Vídeo: Derivando Funções Polinomiais

Determine a primeira derivada da função 𝑦 = 2𝑥(9𝑥² − 3𝑥) + 10𝑥.

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Transcrição do vídeo

Determine a primeira derivada da função 𝑦 igual a dois 𝑥 multiplicado por nove 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais 10𝑥.

Então, agora, a primeira etapa que precisamos de completar é desembaraçar os nossos parênteses. E, para fazê-lo, o que vamos fazer é multiplicar dois 𝑥 por cada termo. Então, vamos começar com dois 𝑥 multiplicado por nove 𝑥 ao quadrado, o que nos dará 18𝑥 ao cubo. E a seguir, vamos ter dois 𝑥 multiplicado por menos três 𝑥. Muito importante aqui para garantir que incluamos o sinal. Portanto, menos, é dois 𝑥 multiplicado por menos três 𝑥. Portanto, o nosso próximo termo será menos seis vezes 𝑥 ao quadrado. E finalmente, adicionamos os nossos 10𝑥.

Certo, ótimo. Agora temos a função 𝑦 igual a 18𝑥 ao cubo menos seis 𝑥 ao quadrado mais 10𝑥. Então agora que desembaraçámos os parênteses, o que podemos fazer é derivar cada um dos nossos termos individualmente. Então, antes de o fazermos, vamos lembrar-nos de como realmente derivar.

Então, se olharmos para a derivação e tivermos uma função na forma 𝑎𝑥 elevado a 𝑏, então a derivada dessa função será igual a 𝑎𝑏𝑥 elevado a 𝑏 menos um. O que fizemos foi multiplicarmos o expoente pelo coeficiente. E a seguir o que fizemos foi reduzir o expoente uma unidade. Temos 𝑎𝑏𝑥 elevado a 𝑏 menos um. Certo, ótimo. Agora já recapitulámos isto. Vamos utilizá-lo para derivar cada um dos nossos termos.

Vou passo a passo para ver exatamente o que cada um dos nossos termos será. Então, primeiro que tudo, se derivarmos 18𝑥, será igual a 18 multiplicado por três. O coeficiente multiplicado pelo expoente. E a seguir 𝑥 elevado a três menos um que nos dará 54𝑥 ao quadrado. Certo, ótimo. Determinámos o nosso primeiro termo da derivada. Também vale a pena notar que, neste momento, eu coloquei a nossa primeira derivada como 𝑑𝑦 𝑑𝑥. Mas com a notação, também poderá vê-la como 𝑦 “linha” ou 𝑓 𝑥 “linha”. Ambas significam a mesma coisa. Denotam a primeira derivada.

Certo, ótimo. Agora, vamos para o nosso segundo termo. E para o nosso segundo termo, vamos derivar o menos seis 𝑥 ao quadrado. Eu mantive o menos porque na verdade é o sinal que é relevante para este termo. No entanto, isso não afetará a derivação em si. E dará menos seis multiplicado por dois porque é assim que, novamente, o nosso coeficiente é multiplicado pelo nosso expoente. E a seguir 𝑥 elevado a dois menos um porque reduzimos uma unidade ao nosso expoente que nos dará menos 12𝑥. Certo, ótimo. Determinámos o nosso segundo termo.

Assim, portanto, podemos agora passar para o nosso último termo. Bem, nosso último termo nos dará mais 10. E só para nos lembrarmos de como o obtivemos, temos 10 multiplicado por um porque temos o nosso coeficiente 10. E o expoente será um, pois é 𝑥 sozinho. E a seguir 𝑥 elevado um menos um. E se pensar sobre isto, dá 𝑥 elevado a zero. E sabemos que qualquer coisa com expoente zero é igual a um. Então, portanto, ficamos apenas com 10.

Portanto, podemos dizer que a primeira derivada da função 𝑦 igual a dois 𝑥 multiplicado por nove 𝑥 ao quadrado menos três 𝑥 mais 10𝑥 é igual a 54𝑥 ao quadrado menos 12𝑥 mais 10.

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