Lesson Video: Transformações do Plano Complexo

Video Transcript

Neste vídeo, vamos aprender sobre as transformações do plano complexo. Realmente, estamos interessados em funções complexas. São funções que recebem um número complexo como entrada e retornam um número complexo como saída. Seria ótimo se você pudesse desenhar um diagrama que nos ajudasse a entender essas funções complexas da mesma forma que o gráfico de uma função real nos ajuda a entender as funções reais.

Se considerarmos a função real 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado, podemos ver os principais recursos dessa função em seu gráfico. Por exemplo, vemos uma raiz em 𝑥 igual a zero. E também temos o valor mínimo da função aqui. O valor mínimo que a função gera é zero. E podemos ler os valores da função no gráfico. Por exemplo, vemos que 𝑓 de menos um é um. Podemos fazer o mesmo para uma função complexa como 𝑓 de 𝑧 é igual a 𝑧 ao quadrado?

A única diferença da nossa função anterior é que o domínio é agora os números complexos em vez dos números reais. Podemos apenas desenhar o mesmo gráfico e depois chamar o gráfico de 𝑤 igual a 𝑓 de 𝑧, onde 𝑧 pode ser um número complexo? Pense em como você pode ler o valor de 𝑓 de dois mais 𝑖 deste gráfico. Onde está o ponto neste gráfico que corresponde a uma entrada de dois mais 𝑖? Podemos encontrar dois mais 𝑖 no nosso eixo 𝑧? Talvez esteja lá, por exemplo.

Bem, infelizmente não. Ao contrário dos números reais, que podemos representar em uma reta numérica, precisamos realmente de duas dimensões ou de um plano complexo inteiro para representar números complexos. Portanto, para ter alguma esperança, precisaremos de dois eixos para nossa entrada. E a saída dessa função também é um número complexo. No nosso caso, 𝑓 de dois mais 𝑖 é três mais quatro 𝑖. O eixo 𝑤 de saída precisa se tornar um plano 𝑤 inteiro. Só então podemos representar a saída.

Então, em vez de um eixo 𝑥 para entradas, temos um plano 𝑧 inteiro. E, em vez de um eixo 𝑦 para saídas, temos um plano 𝑤 inteiro. Gostaríamos que o ponto em nosso gráfico fosse algo como dois mais 𝑖, três mais quatro 𝑖, que com nossos quatro eixos temos que representar como um ponto quadrimensional dois, um, três, quatro. O gráfico desta função é, portanto, quadrimensional. Por isso, não é particularmente útil para nos ajudar a visualizar o que é uma função complexa. Precisamos de uma ideia diferente.

A ideia é pensar no plano complexo de entradas sendo transformado pela função. Então, se pensarmos novamente na função 𝑓 de 𝑧 é igual a 𝑧 ao quadrado, podemos pensar nisso como a transformação 𝑇 que leva 𝑧 para 𝑧 ao quadrado. E então, dada uma entrada como dois mais 𝑖, podemos representá-lo no plano das entradas, que chamamos de plano 𝑧. E transformamos o plano 𝑧 para obter o plano 𝑤 das saídas. E podemos representar a imagem da entrada dois mais 𝑖 neste plano 𝑤 transformado. A imagem é três mais quatro 𝑖, porque dois mais 𝑖 ao quadrado são três mais quatro 𝑖.

Qual é a imagem do ponto menos um menos 𝑖? Usamos a fórmula 𝑤 igual 𝑧 ao quadrado. A imagem 𝑤 quando 𝑧 é menos um menos 𝑖 é menos um menos 𝑖 tudo ao quadrado, cuja distribuição é um mais 𝑖 mais 𝑖 mais 𝑖 ao quadrado. Usamos o fato de que 𝑖 ao quadrado é menos um para descobrir que a imagem é dois 𝑖. Marcamos esse ponto de imagem no plano 𝑤.

Olhando para o plano 𝑧 e para o plano 𝑤, você pode ver que tipo de transformação que 𝑇 leva 𝑧 para 𝑧 ao quadrado é? Dados esses dois pontos, você pode pensar que é uma translação. Mas como a imagem do número complexo zero é zero, vemos que algo mais complicado está acontecendo. Poderíamos continuar adicionando pontos um por um, olhando as imagens antes e depois para ver se podemos ver como a transformação afeta o plano 𝑧. Mas pode levar muitos desses pontos e muito trabalho antes de vermos o que está acontecendo.

Como vimos, ao tentar considerar o gráfico da função complexa, não conseguimos pensar na transformação de todo o plano complexo de uma só vez. Mas fazer as coisas ponto a ponto vai ser muito cansativo. Nós precisamos de um compromisso. A ideia é considerar as imagens das curvas no plano 𝑧. Nós desenhamos uma curva ou talvez uma linha no plano 𝑧. E vemos onde a transformação fica no plano 𝑤. Vamos ver como fazer isso usando um exemplo com uma função mais simples.

Encontre uma equação para a imagem do módulo de 𝑧 igual a dois sob a transformação do plano complexo 𝑇 que leva 𝑧 a 𝑧 mais um mais 𝑖.

Nós desenhamos o plano 𝑧 que estamos transformando e o plano 𝑤 que estamos transformando em segundo. O objeto no plano 𝑧 que estamos transformando é o módulo do local 𝑧 igual a dois, que é obviamente o círculo centrado na origem com raio dois. Agora, a transformação com a qual estamos lidando leva 𝑧 para 𝑧 mais um mais 𝑖. E você pode reconhecer isso como uma translação.

Um número complexo 𝑥 mais 𝑦𝑖 vai para 𝑥 mais 𝑦𝑖 mais um mais 𝑖, que é 𝑥 mais um mais 𝑦 mais um 𝑖. Portanto, em outras palavras, o ponto 𝑥𝑦 no plano de Argand vai para 𝑥 mais um, 𝑦 mais um. E assim, de fato, isso é uma translação pelo vetor um, um. Agora eu posso usar esse fato para desenhar a imagem do módulo de 𝑧 igual a dois. O centro se move de zero, a origem, para um mais 𝑖. E o círculo é transladado com ele. Além disso, o raio do círculo permanece o mesmo em dois.

Posso usar esse desenho da imagem para encontrar sua equação, que é afinal o que estamos procurando. Mas eu gostaria de mostrar um método mais algébrico. Imagine que não reconhecemos essa transformação como uma translação e, portanto, não conseguimos desenhar a imagem. Em vez disso, usamos a fórmula da transformação. Para 𝑧 no plano 𝑧, sua imagem é 𝑤 igual 𝑧 mais um mais 𝑖. E podemos reorganizar isso para isolar o objeto 𝑧 em termos de sua imagem 𝑤. 𝑧 é igual a 𝑤 menos um menos 𝑖.

Por que isso é útil? Bem, sabemos que o módulo de 𝑧 é dois. E, escrevendo 𝑧 em termos de 𝑤, obtemos o módulo de 𝑤 menos um menos 𝑖 é igual a dois, que é um local no plano 𝑤. Essa é a equação da imagem que estamos procurando. Reconhecemos esse local como um círculo com o centro um mais 𝑖 e raio dois, que é exatamente o que conseguimos ao reconhecer essa transformação como uma translação. O benefício desse método algébrico é que ele funciona para qualquer transformação. Não precisamos confiar em uma interpretação geométrica da transformação que recebemos.

Podemos usar esse método algébrico para obter uma compreensão geométrica dessa transformação do plano complexo. Vamos aplicar esse método algébrico a outro exemplo.

Encontre uma equação para a imagem do módulo de 𝑧 igual a um na transformação do plano complexo 𝑇 levando 𝑧 à metade de 𝑧.

Resolvemos isso em quatro etapas. Primeiro, escrevemos 𝑤 igual a 𝑇 de 𝑧. No nosso caso, 𝑇 de 𝑧, o valor transformado de 𝑧, é um meio de 𝑧. Então 𝑤 é um meio de 𝑧. Em seguida, reorganizamos essa equação para obter 𝑧 em termos de 𝑤. É fácil como 𝑤 é um meio de 𝑧. 𝑧 é duas vezes 𝑤. Então, substituímos isso por 𝑧 na equação para o local do plano 𝑧 para obter o local do plano 𝑤. O local no plano 𝑧 é o módulo de 𝑧 igual a um, com 𝑧 igual a dois 𝑤. Obtemos o local do módulo de dois 𝑤 é igual a um.

E, finalmente, precisamos simplificar esse local. Usamos o fato de que o módulo de um produto é o produto do módulo e que o módulo de dois é apenas dois. Para obter o local simplificado, o módulo de 𝑤 é um meio. O que vamos precisar fazer para resolver esse problema, podemos interpretar o objeto que estamos transformando como o círculo unitário. Esse é o círculo centrado em zero com o raio um meio. E a imagem na qual ele se transforma é o círculo com o centro zero novamente, mas desta vez com raio um meio. O círculo no plano 𝑧 encolhe então. Seu raio se reduz pela metade. E isso não deve surpreender se você reconhecer a transformação 𝑇 como uma ampliação com fator de escala de um meio.

É importante observar que, mesmo que você nunca tenha se deparado com o conceito de ampliação antes, ainda pode entender o que a transformação está fazendo considerando as imagens de vários objetos no plano complexo. Vejamos agora um exemplo em que considerar a imagem de um círculo centrado na origem não é suficiente para entender o que a transformação está fazendo.

O que eu vou fazer aqui é substituir um meio aqui por 𝑖. Agora a transformação leva 𝑧 para 𝑖𝑧. Bem, os passos ainda são os mesmos. 𝑤 é igual a 𝑖𝑧. Então, 𝑧 é menos 𝑖 vezes 𝑤. E o local do plano 𝑤 é então o módulo de menos 𝑖 vezes 𝑤 é igual a um. Novamente usamos o fato de que a função de módulo é multiplicativa. E sabemos que o módulo de menos 𝑖 é um. Portanto, a forma mais simples da equação da imagem é o módulo de 𝑤 igual a um.

A imagem do círculo unitário sob essa transformação é o círculo unitário. Por isso, é tentador pensar que essa transformação não fez nada. No entanto, se você considerar um ponto neste círculo, por exemplo, o ponto 𝑧 é igual a um, sua imagem sob a transformação 𝑧 vai para 𝑖 vezes 𝑧 é 𝑖. Então, enquanto a imagem do círculo unitário é o próprio círculo unitário, a imagem de um ponto naquele círculo unitário não é esse ponto. Isso ocorre porque a nossa transformação é uma rotação de 𝜋 sobre dois radianos ou 90 graus no sentido anti-horário. Nosso círculo unitário foi rotacionado, portanto. Embora seja difícil dizer se um círculo foi rotacionado, é fácil lidar com uma linha ou meia linha.

Vamos ver um exemplo.

Encontre uma equação para a imagem do argumento de 𝑧 igual a 𝜋 sobre quatro sob a transformação do plano complexo 𝑇 levando 𝑧 para 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜋 sobre três vezes 𝑧.

Nós vamos deixar 𝑤 ser a imagem de 𝑧. Então é 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜋 sobre três vezes 𝑧. E multiplicando ambos os lados por 𝑒 elevado a 𝑖𝜋 sobre três e trocando os lados, encontramos 𝑧 em termos de 𝑤. Podemos então substituir esta expressão por 𝑧 na equação do objeto. Podemos então usar o fato que sabemos sobre o argumento. O argumento de um produto é a soma dos argumentos. E do lado esquerdo, temos o argumento de 𝑒 elevado a 𝑖𝜋 sobre três mais o argumento de 𝑤. E o argumento de 𝑒 elevado a 𝑖𝜋 sobre três é apenas 𝜋 sobre três.

Subtraindo 𝜋 sobre três e simplificando, encontramos uma equação da imagem. É o argumento de 𝑤 igual a menos 𝜋 sobre 12. Ambas essas equações e a equação com a qual começamos são as equações de metade de retas. Olhando no diagrama, podemos ver que a imagem da meia reta aponta em uma direção diferente. Ela foi rodada. Na verdade, ela foi rotacionada por 𝜋 sobre três radianos no sentido horário. Bem, não podemos dizer se o círculo foi rotacionado. Com meia reta, é muito simples de ver.

No entanto, embora seja fácil dizer quando um círculo foi ampliado porque seu raio mudou, é difícil dizer isso por meia reta. Se mudarmos a transformação de modo que leve 𝑧 para três 𝑧, como o argumento de um terço é zero, descobrimos que o argumento de 𝑤 é 𝜋 sobre quatro. Olhando para o diagrama, é realmente impossível dizer que a meia reta sofreu uma ampliação com fator de escala três.

Para saber o que uma transformação está fazendo, é uma boa ideia usar as meias-retas e os círculos. Os exemplos que vimos foram transformações básicas do plano complexo, sendo translações, ampliações sobre a origem ou rotações sobre a origem. Mas podemos compor essas transformações para obter outras mais complicadas. Por exemplo, podemos compor um fator de escala de ampliação 𝑟 e uma rotação de 𝜃 radianos no sentido anti-horário. 𝑧 é ampliado para se tornar 𝑟𝑧. E esse 𝑟𝑧 é então rotacionado para se tornar 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 𝑟𝑧, ou 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 vezes 𝑧. Assim, vemos que a transformação que corresponde à multiplicação por um número complexo em forma exponencial 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 representa um fator de escala de ampliação 𝑟 sobre a origem, seguida por uma rotação por 𝜃 radianos no sentido anti-horário.

Podemos reescrever esta afirmação usando o módulo e o argumento do número complexo pelo qual estamos multiplicando. Você pode querer pausar o vídeo para ler isso. Uma pergunta natural a ser feita é: podemos escrever a transformação que leva 𝑧 a 𝑧 ao quadrado como uma composição de transformações básicas? Podemos, portanto, entender essa transformação como uma combinação de translações, ampliações e rotações?

Infelizmente, a resposta é não. Vamos provar isso. Na verdade, vamos provar uma afirmação mais forte. As únicas transformações que podemos escrever como uma composição de qualquer número das transformações básicas acima — isto é, translação, ampliação e rotação — são aquelas da transformação 𝑇 leva 𝑧 para 𝑎𝑧 mais 𝑏, onde 𝑎 e 𝑏 são números complexos. Como resultado desse teorema, a transformação de 𝑧 para 𝑧 ao quadrado não pode ser escrita como uma composição de transformações básicas, já que ela não possui essa forma. Então vamos provar isso.

A primeira coisa a notar é que as três transformações básicas têm essa forma. Para uma tradução genérica, 𝑎 é um e 𝑏 é 𝑥 mais 𝑦𝑖. Para uma dilatação genérica, 𝑎 é 𝑘 e 𝑏 é zero. E para uma rotação genérica, 𝑎 é 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 e 𝑏 é zero. Então isso é realmente verdade.

A segunda parte desta prova é que a composição de duas transformações desta forma também tem esta forma. Provamos isso tomando duas transformações arbitrárias desta forma, 𝑇 quatro que leva 𝑧 a 𝑐𝑧 mais 𝑑 e 𝑇 cinco que leva 𝑧 a 𝑒𝑧 mais 𝑓, onde, lembre-se, estamos permitindo que esses coeficientes sejam números complexos. Sua composição leva 𝑧 a 𝑇 quatro de 𝑇 cinco de 𝑧. Bem, 𝑇 cinco de 𝑧 é 𝑒𝑧 mais 𝑓. E 𝑇 quatro de algo é 𝑐 vezes algo mais 𝑑.

Simplificando, descobrimos que a composição deles é 𝑐𝑒 vezes 𝑧 mais 𝑐𝑓 mais 𝑑. Assim, a composição das transformações leva 𝑧 a 𝑐𝑒 vezes 𝑧 mais 𝑐𝑓 mais 𝑑. E assim esta composição também tem a forma 𝑇 levando 𝑧 para 𝑎𝑧 mais 𝑏. Então, nós provamos nossa afirmação. Quaisquer duas transformações básicas terão esta forma e, portanto, sua composição também terá a forma. E se você for compor essa composição com outra transformação básica, bem, ambas as transformações têm a forma 𝑇 levando 𝑧 para 𝑎𝑧 mais 𝑏. Então, a composição delas também terá essa forma e assim por diante. No entanto, muitas transformações básicas com as quais você pode se deparar, você ainda acaba com algo dessa forma, 𝑇 levando 𝑧 para 𝑎𝑧 mais 𝑏. A transformação de 𝑧 para 𝑧 ao quadrado não é dessa forma e, portanto, não pode ser vista como uma composição de transformações básicas.

Vamos terminar aplicando algumas das técnicas que aprendemos para essa transformação, levando 𝑧 para 𝑧 ao quadrado. Veremos se podemos entender o que a transformação faz no plano complexo e, portanto, o que a função complexa faz para números complexos.

Encontre equações cartesianas para as imagens dos seguintes locais sob a transformação 𝑇 levando 𝑧 para 𝑧 ao quadrado. Parte a) O módulo de 𝑧 é igual a dois. Parte b) A parte real de 𝑧 é igual a um. E parte c) A parte imaginária de 𝑧 é igual a um.

A primeira coisa que fazemos é desenhar nossos planos 𝑧 e 𝑤. Agora podemos ver que o local, o módulo, de 𝑧 é igual a dois. Este é um círculo com centro na origem e raio dois no plano 𝑧. Mas o que é isso no plano 𝑤? Bem, 𝑤 é 𝑧 ao quadrado. Então, 𝑧 é a raiz quadrada de 𝑤. E assim o local se torna o módulo da raiz quadrada de 𝑤 igual a dois. Mas gostaríamos do módulo de 𝑤 do lado esquerdo. Por isso, nós elevamos ao quadrado os dois lados usando o fato de que o produto dos módulos é o módulo do produto, para descobrir que o módulo de 𝑤 é dois ao quadrado, que é quatro.

Assim, o efeito dessa transformação neste círculo centrado na origem é duas de suas raízes quadradas do raio. Mas lembre-se de que estamos procurando equações cartesianas. Se chamarmos a parte real de 𝑤 𝑢 e a parte imaginária de 𝑤 𝑣, então a equação cartesiana é 𝑢 ao quadrado mais 𝑣 ao quadrado é igual ao raio quatro ao quadrado, que é 16.

Agora vamos considerar a parte real de 𝑧 igual a um. Esse 𝑧 tem a forma um mais 𝑦𝑖, onde 𝑦 é um número real. Está aqui no plano 𝑧. Mas qual é a sua imagem no plano 𝑤? Bem, 𝑤 é 𝑧 ao quadrado, que é, portanto, um mais 𝑦𝑖 ao quadrado, que é um menos 𝑦 ao quadrado mais dois 𝑦𝑖. Mas lembre-se, queremos uma equação cartesiana em termos da parte real de 𝑤, que é 𝑢, e a parte imaginária de 𝑤, que é 𝑣. E podemos anotar esses valores em termos de 𝑦. Mas nós não queremos eles em termos de 𝑦. Queremos uma equação relacionando 𝑢 e 𝑣. Assim, eliminamos 𝑦 reorganizando a segunda equação para obter 𝑦 em termos de 𝑣 e substituindo isso na primeira equação.

Nós achamos que 𝑢 é um menos 𝑣 sobre dois ao quadrado, o que simplificamos para 𝑢 é igual a um menos 𝑣 ao quadrado sobre quatro. Esta é a equação de uma parábola no plano 𝑤. E assim, pela primeira vez, vemos um exemplo de quando a imagem de uma reta não é em si uma reta. É essencialmente o mesmo procedimento para a parte c). Nós achamos que a equação é 𝑢 igual a 𝑣 ao quadrado sobre quatro menos um. Isso conclui a pergunta. E novamente esta é uma parábola no plano 𝑤. Apenas olhando para a imagem do círculo, podemos pensar que a transformação é apenas uma ampliação, possivelmente seguida por rotação. Mas olhando para as imagens das retas, vemos algo mais interessante acontecendo.

Aqui estão os principais pontos que abordamos neste vídeo, sendo o mais importante o primeiro. Que podemos entender as transformações no plano complexo considerando seus efeitos nas retas e círculos.