Vídeo: Encontrando a Segunda Derivada de uma Função Definida Implicitamente Utilizando Derivação Implícita

Dado que 𝑥² + 3𝑦² = 3, determine 𝑦″ por derivação implícita.

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Dado que 𝑥 ao quadrado mais três 𝑦 ao quadrado é igual a três, determine 𝑦 duas linhas por derivação implícita.

Este 𝑦 duas linhas é a segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥. E nos dizem para encontrá-lo por derivação implícita - isto é, derivando ambos os lados de nossa equação em relação a 𝑥. Então vamos fazer isso. 𝑑 por 𝑑𝑥 todos 𝑥 ao quadrado mais três 𝑦 ao quadrado é então igual a 𝑑 por 𝑑𝑥 de três. E podemos derivar os dois termos do lado esquerdo separadamente.

𝑑 por 𝑑𝑥 de 𝑥 ao quadrado é simples. É apenas dois 𝑥. 𝑑 por 𝑑𝑥 de três 𝑦 ao quadrado entretanto é mais difícil. Temos que usar a regra da cadeia. 𝑑𝑓 por 𝑑𝑥 é 𝑑𝑓 por 𝑑𝑦 vezes 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥. Então, com 𝑓 igual a três 𝑦 ao quadrado, isto é 𝑑 por 𝑑𝑦 de três 𝑦 ao quadrado vezes 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥. E 𝑑 por 𝑑𝑦 de três 𝑦 ao quadrado é seis 𝑦. Então, 𝑑 por 𝑑𝑥 de três 𝑦 ao quadrado é seis 𝑦 vezes 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 no lado direito. 𝑑 por 𝑑𝑥 de três é zero. E assim, colocando tudo junto, temos que dois 𝑥 mais seis 𝑦 vezes 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 é zero. E podemos reorganizar isso para encontrar 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥.

Primeiro, subtraímos dois 𝑥 de ambos os lados e depois dividimos por seis 𝑦 notando que podemos cancelar um fator de dois para obter menos 𝑥 sobre três 𝑦. E talvez, devemos seguir a notação em nosso problema e usar linhas para representar derivadas. Então, 𝑑𝑦 por 𝑑𝑥 é 𝑦 linha. Então, temos que é 𝑦 linha é menos 𝑥 sobre três 𝑦. Mas qual é 𝑦 duas linhas? Bem, precisamos derivar novamente em relação a 𝑥. Derivando ambos os lados em relação a 𝑥, obtemos 𝑑 por 𝑑𝑥 de 𝑦 linha igual a 𝑑 por 𝑑𝑥 de menos 𝑥 sobre três 𝑦. E 𝑑 por 𝑑𝑥 de 𝑦 linha é 𝑑 por 𝑑𝑥 da primeira derivada de 𝑦 em relação a 𝑥, que é, portanto, a segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥. E esse é o 𝑦 duas linhas que estamos procurando.

No lado direito, temos a derivada de um quociente. E então vamos precisar da regra do quociente e aqui está em toda a sua glória. Agora aplicando-a com 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 e 𝑑 de 𝑥 igual a três 𝑦, sem esquecer o sinal de menos, temos menos três 𝑦 vezes a derivada de 𝑥 em relação a 𝑥 menos 𝑥 vezes a derivada de três 𝑦 em relação a 𝑥 todos sobre três 𝑦 ao quadrado.

Agora podemos simplificar. A derivada de 𝑥 em relação a 𝑥 é um. E assim, o primeiro termo no numerador se torna três 𝑦. A derivada sobre três 𝑦 em relação a 𝑥 é três vezes a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 - três 𝑦 linha. E assim o segundo termo se torna três 𝑥 𝑦 linha. E finalmente, o denominador é nove 𝑦 ao quadrado.

Vemos que podemos simplificar ainda mais, cancelando um fator de três no numerador e no denominador. E assim temos menos 𝑦 menos 𝑥 𝑦 linha sobre três 𝑦 ao quadrado. Também podemos absorver o sinal de menos na fração. E assim vemos que 𝑦 duas linhas é 𝑥 vezes 𝑦 linha menos 𝑦 todos sobre três 𝑦 ao quadrado. Agora, escrevemos 𝑦 duas linhas em termos de 𝑥, 𝑦 e 𝑦 linha a primeira derivada de 𝑦.

Mas, na verdade, nós preferimos ter 𝑦 duas linhas escrito apenas em termos de 𝑥 e 𝑦. Dessa forma, se tivermos um ponto com as coordenadas 𝑥 e 𝑦 que estão em nossa curva, podemos simplesmente substituir as coordenadas de 𝑥 e 𝑦 em nossa expressão para encontrar o valor de 𝑦 duas linhas nesse ponto. Para obter 𝑦 duas linhas escrito apenas em termos de 𝑥 e 𝑦, precisamos nos livrar desse 𝑦 linha de alguma forma. Como fazemos isso? Bem, podemos substituir a expressão que temos para 𝑦 linha em termos de 𝑥 e 𝑦.

Fazendo essa substituição, obtemos 𝑦 duas linhas em termos de 𝑥 e 𝑦. E agora temos apenas que simplificar. Nós multiplicamos o numerador e o denominador por três 𝑦. Assim, o primeiro termo no numerador torna-se menos 𝑥 ao quadrado e o segundo termo torna-se menos três 𝑦 ao quadrado. O denominador se torna nove 𝑦 ao cubo. Podemos retirar um sinal de menos aqui. Mas, olhando apenas para essa expressão, parece que terminamos.

Mas dê uma olhada nesse numerador 𝑥 ao quadrado mais três 𝑦 ao quadrado. Nos é dito em nosso problema que 𝑥 ao quadrado mais três 𝑦 ao quadrado é três. E assim temos uma simplificação inesperada: 𝑦 duas linhas equivale a menos três sobre nove 𝑦 ao cubo. E podemos cancelar outro fator comum de três. E nós temos a nossa resposta final que 𝑦 duas linhas a segunda derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é menos um sobre três 𝑦 ao cubo.

Aqui usamos a derivação implícita duas vezes primeiro para encontrar 𝑦 linha em termos de 𝑥 e 𝑦 e então novamente para encontrar 𝑦 duas linhas em termos de 𝑥, 𝑦 e 𝑦 linha. Substituindo a expressão por 𝑦 linha em termos de 𝑥 e 𝑦, obtivemos 𝑦 duas linhas em termos de 𝑥 e 𝑦 sozinhos. E então, notamos que há uma substituição realmente inesperada e quase mágica que poderíamos fazer a partir da pergunta, o que nos permitiu escrever 𝑦 duas linhas apenas em termos de 𝑦 sozinho.

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