Video: Resolvendo Equações com Módulo e Sem Módulo numa Incógnita

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Neste vídeo, veremos como resolver equações que envolvem uma incógnita em duas situações, uma que pede um módulo para ser obtido e outra não. Agora lembre-se, tomar o módulo significa apenas tomar a versão positiva de um número, ignorando o sinal negativo. Examinaremos duas maneiras de resolver os problemas: uma considerando pura algebricamente diferentes valores possíveis e a outra examinando os gráficos e considerando o efeito de obter o módulo. Ok, vamos dar uma olhadela no nosso primeiro exemplo.

Bem, temos que resolver o módulo de 𝑥 mais dois igual a 𝑥 mais dois. E temos duas situações diferentes a serem consideradas: se 𝑥 mais dois for maior ou igual a zero, então já é positivo, portanto não precisamos de fazer nada sofisticado; se 𝑥 mais dois for menor que zero, precisamos de tomar o valor negativo deste valor para transformá-lo num valor positivo. É isso que a função módulo está a fazer. Portanto, os valores de 𝑥 em cada um destes ramos são, bem subtraindo dois de cada membro da desigualdade à esquerda, é 𝑥 maior ou igual a menos dois e fazendo o mesmo para a outra desigualdade, 𝑥 é menor que menos dois. Portanto, se o valor de 𝑥 for menor que menos dois, vamos para o ramo direito; e se o valor de 𝑥 for maior ou igual a menos dois, vamos para o ramo esquerdo. E se formos ao ramo esquerdo, isso significa que o valor de 𝑥 mais dois é positivo, portanto não precisamos de nos preocupar. Então, vamos utilizar a expressão 𝑥 mais dois. Então, o que estamos a dizer é 𝑥 mais dois no primeiro membro é igual a 𝑥 mais dois no segundo membro, e isso é verdade para todos os valores de 𝑥. Mas lembre-se, embora sejam todos os valores de 𝑥, estávamo-nos a estender apenas para valores de 𝑥 que eram maiores ou iguais a menos dois para aqui. Portanto, todos os valores de 𝑥 são maiores ou iguais a menos dois. Agora, indo para o ramo à direita, sabemos que 𝑥 é menor que menos dois, e sabemos que 𝑥 mais dois está a dar-nos uma resposta que é negativa, então precisamos de considerar o negativo deste negativo para transformá-lo em positivo. Então, isso significa que o simétrico de 𝑥 mais dois é igual a 𝑥 mais dois ou menos 𝑥 menos dois é igual a 𝑥 mais dois. Bem, se eu adicionar 𝑥 a ambos os membros desta equação, fico com menos dois é igual a dois 𝑥 mais dois; então, se subtrair dois de ambos os membros, obterá menos quatro é igual a dois 𝑥; e em seguida, se eu dividir os dois membros por dois, obtenho a resposta 𝑥 é igual a menos dois. Agora, se estamos a ser realmente rigorosos com isto, dissemos que 𝑥 era menor que menos dois para seguir este ramo em primeiro lugar, de modo que esta não é uma solução válida. Mas, de facto, estritamente falando, 𝑥 pode ser igual a menos dois, seguindo este armo, porque o negativo de zero é zero. Então, tomar o módulo disto na verdade funcionaria. De facto, não importa em ambos os casos, porque já cobrimos esta solução do outro lado aqui. Portanto, a resposta é 𝑥 maior ou igual a menos dois, que também podemos escrever em notação de intervalo assim, menos dois está incluído, e temos o parêntesis e vai até mais infinito, que tem sempre parêntesis.

Agora também prometemos dar uma vista de olhos nisto graficamente. Então, se representar o gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 mais dois, diretamente da equação 𝑦 igual a 𝑥 mais dois, podemos ver que o declive é um. Portanto, sempre que aumento a minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a minha coordenada em 𝑦 também sobe uma unidade, e a interseção em O𝑦 é dois. E interseta o eixo O𝑥 quando 𝑦 é igual a zero, então zero é igual a 𝑥 mais dois. Subtraindo dois de ambos os membros, 𝑥 é igual a menos dois. Portanto, interseta o eixo O𝑥, 𝑥 é menos dois, interseta o eixo O𝑦 em dois e tem um declive de um. Agora, vamos pensar no gráfico de 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 mais dois. Bem, será como o gráfico de 𝑦 igual 𝑥 mais dois quando estiver acima do eixo O𝑥, quando as coordenadas em 𝑦 são positivas. Porém, quando as coordenadas em 𝑦 são negativas, refletimos isso no eixo O𝑥 para que todas as coordenadas em 𝑦 negativas sejam transformadas nos seus correspondentes positivos. Portanto, a reta laranja é a reta 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 mais dois. E à direita de onde a coordenada em 𝑦 é zero em 𝑥 igual a menos dois e, de facto, inclusive quando 𝑥 é igual a menos dois. Então, coloquei um pequeno ponto fechado aqui. Nesta região, estamos apenas a utilizar a equação 𝑦 igual 𝑥 mais dois para gerar as coordenadas em 𝑦 para esta reta laranja a partir das coordenadas em 𝑥. Agora, à esquerda, esta equação geraria coordenadas de 𝑦 negativas, por isso estamos a considerar as coordenadas em 𝑦 negativas para gerar estas coordenadas positivas aqui em cima. Então, à esquerda de 𝑥 igual a menos dois, estamos a utilizar a equação de que a coordenada 𝑦 é igual ao simétrico da coordenada gerada por 𝑥 mais dois. Por outras palavras, 𝑦 é igual a menos 𝑥 menos dois Então a questão era: quando é que estas duas coisas são iguais? Quando a reta 𝑦 igual ao módulo de 𝑥 mais dois se interseta com a reta 𝑦 igual a 𝑥 mais dois? E são todos estes valores aqui, incluindo quando 𝑥 igual a menos dois, e todos estes valores até infinito neste sentido aqui. Portanto, o conjunto de valores de 𝑥 que correspondem a quando 𝑥 é igual a menos dois e a tudo à direita deste. Portanto, temos as mesmas respostas, fazendo isto algebricamente ou utilizando o gráfico, mas a utilização do gráfico fornece um pouco mais de insights sobre por que é esta a resposta e o que realmente está a acontecer.

Vamos ver o número dois então.

Resolva o módulo de 𝑥 mais cinco igual a menos cinco 𝑥 mais dois. Então, novamente, temos um módulo, então existem dois cenários diferentes. O valor dentro da função módulo 𝑥 mais cinco já é maior ou igual a zero ou é negativa e precisa de ser alterada para valores positivos. Então, pensando apenas nos valores de 𝑥 que correspondem a isto, se 𝑥 mais cinco for maior ou igual a zero, isso acontece quando 𝑥 é maior ou igual a menos cinco; se 𝑥 mais cinco é menor que zero, isso acontece quando 𝑥 é menor que menos cinco. Então, indo para o ramo à esquerda primeiro, se o conteúdo do módulo já era positivo, podemos apenas tomar 𝑥 mais cinco, porque já é positivo e podemos resolver esta equação. Assim, adicionar cinco 𝑥 a ambos os membros dá-nos seis 𝑥 mais cinco igual a dois. E subtrair cinco de ambos os membros dá-nos seis 𝑥 igual a menos três. E, em seguida, dividir os dois membros por seis dá-nos 𝑥 é igual a menos três sobre seis, que é menos um meio. Portanto, um pouco antes de considerarmos se é uma solução adequada, precisamos de pensar: “Isto está na região que nos levaria até aqui?” Para obtermos este ramo, 𝑥 tinha que ser maior ou igual a menos cinco, e menos um meio é maior ou igual que menos cinco, então estamos bem. Esta é uma boa solução. Então, vamos olhar para o outro lado.

Neste lado, lembre-se que 𝑥 mais cinco nos dá uma resposta negativa, por isso precisamos de convertê-la no seu equivalente positivo. Então, em vez de utilizar 𝑥 mais de cinco, vamos utilizar o simétrico de 𝑥 mais cinco para transformá-lo numa coordenada positiva, e isso é igual a menos cinco 𝑥 mais dois. Então, distribuindo o menos entre parênteses, temos negativo 𝑥 menos cinco é igual a menos cinco 𝑥 mais dois; portanto, adicionar cinco 𝑥 a ambos os membros agora dá-nos quatro 𝑥 menos cinco no primeiro membro e apenas dois no segundo membro. E se eu adicionar cinco aos dois membros, tenho quatro iguais a sete 𝑥. E agora, finalmente, basta dividir os dois membros por quatro e obtenho 𝑥 igual a sete sobre quatro. Mas espere! Dissemos para seguir este ramo, 𝑥 precisava de ser menor que menos cinco; mas, ao fazer isso, obtivemos uma resposta 𝑥 igual a sete sobre quatro. Portanto, esta é uma solução absurda e sem sentido, logo não é uma solução correta aqui. Portanto, a única resposta que temos que é válida é 𝑥 igual a menos um meio. Vamos observar o gráfico e ver por que é este o caso.

Então, vamos primeiro considerar o gráfico de 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 mais dois que têm um declive de menos cinco e interseta o eixo O𝑦 em dois. Então, menos cinco, sempre que aumento minha coordenada em 𝑥 uma unidade, a minha coordenada em 𝑦 diminui cinco. Então, estamos a olhar para uma reta decrescente muito acentuada e interseta o eixo O𝑥 quando 𝑦 é igual a zero. E colocando a coordenada em 𝑦 igual a zero, temos zero igual a menos cinco 𝑥 mais dois, adicionando cinco 𝑥 a ambos os membros dá-me cinco 𝑥 igual a dois e, em seguida, dividir os dois membros por cinco dá-me 𝑥 igual a dois quintos. Portanto, interseta o eixo O𝑥 quando 𝑥 é dois quintos. Então, é este o aspeto da reta 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 mais dois. Agora vamos considerar a reta do módulo de 𝑥 mais cinco. Bem, será igual à reta 𝑦 igual 𝑥 mais cinco, se a coordenadas em 𝑦 não fossem negativas, caso em que se tornam positivas. Então, 𝑦 igual a 𝑥 mais cinco tem um declive de um. Interseta o eixo O𝑦 em 𝑦 igual a cinco e interseta o eixo O𝑥 em 𝑥 igual a menos cinco. Então, esta é a reta 𝑦 igual a 𝑥 mais cinco. Mas lembre-se, dissemos que o módulo de 𝑥 mais cinco, onde quer que tenhamos coordenadas negativas de 𝑦, serão refletidas nos seus equivalentes positivos aqui em cima. Portanto, esta parte da reta à esquerda de 𝑥 igual a menos cinco, na verdade, vai saltar assim nesta direção. Agora estas duas retas intersetam-se apenas num ponto; e na região onde se cruzam, observamos a interseção desta reta 𝑦 igual a menos cinco 𝑥 mais dois com esta reta 𝑦 igual a apenas 𝑥 mais cinco. E quando resolvemos esta equação, obtemos uma coordenada em 𝑥 de menos um meio, que é exatamente o que obtivemos quando a resolvemos algebricamente. Então, por que é que a nossa abordagem algébrica nos deu esta resposta falsa de 𝑥 igual a sete sobre quatro? Bem, o que fez foi estender esta parte da reta aqui neste sentido; e então aqui em baixo, onde esta reta e esta reta se intersetaram, calculou a coordenada em 𝑥 correspondente aqui de sete sobre quatro. Agora, esta não é uma solução válida, deve ter muito cuidado ao utilizar a abordagem algébrica. A utilização destes gráficos ajuda a visualizar realmente quais são as soluções válidas e quais não são válidas.

Então, vamos resumir os principais pontos do que aprendemos. A primeira coisa que temos que considerar é quando o módulo entra em ação. E com isso, queremos dizer apenas quando devemos alterar as respostas que obtemos da nossa função original. Por exemplo, se estivermos a analisar o módulo de 𝑥 mais cinco, se o valor de 𝑥 mais cinco for maior ou igual a zero de qualquer maneira, podemos apenas tomar esse valor; já é positivo. Mas se o valor de 𝑥 mais cinco for menor que zero, teremos que tomar essa resposta negativa e transformá-la numa resposta positiva. E a maneira como o fazemos, tomamos o simétrico desta resposta negativa. E lembre-se, quando 𝑥 mais cinco é menor que zero, se eu tirar cinco a cada membro, isso acontece quando 𝑥 é menor que menos cinco. Portanto, se 𝑥 for menor que menos cinco, vou considerar o simétrico de 𝑥 mais cinco para transformá-lo num valor positivo; mas se 𝑥 for maior ou igual a menos cinco, posso utilizar apenas o valor 𝑥 mais cinco porque já é maior que zero ou igual a zero. Então temos que fazer dois conjuntos de cálculos, um nesta situação e outro nesta situação, e terminamos com dois conjuntos de soluções diferentes. E em terceiro lugar, deve verificar se as soluções que obtém correspondem aos critérios em cima. Por exemplo, aqui, sabemos que 𝑥 tem que ser menor que menos cinco. Portanto, se a resposta for 𝑥 igual a quatro, sabemos que não é válido porque não é menor que menos cinco; mas se tiver uma resposta de menos dez, esta estará na região válida; é uma resposta válida. E, finalmente, considere utilizar a representação de um gráfico. A abordagem gráfica é uma abordagem visual que ajuda a identificar soluções válidas, talvez um pouco mais facilmente e de forma mais óbvia. Boa sorte, então, com a resolução de equações que envolvem módulos e sem módulos de uma incógnita.