑏 é Im 𝑧, que é a parte imaginária do nosso número complexo. Ok, ótimo, agora temos essa fórmula para encontrar o módulo. Podemos fazer isso e resolver o problema.

Ok, dado que o nosso número complexo é igual a oito mais quatro 𝑖, então oito vai ser o nosso 𝑎. E nosso quatro positivo - isso porque temos um sinal de mais na frente do nosso quatro - será o nosso 𝑏. Ok, agora podemos substituí-los em nossa equação para o módulo. Então vamos obter o módulo de 𝑧 é igual à raiz quadrada de e então oito ao quadrado porque é o nosso 𝑎 e mais quatro ao quadrado porque quatro é o nosso 𝑏.

Ok, ótimo, agora vamos calcular isso. E isso dá que o módulo de 𝑧 é igual à raiz quadrada de 64 mais 16. Então, o módulo de 𝑧 é igual a raiz de 80. Ok, então esta é a resposta final? Bem, na verdade, se chegarmos a este ponto e realmente tivermos uma raiz não exata, o que sempre dizemos é tentar simplificar a raiz onde pudermos. E, na verdade, vamos usar essa regra de raiz para nos ajudar a simplificar a nossa raiz de 80 porque sabemos que raiz de 𝑎𝑏 é igual a raiz de 𝑎 multiplicada por raiz de 𝑏. E o que queremos fazer é encontrar o maior número quadrado. Esse é um dos fatores de 80.

Então, portanto, vamos obter o módulo de 𝑧 é igual a raiz de 16 raiz de cinco. Isso porque 16 multiplicado por cinco são 80 como o nosso 𝑎𝑏. Mas também 16 é na verdade o maior número quadrado que está dentro de 80. Portanto, podemos dizer que o módulo de 𝑧 será igual a quatro raiz de cinco. E isso porque a raiz quadrada de 16 é quatro. Então dá quatro raiz de cinco.

E nós realmente descobrimos isso usando a fórmula para o módulo de um número complexo é igual a raiz quadrada de 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado, onde o número complexo está na forma 𝑧 é igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖.

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