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Vídeo da aula: Probabilidade de acontecimentos simples Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a probabilidade de um acontecimento simples.

15:58

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a probabilidade de um acontecimento simples. Começaremos por definir o que é probabilidade. E, em seguida, veremos como podemos passar do uso de palavras como “provável” ou “certo” para descrever a probabilidade de um acontecimento para o uso de um número para descrever a sua probabilidade.

Probabilidade é a probabilidade ou chance de um acontecimento ocorrer. Muitas vezes vemos probabilidades representadas como uma escala. E utilizamos palavras como “impossível” e “certo” para descrever estas probabilidades. O número que utilizamos para representar um acontecimento impossível é zero. E para um determinado acontecimento, é o número um. Os acontecimentos que são igualmente prováveis como improváveis podem ser descritos em números na forma de fração, decimal, percentagem como um meio, 0.5 ou 50 por cento. Podemos descrever qualquer probabilidade utilizando uma fração, decimal ou percentagem.

Para calcular a probabilidade de um acontecimento ocorrer, calculamos o número de resultados favoráveis e dividimos pelo número total de resultados. Vamos dar o exemplo de lançar um dado que tem os números de um a seis. Digamos que queremos calcular a probabilidade de obter dois. Poderemos escrever isto como 𝑃 parênteses dois. O número de resultados favoráveis será o número de dois no dado e o número total de resultados será seis, já que há seis valores diferentes no dado. E assim a probabilidade de obter um dois neste dado é de um sexto.

Também podemos definir a probabilidade de um acontecimento um pouco mais formalmente. Se 𝐴 for um acontecimento num espaço de resultados 𝑆, então a probabilidade do acontecimento 𝐴 ocorrer é a probabilidade de 𝐴 ser igual a 𝑛 parênteses 𝐴 sobre 𝑛 parênteses 𝑆, onde 𝑛 parênteses 𝐴 representa o número de elementos no acontecimento 𝐴 e 𝑛 parênteses 𝑆 representa o número de elementos no espaço de resultados 𝑆. Tudo isto pode parecer muito mais complicado, mas vamos voltar ao exemplo de obter o dado. Quando consideramos a probabilidade de obter dois, o valor no numerador é o número de elementos no acontecimento 𝐴. Então, no caso do dado, é quantos valores há que são o número dois. Então, no denominador, é o número de elementos que há no dado no total. E é seis, já que há seis números diferentes. E assim, a probabilidade de obter um dois é de um sexto.

Antes de examinarmos alguns exemplos, há uma coisa muito importante a lembrar sobre probabilidade. E já vimos isto quando olhámos para a reta numérica. A probabilidade de um acontecimento deve estar entre zero e um. Para um acontecimento 𝐴, podemos dizer que zero é menor ou igual à probabilidade de 𝐴 ser menor ou igual a um. Por outras palavras, a probabilidade de um acontecimento deve estar entre zero e um, embora, é claro, possa ser exatamente igual a zero ou exatamente igual a um. Vamos agora dar uma olhadela nalguns exemplos. E no primeiro exemplo, determinaremos a probabilidade de um acontecimento em que existem três resultados possíveis.

Um saco contém sete berlindes brancos, oito berlindes pretos e sete berlindes vermelhos. Se um berlinde for selecionado ao acaso do saco, qual é a probabilidade de que seja branco?

Podemos lembrar que, para determinar a probabilidade de um acontecimento ocorrer, pegamos no número de resultados favoráveis e dividimo-lo pelo número total de resultados. Aqui, pedem-nos para calcular a probabilidade de obter um berlinde branco. E podemos escrever isto como 𝑃 parênteses 𝑊 para branco. Em seguida, precisamos de estabelecer quantos berlindes brancos há. E disseram-nos que são sete. Portanto, este será o valor no numerador. O valor no denominador será o número total de berlindes. Então, somos informados de que há sete brancos, oito pretos e sete vermelhos. Então, adicionamos estes valores. Isto dá-nos a fração sete sobre 22. Não podemos simplificar mais esta fração. Portanto, a probabilidade de obter um berlinde branco é de sete sobre 22.

Agora, veremos outro exemplo de cálculo da probabilidade de um acontecimento.

Qual é a probabilidade de selecionar ao acaso um número primo dos números oito, nove, 20, 19, três e 15?

Para responder a esta questão, precisamos de nos lembrar de duas coisas, primeiro, como determinamos a probabilidade de um acontecimento e, em segundo lugar, o que é um número primo. Para calcular a probabilidade, podemos utilizar a fórmula para calcular a probabilidade de um acontecimento 𝐴 como o número de elementos no acontecimento 𝐴 dividido pelo número de elementos num espaço de resultados 𝑆. Também podemos ver esta fórmula escrita como a probabilidade de um acontecimento igual ao número de resultados favoráveis sobre o número total de resultados. Aqui, estamos a tentar calcular a probabilidade de selecionar um número primo. Um número primo é um número que tem exatamente dois fatores, um e ele próprio.

Então, vamos considerar a lista de números que nos foi dada. Os três primeiros valores oito, nove e 20 não são primos porque têm mais do que dois fatores. Em seguida, 19 e três são números primos. No entanto, 15 não é um número primo. Quando se trata de utilizar a fórmula, então, o número de números primos que temos é dois. São três e 19. O valor no denominador será seis, pois havia seis números no total. É sempre bom simplificar as nossas frações onde podemos. E assim podemos dar a resposta de que a probabilidade de selecionar um número primo da lista de números dada é de um terço.

No próximo exemplo, veremos como podemos determinar o número de elementos no espaço de resultados, dado o número de elementos no acontecimento e a probabilidade de um acontecimento diferente.

Um saco contém 24 bolas brancas e um número desconhecido de bolas vermelhas. A probabilidade de escolher ao acaso uma bola vermelha é de sete sobre 31. Quantas bolas tem no saco?

Como estamos a calcular uma probabilidade, podemos recordar que, para determinar a probabilidade de um acontecimento 𝐴, calculamos 𝑛 parênteses 𝐴 dividido por 𝑛 parênteses 𝑆, onde 𝑛 parênteses 𝐴 é o número de elementos no acontecimento 𝐴 e 𝑛 parênteses 𝑆 é o número de elementos no espaço de resultados 𝑆. Vamos dar uma olhadela nesta questão então. Disseram-nos que existem 24 bolas brancas no saco, mas um número desconhecido de bolas vermelhas. Podemos utilizar o mesmo estilo de notação para observar que o número de bolas brancas deve ser 24. Não nos é dito o número de bolas vermelhas, mas podemos utilizar uma variável como 𝑥 para representar isto. O número total de bolas no saco pode ser escrito como o número de bolas brancas, ou seja, 24, mais o número de bolas vermelhas, que definimos como 𝑥. O número total de bolas no saco será o número de elementos no espaço de resultados. Então podemos dizer que 𝑛 parênteses 𝑆 é igual a 24 mais 𝑥.

A seguir, podemos dar uma olhadela nas probabilidades. E disseram-nos que a probabilidade de selecionar uma bola vermelha é de sete sobre 31. Agora podemos escrever esta fórmula de probabilidade em termos de determinar a probabilidade de uma bola vermelha. Então, veremos se temos informações suficientes para resolver e determinar o valor de 𝑥. Para calcular a probabilidade de obter uma bola vermelha, bem, o número de elementos em qualquer acontecimento 𝐴 para uma bola vermelha corresponderá ao número de bolas vermelhas no saco. O denominador, que é o número de elementos no espaço de resultados 𝑆 neste contexto, é simplesmente o número total de bolas no saco. Podemos então inserir os valores que temos nestas expressões. Portanto, temos sete sobre 31 igual a 𝑥 sobre 24 mais 𝑥.

Agora, podemos considerar no produto cruzado e resolver isto em ordem a. Em seguida, distribuímos sete entre parênteses, o que nos dá 168 mais sete 𝑥 é igual a 31𝑥. Então, podemos subtrair sete 𝑥 de ambos os membros. Finalmente, dividindo ambos os membros por 24, descobrimos que sete é igual a 𝑥 e, portanto, 𝑥 é igual a sete. Lembre-se de que definimos o número de bolas vermelhas como 𝑥 e, portanto, calculamos que o número de bolas vermelhas deve ser igual a sete. Pode ser muito tentador parar por aqui. Mas lembre-se, perguntam-nos quantas bolas há no total. Já elaboramos uma expressão para o número de bolas no saco. Era aquela dada por este número de elementos no espaço de resultados. Portanto, o número total de bolas é 24 mais 𝑥, que era sete. E quando os somamos, obtemos o valor de 31. Portanto, podemos dar a resposta de que deve haver 31 bolas no saco.

No exemplo final, veremos como podemos determinar o número total de elementos num espaço de resultados, dadas as probabilidades de dois acontecimentos e o número de ocorrências de um terceiro acontecimento.

Um saco contém um número desconhecido de berlindes. Há três berlindes vermelhos, alguns berlindes brancos e outros pretos. A probabilidade de obter um berlinde branco é de um terço e a probabilidade de obter um berlinde preto é de um meio. Calcule o número de berlindes no saco.

Como temos uma questão de probabilidade aqui, podemos lembrar que, para determinar a probabilidade de um acontecimento 𝐴, calculamos o número de elementos no acontecimento 𝐴 que podemos escrever como 𝑛 parênteses 𝐴 e dividimos pelo número de elementos no espaço de resultados 𝑆 que podemos escrever como 𝑛 parênteses 𝑆. Se dermos uma olhadela na questão, somos informados de que existem três cores diferentes de berlindes no saco: vermelhos, brancos e pretos. Então, vamos anotar algumas informações da questão. Podemos utilizar a mesma notação de que o número de berlindes vermelhos deve ser 𝑛 parênteses 𝑅, o que poderemos dizer que é igual a três.

Não nos é dado o número de berlindes brancos ou pretos, mas vamos definir o número de berlindes brancos como 𝑤 e o número de berlindes pretos como 𝑏. Conhecer estes três valores ou expressões para estes valores permitir-nos-á escrever que o número total de berlindes no saco, que é o mesmo que o número de elementos no espaço de resultados, o número de berlindes no saco. São três mais 𝑤 mais 𝑏. A seguir, vamos ver as probabilidades. Disseram-nos que a probabilidade de obter um berlinde branco é de um terço e a probabilidade de obter um berlinde preto é de um meio.

Agora, se olharmos para as informações que anotámos, podemos ver que temos duas quantidades desconhecidas, 𝑤 e 𝑏, que é o número de berlindes brancos e o número de berlindes pretos. O que pretendemos fazer é obter informações suficientes para definir duas equações para resolver estas duas incógnitas. Podemos escrever a fórmula de probabilidade geral em termos de determinar a probabilidade de um berlinde branco. Neste caso, será igual ao número de berlindes brancos sobre o número total de berlindes.

Como nos foi dado que a probabilidade de obter um berlinde branco é de um terço, temos isto no primeiro membro e, em seguida, no segundo membro, o número de bolinhas brancas era igual a 𝑤. E o número total de berlindes é igual a três mais 𝑤 mais 𝑏. Tomando o produto cruzado, temos três mais 𝑤 mais 𝑏 igual a três 𝑤. Podemos então subtrair o 𝑤 de ambos os membros para nos dar que três mais 𝑏 é igual a dois 𝑤. Não podemos fazer mais nada com esta equação neste momento, mas vamos chamá-la de equação um. E vamos movê-lo para um lado para abrir espaço. E, felizmente, podemos obter uma segunda equação em termos de 𝑤 e 𝑏, que podemos resolver simultaneamente para determinar 𝑏 e 𝑤.

O que podemos fazer a seguir, então, é escrever a fórmula da probabilidade em termos de determinar a probabilidade de obter um berlinde preto. Desta vez, calcularemos o número de berlindes pretos sobre o número total de berlindes. E assim, no primeiro membro, teremos um meio, pois é a probabilidade de obter um berlinde preto. E no segundo membro, teremos 𝑏 dividido por três mais 𝑤 mais 𝑏. Podemos considerar o produto cruzado para nos dar três mais 𝑤 mais 𝑏 igual a dois 𝑏. Subtrair 𝑏 de ambos os membros dá-nos três mais 𝑤 é igual a 𝑏. E assim determinámos uma segunda equação em termos de 𝑤 e 𝑏.

Se olharmos para estas duas equações, há várias maneiras diferentes de as resolver. Mas se olharmos para a segunda equação, temos uma expressão para 𝑏. Então, podemos substituir isto na equação um no lugar de 𝑏. Isto dá-nos três mais três mais 𝑤 é igual a dois 𝑤. Podemos então simplificar isto e subtrair 𝑤 de ambos os membros, o que nos dá que seis é igual a 𝑤. Isto significa que o número de berlindes brancos é seis.

Para determinar 𝑏, o número de berlindes pretos, podemos substituir 𝑤 por seis em qualquer uma das equações, mas vamos inserir na equação dois. Isto dá-nos três mais seis é igual a 𝑏. E, portanto, nove é igual a 𝑏, então 𝑏 é igual a nove. O número de berlindes pretos é nove. Para determinar o número total de berlindes no saco, já temos uma expressão para ele. É três mais 𝑤 mais 𝑏. Então, quando inserimos os valores 𝑤 igual a seis e 𝑏 igual a nove, temos três mais seis mais nove. Resolvendo isto, temos a resposta de que o número de berlindes no saco deve ser 18.

E, é claro, vale sempre a pena verificar as nossas respostas. Foi -nos dado que existem três berlindes vermelhos. Calculamos que deve haver seis berlindes brancos e nove pretos. E estes realmente somam 18. Em termos de probabilidades, disseram-nos que a probabilidade do branco é um terço e a probabilidade do preto é um meio. Poderemos calcular a probabilidade de obter um vermelho em três de 18, o que simplifica para um sexto. Quando adicionamos as três probabilidades de um sexto, um terço e um meio, obtemos um total de um. Como a soma das probabilidades deve ser um, isto confirmará que os valores que calculámos para obter um número total de berlindes como 18 devem estar corretos.

Agora podemos resumir os pontos principais deste vídeo. Vimos que existem duas fórmulas que podemos utilizar para calcular a probabilidade de um acontecimento. A segunda fórmula é particularmente útil quando estamos a lidar com as probabilidades de vários acontecimentos, como vimos numa questão como a anterior. E, finalmente, vimos que todas as probabilidades devem estar no intervalo zero, um. Uma probabilidade mais próxima de zero indicará um acontecimento menos provável e uma probabilidade mais próxima de um indicará um acontecimento mais provável.

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