Lesson Video: Permutações e Combinações Parte 2

Video Transcript

Na primeira parte, analisamos como contar o número de maneiras de organizar objetos e usar a notação fatorial para produzir uma fórmula para isso. Também analisamos quantas maneiras existem para escolher um certo número de objetos de um conjunto e criamos a fórmula de permutações, 𝑛 𝑃 𝑟. Agora vamos usar essas coisas para contar combinações de objetos em que o pedido deles não é relevante e vamos usar a fórmula de combinações, 𝑛 𝐶 𝑟 em alguns exemplos.

Lembre-se, aprendemos da última vez que 𝑛 fatorial significa 𝑛 vezes 𝑛 menos um vezes 𝑛 menos dois, e assim por diante, vezes três vezes dois vezes um. Então, por exemplo, cinco fatorial significa cinco vezes quatro vezes três vezes dois vezes um. E também aprendemos a fórmula 𝑛 𝑃 𝑟, fórmula de permutações, é igual a 𝑛 fatorial sobre 𝑛 menos 𝑟 fatorial, portanto, estamos escolhendo 𝑟 objetos de um conjunto de 𝑛 objetos. Agora dissemos que zero fatorial é igual a um. Então, se 𝑛 e 𝑟 se mostrarem iguais, isso significaria que com zero fatorial na parte inferior, faríamos isso igual a um. Bem, um exemplo disso está na questão de quantas maneiras existem para escolher três letras das letras 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷.

Então, nesse caso, 𝑟 seria igual a três porque é o número de letras que estamos escolhendo e 𝑛 seria igual a quatro porque é o tamanho do conjunto de letras que temos para escolher. Então, 𝑟 seria três porque esse é o número de letras que estamos escolhendo e 𝑛 seria igual a quatro porque esse é o tamanho do conjunto de letras que temos para escolher. Portanto, a resposta para a pergunta seria quatro 𝑃 três, de modo que são quatro fatorial sobre quatro menos três fatorial, o que, claro, é quatro fatorial sobre um fatorial. E quando resolvemos isso, obtemos uma resposta de vinte e quatro. Então, o principal é que a ordem das letras era muito importante, porque as vinte e quatro combinações de lá incluem todas essas aqui. E estas são basicamente todas as variações de 𝐴, 𝐵 e 𝐶, então apenas adicionamos as letras 𝐴, 𝐵 e 𝐶 em ordens diferentes. Se não importar em que ordem elas estão, efetivamente podemos contar todas essas combinações diferentes como uma escolha, apenas uma opção. E é esse processo que vamos ver neste vídeo.

Então, como acabamos de ver, 𝑛 𝑃 𝑟 nos diz quantas permutações existem para escolher 𝑟 objetos de um conjunto de 𝑛 objetos. E mais uma vez, como acabamos de ver, cada grupo de 𝑟 letras - então temos três letras no exemplo 𝐴, 𝐵 e, 𝐶 - são escritas 𝑟 fatorial maneiras diferentes. Então, três fatorial maneiras diferentes. Isso é três vezes dois vezes um que é seis maneiras diferentes da grande lista. Então essa grande lista contém muitas repetições se você não está realmente interessado em qual ordem elas aparecem. Então, vamos ver como calcular quantas combinações diferentes obtemos ao escolher 𝑟 objetos do conjunto de 𝑛 objetos se nós descartamos todos os diferentes rearranjos da mesma letra. Então 𝑛 𝑃 𝑟, como dissemos, contamos quantas permutações únicas tínhamos, e essa lista incluía 𝑟 repetições fatoriais de grupos de três letras. Então, se quisermos saber, por exemplo, quantos grupos de três letras, ou 𝑟 letras, que temos em uma resposta final, o que precisamos fazer é pegar a resposta de 𝑛 𝑃 𝑟 e dividi-la por 𝑟 fatorial. Então temos que, 𝑛 𝐶 𝑟 é igual a 𝑛 𝑃 𝑟 dividido por 𝑟 fatorial. Portanto, a fórmula para 𝑛 𝑃 𝑟, lembre-se, era 𝑛 fatorial sobre 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Se dividirmos isso por 𝑟 fatorial, é o mesmo que multiplicar por um sobre 𝑟 fatorial e isso nos dá essa fórmula, 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Então, lembre-se, 𝑛 𝑃 𝑟 conta as permutações em que ordens diferentes do mesmo grupo de letras contam separadamente, então contamos duplicando, triplicando, quadruplicando as coisas e assim por diante. E 𝑛 𝐶 𝑟 conta as combinações onde diferentes ordenações do grupo são combinadas em uma. Assim, no nosso último exemplo, todos os 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐶𝐵, 𝐵𝐴𝐶 e assim por diante, que contariam como múltiplas permutações na fórmula 𝑛 𝑃 𝑟, contaríamos todas as seis variações como uma única combinação na fórmula 𝑛 𝐶 𝑟 porque elas são todas o mesmo grupo de três letras.

Certo, vamos dar uma olhada em alguns exemplos então.

Se tivermos dez discos rotulados de 𝐴 até 𝐽, pegamos três discos aleatoriamente e os colocamos na ordem em que foram selecionados. Quantas permutações existem para isso? Então, 𝑛 seria dez nesse caso, porque temos dez letras para escolher. E 𝑟 será três porque estamos escolhendo três desse conjunto. Agora, estamos definindo-os em ordem, por exemplo, 𝐴𝐵𝐶 não seria equivalente a 𝐶𝐵𝐴 e assim por diante, portanto, queremos usar a fórmula 𝑛 𝑃 𝑟.

E substituindo esses valores por 𝑟 e 𝑛, temos dez 𝑃 três, de modo que são dez fatorial sobre dez menos três fatorial. E isso nos dá dez fatorial sobre sete fatorial. Agora, obviamente, poderíamos colocar isso em nossa calculadora e obter nossa resposta, mas vou escrever isso por completo por um momento. E quando fazemos isso, podemos ver que podemos cancelar bastante. Então sete dividido por sete é um, seis dividido por seis é um, cinco dividido por cinco é um, quatro dividido por quatro é um, três dividido por três é um, e assim por diante. Todos cancelam, por isso acabamos com apenas dez vezes nove vezes oito sobre um ou dez vezes nove vezes oito. Isso nos dá setecentas e vinte diferentes permutações que podemos obter. E essa é a nossa resposta. Agora, apenas para destacar a diferença entre 𝑛 𝑃 𝑟 e 𝑛 𝐶 𝑟, lembre-se que setecentos e vinte incluem para cada conjunto de três letras como 𝐴𝐵𝐶; nós temos seis variações disso lá. E se estivermos preparados para dizer que são todos equivalentes porque são apenas combinações das letras 𝐴, 𝐵 e 𝐶, podemos dividir esses setecentos e vinte por seis, neste caso, três fatorial porque tínhamos 𝑟 igual a três para calcular o número de combinações. Então, há o cálculo para 𝑛 𝐶 𝑟. Se estivéssemos procurando quantos agrupamentos de três letras, a resposta seria apenas cento e vinte. Mas a pergunta pediu especificamente permutações e disse que a ordem era importante, então estabelecemos na ordem em que eles foram selecionados. Então esta é a resposta correta.

Apenas certifique-se de que, na página, tenhamos a resposta correta grifada, e é óbvio que esse outro treino não foi apenas mais um palpite sobre qual seria a resposta.

Ok, vamos olhar para este pequeno ensaio para a nossa próxima pergunta.

Em uma loteria, escolhemos cinco letras do alfabeto. Durante o sorteio, uma máquina carrega vinte e seis bolas, em cada uma delas tem uma das letras de 𝐴 a 𝑍 sobre elas. Ela embaralha as bolas e, em seguida, deixa sair cinco. Não importa a ordem em que foram sorteadas, se nossas cinco letras escolhidas corresponderem às da máquina, então venceremos! Quantas combinações de cinco letras existem para escolher? Então, neste caso, a ordem não importa, então vamos usar a combinação 𝑛 𝐶 𝑟. E há vinte e seis letras do alfabeto para escolher, então 𝑛 é igual a vinte e seis. E nós estamos escolhendo cinco dessas letras, então 𝑟 é igual a cinco. Então, estamos escolhendo cinco, 𝑟 é igual a cinco, de vinte e seis, 𝑛 é igual a vinte e seis. E não importa em que ordem elas foram sorteadas, por isso estamos usando a fórmula 𝑛 𝐶 𝑟 que é vinte e seis 𝐶 cinco quando substituímos esses valores em 𝑛 e 𝑟. E isso nos dá vinte e seis fatorial sobre cinco fatorial vinte e seis menos cinco fatorial, que é vinte e seis fatorial sobre cinco fatorial vinte e um fatorial. Agora, novamente, podemos escrever esse número em uma calculadora e obter nossa resposta, mas vou dar um passo a mais e dividir isso um pouco. Às vezes os números que você recebe são grandes demais para trabalhar em uma calculadora; mas ao detectar algumas coisas que você pode cancelar, você pode gerar números que são pequenos o suficiente para que sua calculadora ainda possa manipular. E isso, bem, não é o caso aqui. Podemos, você sabe, este número funcionaria em uma calculadora, mas vamos ver a técnica mesmo assim. Portanto, não tenho muito espaço para escrever vinte e seis fatorial completos, mas sei que é vinte e seis vezes vinte e cinco vezes vinte e quatro vezes vinte e três vezes vinte e dois vezes vinte e um, e assim por diante. Mas é claro que esse termo aqui, vinte e um vezes todos os números, é apenas vinte e um fatorial. Então nós temos essas coisas aqui, vezes vinte e um fatorial lá no numerador e no denominador. Temos vinte e um fatorial, na verdade, esses vinte e um fatoriais se cancelam. Então, temos isso dividido por cinco fatorial. Então sessenta e cinco mil setecentos e oitenta, esse é o número de combinações que estão lá. E se tudo isso foi feito aleatoriamente, esse é o número de maneiras diferentes de escolher cinco letras, então temos uma chance em sessenta e cinco mil setecentos e oitenta de ganhar essa loteria em particular. Agora, vamos deixar isso um pouco de lado, se a ordem importasse, se tivéssemos de igualar a ordem em que as letras saíram também, teríamos utilizado a fórmula 𝑛 𝑃 𝑟. E é claro que temos grupos de cinco, então cinco combinações fatoriais de diferentes combinações de cada grupo de cinco letras, então a resposta será cinco vezes maior que isso: sete milhões oitocentos e noventa e três mil e seiscentos. Então, na verdade, você tem uma chance muito menor de ganhar essa loteria em particular se importar a ordem em que as bolas surgiram, mas é claro que essa não é a resposta que procurávamos neste caso específico.

Ok, finalmente, vamos usar nossas técnicas de contagem de combinação para calcular algumas probabilidades. Então, nós temos uma pergunta aqui.

Um saco contém cinco doces de chocolate e quinze doces de morango. Se alguém escolhe um doce aleatoriamente, encontre a probabilidade de escolher um de chocolate; e se duas pessoas escolherem um doce, cada uma ao acaso, encontre a probabilidade de que ambas consigam chocolate. Então, realmente, nós temos duas perguntas, vamos chamá-las de 𝐴 e 𝐵. Vamos dar uma olhada na primeira, primeiro. Alguém escolhe um doce aleatoriamente, achar a probabilidade de ser de chocolate. Bem, isso é bem direto. A probabilidade de você obter um doce de chocolate é apenas o número de maneiras de obter um doce de chocolate dividido pelo número de maneiras de escolher um doce de qualquer tipo. E é claro que existem cinco doces de chocolate e então há cinco maneiras e quinze doces de morango, então são cinco divididos por cinco mais quinze, então são cinco sobre vinte. Portanto, nossa resposta, a probabilidade de obter um doce de chocolate, é apenas cinco sobre vinte. Ok, vamos analisar a segunda pergunta. Agora vamos ver dois métodos diferentes de fazer essa pergunta. O primeiro método, talvez o que você já pensou, nós temos dois eventos. Então, primeiro de tudo, uma pessoa recebe um doce de chocolate e, em seguida, a pessoa dois recebe um doce de chocolate. Então, para que essas duas coisas aconteçam juntas, temos que ter uma e a outra, vamos multiplicar essas probabilidades. Então, acabamos de descobrir que a probabilidade de uma pessoa obter um doce de chocolate é cinco sobre vinte. E, claro, se eles escolheram um doce de chocolate, um, haverá apenas quatro doces de chocolate, e a outra coisa, agora só haverá dezenove doces no total para eles escolherem. Então, vamos acabar com cinco vigésimos como a probabilidade da primeira pessoa pegar chocolate e quatro nonagésimos como uma probabilidade da segunda pessoa pegar um chocolate. Multiplique os dois, simplifique e recebemos um sobre dezenove. Novamente, na probabilidade, você não será penalizado se não simplificar esses números. Mas neste caso, este trezentos e oitenta pode ter perdido um pouco do seu significado, por isso é mais sensato simplificar os números para números simples e agradáveis, como um sobre dezenove. Segundo método dois, a probabilidade de ambos receberem chocolate é o número de maneiras pelas quais duas pessoas podem escolher o chocolate dividido pelo número de maneiras que duas pessoas podem escolher qualquer doce. Então, o número de maneiras que duas pessoas podem escolher o chocolate é cinco 𝐶 dois, que seria escolher entre cinco chocolates, e há dois deles, então cinco 𝐶 dois é o que queremos. E o número de maneiras que eles podem escolher um doce, mas temos vinte doces no total e há dois deles escolhendo, então o número total de combinações de maneiras que eles podem escolher é vinte 𝐶 dois. E se você fizer isso na sua calculadora, cinco 𝐶 dois são dez e vinte 𝐶 dois são cento e noventa, o que nos tranquiliza pois quando simplificamos recebemos a mesma resposta que fizemos no outro caminho, um sobre dezenove. Portanto, há uma em dezenove chances de que os dois consigam chocolate.

Então, apenas para resumir o que aprendemos ao longo desses dois vídeos, aprendemos sobre o 𝑛 fatorial, que tem diferentes maneiras de expressá-lo, mas é o 𝑛 vezes o número menos um vezes o número menos um, e assim por diante, até chegarmos a um. E lembre-se, nós temos essa definição especial de zero fatorial é sempre igual a um; isso não é totalmente intuitivo, mas você precisa se lembrar disso. Aprendemos sobre as permutações, 𝑛 𝑃 𝑟 e as várias maneiras diferentes de notar isso em diferentes regiões, 𝑛 fatorial sobre 𝑛 menos 𝑟 fatorial. Agora, isso conta todos os rearranjos diferentes dos mesmos agrupamentos de letras e casos individuais, portanto obtemos um número bastante grande nesse caso. Mas se quisermos juntar todos os diferentes arranjos das mesmas letras que escolhemos e obter uma resposta menor, temos que dividir isso por 𝑟 fatorial. E porque temos todas aquelas repetições das mesmas combinações dessas letras ou objetos, obtemos combinações; nós temos a fórmula 𝑛 𝐶 𝑟. E há diferentes maneiras de notar isso, e isso nos dá a fórmula 𝑛 fatorial sobre 𝑟 fatorial 𝑛 menos 𝑟 fatorial.