Vídeo: Formando Equações Quadráticas na Forma mais Simples, Dadas suas Raízes

Encontre, na sua forma mais simples, a equação quadrática cujas raízes são −3 e −8.

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Transcrição do vídeo

Encontre, na sua forma simplificada, a equação de segundo grau (quadrática) cujas raízes são menos três e menos oito.

Como é dado que temos uma equação quadrática na questão, na verdade sabemos que — se fôssemos fatorar, teríamos parênteses. E também, como sabemos as raízes da equação, nesse caso, podemos dizer que elas seriam iguais a zero. O que precisamos fazer agora é descobrir primeiro o que está dentro de nossos parênteses. E sabemos que para a equação ser igual a zero, um dos parênteses também deve ser igual a zero. Então, podemos usar isso para descobrir o que vai dentro dos parênteses. E nós podemos fazer isso porque sabemos que as raízes, os valores 𝑥, são menos três ou menos oito.

Então, primeiro de tudo, podemos usar menos três. E sabemos que menos três mais algo é igual a zero. E sabemos que isso será menos três mais três. Portanto, podemos incluir no primeiro parêntese. Portanto, nosso primeiro parêntese é 𝑥 mais três. Agora só precisamos descobrir o que o segundo poderia ser. Precisamos ver o que adicionamos a menos oito para dar zero, porque essa é a outra das nossas raízes. Bem, a resposta é mais oito. Portanto, ótimo. Agora descobrimos o que vai entrar em nosso segundo parêntese, e é 𝑥 mais oito porque temos mais oito resolve “o que adicionamos a menos oito para obter zero”.

Que bom! Agora temos o fato de que, totalmente fatorada, nossa quadrática seria 𝑥 mais três, 𝑥 mais oito. E podemos verificar isso porque podemos ver que menos três mais três seriam zero. Isso tornaria totalmente igual a zero, toda a equação. E menos oito mais oito também tornariam a equação igual a zero.

Fantástico! Agora, queremos expandir nossos parênteses. Para fazer isso, primeiro vamos multiplicar os 𝑥 termos. Então isso é 𝑥 multiplicado por 𝑥, o que nos dá 𝑥 ao quadrado. E então eu multiplico 𝑥 por oito positivos, o que nos dá mais oito 𝑥. E eu multiplico três positivos por 𝑥 o que nos dá mais três 𝑥. E então, finalmente, três positivos multiplicados por oito positivos, o que nos dá mais 24.

Fantástico! Agora expandimos nossos parênteses e, na verdade, estamos quase chegando à resposta final. Mas se olharmos para a questão, ela diz encontrar, em sua forma simplificada, a equação quadrática. Então, agora o que precisamos fazer é agrupar termos semelhantes. Então, tudo o que podemos fazer é que será igual a 𝑥 ao quadrado e, em seguida, mais. E temos dois termos semelhantes aqui. Nós temos oito 𝑥 e três 𝑥. Então mais oito 𝑥 mais três 𝑥, o que nos dá 11𝑥 positivos ou mais 11𝑥. E então, apenas mais 24.

Portanto, podemos dizer que, em sua forma mais simples, a equação quadrática, cujas raízes são menos três e menos oito, será igual a 𝑥 ao quadrado mais 11 𝑥 mais 24.

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