Vídeo: Aproximação Linear

Neste vídeo, usaremos derivadas para encontrar a equação da reta que se aproxima da função perto de um determinado valor e usaremos derivadas para aproximar a variação na função.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como podemos usar derivadas para encontrar a equação da reta que se aproxima de uma função próxima a um determinado valor. Nesse estágio, você deve se sentir confiante em encontrar a derivada da função e a aplicação dela. Nesta lição, vamos investigar a aplicação da reta tangente à função. E como isso nos permite aproximar funções mais complicadas. Analisaremos vários exemplos dessa aplicação com graus variados de dificuldade e consideraremos a interpretação geométrica.

Considere a tangente à curva 𝑦 igual 𝑥 ao quadrado no ponto com coordenadas cartesianas um, um. Podemos ver que a tangente se encontra perto da curva perto do ponto de tangência, perto de um, um. Se aumentarmos o zoom no gráfico e sua tangente no ponto de tangência, veremos que há um breve intervalo para ambos os lados para o qual os valores 𝑦 ao longo da tangente fornecem uma boa aproximação aos valores 𝑦 de nossa curva. E quanto mais ampliamos o gráfico perto do ponto em que ele é derivável, mais plano o gráfico aparece e mais se assemelha à tangente. Podemos usar esse fato para desenvolver uma fórmula que pode ser usada para fornecer aproximações para uma função 𝑓 de 𝑥.

Lembre-se, a fórmula para a equação de uma reta com um gradiente de 𝑚 e que passa pelos pontos 𝑥 um 𝑦 um é 𝑦 menos 𝑦 um é igual a 𝑚 vezes 𝑥 menos 𝑥 um. Também sabemos que a derivada de uma função 𝑓 de 𝑥, 𝑓 linha de 𝑥, nos diz o gradiente da curva em um determinado ponto. Em particular, ela nos diz o gradiente da reta tangente à curva naquele ponto. Podemos dizer então que a reta tangente a uma função 𝑓 de 𝑥 em um ponto 𝑥 é igual a 𝑎 onde 𝑓 é derivável passa pelo ponto 𝑎, 𝑓 de 𝑎. E o gradiente neste momento será dado por 𝑓 linha de 𝑎.

Substituindo esses valores em nossa fórmula pela equação de uma reta, obtemos 𝑦 menos 𝑓 de 𝑎 igual a 𝑓 linha de 𝑎 vezes 𝑥 menos 𝑎. Nós adicionamos 𝑓 de 𝑎 a ambos os lados da nossa equação. E obtemos 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑎 mais 𝑓 linha de 𝑎 vezes 𝑥 menos 𝑎 como a equação da reta tangente. Vamos formalizar isso um pouco. Se 𝑓 é derivável em 𝑥 igual a 𝑎, então a equação da reta tangente 𝑙 de 𝑥 é dada como 𝑓 de 𝑎 mais 𝑓 linha de 𝑎 vezes 𝑥 menos 𝑎. Chamamos isso de aproximação linear à função em 𝑥 igual 𝑎. Vamos dar uma olhada na aplicação de nossa definição.

Encontre a aproximação linear da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 ao cubo menos 𝑥 ao quadrado mais três em 𝑥 igual a menos dois.

Aqui, temos uma função polinomial para a qual estamos sendo solicitados a encontrar a aproximação linear em 𝑥 igual a menos dois. Lembre-se, se 𝑓 é derivável em 𝑥 igual a 𝑎, então a equação da reta tangente e a equação que podem ser usadas para encontrar uma aproximação linear à função em 𝑥 igual a 𝑎 são dadas por 𝑙 de 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑎 mais 𝑓 linha de 𝑎 vezes 𝑥 menos 𝑎. Vamos dividir isso pedaço por pedaço.

Neste exemplo, queremos encontrar a aproximação linear em 𝑥 igual a menos dois. Então, seja 𝑎 igual a menos dois. Então 𝑓 de 𝑎 é 𝑓 de menos dois. E podemos encontrar esse valor substituindo 𝑥 é igual a menos dois na função 𝑥 ao cubo menos 𝑥 ao quadrado mais três. 𝑓 de menos dois é, portanto, menos dois ao cubo menos menos dois ao quadrado mais três, que é menos nove. Em seguida, procuramos encontrar 𝑓 linha de 𝑎.

Então, começaremos encontrando 𝑓 linha de 𝑥, que é a derivada de nossa função, e calculando em 𝑥 é igual a menos dois. A primeira derivada de nossa função em relação a 𝑥 é três 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥. E isso significa que a primeira derivada calculada em menos dois é dada por três vezes menos dois ao quadrado menos duas vezes menos dois que é 16. Mas e essa última parte, 𝑥 menos 𝑎? O que sabemos aqui? Bem, sabemos que 𝑎 é menos dois. Portanto, isso torna 𝑥 menos menos dois, que é igual a 𝑥 mais dois.

Podemos substituir cada parte da equação por 𝑙 de 𝑥. E obtemos menos nove mais 16 vezes 𝑥 mais dois. Distribuindo nossa expressão, obtemos menos nove mais 16𝑥 menos 32. E então simplificamos completamente. E vemos que a aproximação linear da função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao cubo menos 𝑥 ao quadrado mais três em 𝑥 é igual a menos dois é 𝑙 de 𝑥 é igual a 16𝑥 mais 23. Isso demonstra um exemplo muito simples de como encontrar a aproximação linear de um função. Também é importante perceber que podemos usar esse mesmo processo para funções mais complicadas aplicando as regras de derivação. Vamos ver como isso pode ser.

Qual é a aproximação da reta tangente 𝑙 de 𝑥 da raiz quadrada de um menos 𝑥 próximo de 𝑥 é igual a zero? Lembre-se, se 𝑓 é derivável em 𝑎, então a equação para a aproximação da reta tangente 𝑙 de 𝑥 é dada por 𝑓 de 𝑎 mais 𝑓 linha de 𝑎 vezes 𝑥 menos 𝑎. Veremos nosso exemplo, parte por parte. Mas primeiro vamos encontrar 𝑓 de 𝑎. Nossa função 𝑓 de 𝑥 é a raiz quadrada de um menos 𝑥. E estamos descobrindo que a aproximação da reta tangente próxima a 𝑥 é igual a zero. Então temos 𝑎 igual a zero. Isso significa que, em nossa expressão, 𝑓 de 𝑎 será 𝑓 de zero. E podemos calcular isso substituindo 𝑥 igual a zero em nossa função. E obtemos a raiz quadrada de um menos zero ou a raiz quadrada de um que é simplesmente um.

A próxima parte em que estamos interessados ​​é 𝑓 linha de 𝑎. 𝑓 linha de 𝑥 é a derivada de 𝑓 em relação a 𝑥. Então, precisamos derivar a raiz quadrada de um menos 𝑥 em relação a 𝑥. Precisamos identificar aqui que isso é uma função de uma função ou uma função composta. E podemos aplicar a regra da cadeia. Isto diz que se 𝑦 é uma função em 𝑢 e 𝑢 em si é uma função em 𝑥, então d𝑦 por d𝑥 é o mesmo que d𝑦 por d𝑢 vezes d𝑢 por d𝑥. Se dissermos que 𝑦 é a função raiz quadrada de um menos 𝑥, podemos deixar 𝑢 ser igual a um menos 𝑥 e 𝑦 ser igual à raiz quadrada de 𝑢 que escrevi como 𝑢 elevado a um meio.

d𝑢 por d𝑥, a derivada de um menos 𝑥 em relação a 𝑥 é simplesmente menos um. E a derivada de 𝑦 em relação a 𝑢 é um meio vezes 𝑢 elevado a um meio menos um que é menos um meio. Portanto, a derivada da raiz quadrada de um menos 𝑥 em relação a 𝑥 é um meio vezes 𝑢 elevado a menos um meio multiplicada por menos um. Substituindo 𝑢 por um menos 𝑥 e vemos que a derivada da raiz quadrada de um menos 𝑥 em relação a 𝑥 é menos um meio vezes um menos 𝑥 elevado a menos um meio. Observe, nesta fase, que poderíamos ter usado a regra geral da potência aqui. E esse é apenas um caso especial da regra da cadeia.

Portanto, como agora sabemos 𝑓 linha de 𝑥, podemos calcular 𝑓 linha de 𝑎. Esse é o 𝑓 linha de zero. Então, vamos substituir zero em nossa fórmula para derivada de nossa função. É menos um meio vezes um menos zero elevado a menos um meio, que é menos um meio. A parte final da nossa aproximação da reta tangente na qual estamos interessados ​​é 𝑥 menos 𝑎. E como 𝑎 é ​​zero, isso se torna 𝑥 menos zero, que é apenas 𝑥.

Substituindo tudo isso em nossa fórmula, vemos que o 𝑙 de 𝑥 é igual a um mais menos um meio vezes 𝑥. E isso simplifica para um menos 𝑥 sobre dois. Até agora, vimos como a regra da cadeia pode ser usada juntamente com a fórmula para a aproximação da reta tangente. Podemos até usar a aproximação da reta tangente ao lidar com funções trigonométricas.

Encontre a aproximação linear da função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 sen de 𝑥 em 𝑥 é igual a dois 𝜋.

Lembre-se, se 𝑓 é derivável em 𝑥 igual a 𝑎, então a equação para a aproximação da reta tangente é dada por 𝑙 de 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑎 mais 𝑓 linha de 𝑎 vezes 𝑥 menos 𝑎. Neste exemplo, deixamos 𝑎 igual a dois 𝜋. Precisamos calcular 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 linha de 𝑎. Vamos começar com 𝑓 de 𝑎. Nesse caso, 𝑓 de dois 𝜋. Portanto, substituímos 𝑥 é igual a dois 𝜋 em 𝑥 sen 𝑥. E temos dois 𝜋 vezes sen de dois 𝜋. Deveríamos saber que o sen de dois 𝜋 é igual a zero. Assim, 𝑓 de dois 𝜋 é dois 𝜋 vezes zero que é apenas zero.

Agora, 𝑓 linha de 𝑎 exigirá um pouco mais de trabalho. Encontraremos a derivada de nossa função. Essa é a derivada de 𝑥 sen 𝑥 em relação a 𝑥, notando que temos uma função que é ela própria o produto de duas funções deriváveis. Portanto, usaremos a regra do produto. Isto diz que, para duas funções deriváveis ​​𝑢 e 𝑣, a derivada de seu produto é 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 mais 𝑣 vezes d𝑢 por d𝑥. Para nossa função, deixaremos 𝑢 ser igual a 𝑥 e 𝑣 ser igual a sen 𝑥.

Precisamos derivar cada um deles em relação a 𝑥. d𝑢 por d𝑥 é um. E aqui, lembramos que a derivada do sen 𝑥 em relação a 𝑥 é cos de 𝑥. E os substituímos em nossa fórmula pela regra do produto. E vemos que a derivada 𝑓 linha de 𝑥 é igual a 𝑥 vezes cos de 𝑥 mais sen 𝑥 vezes um. Isso é 𝑥 cos 𝑥 mais sen 𝑥. Para encontrar 𝑓 linha de dois 𝜋, calcularemos isso quando 𝑥 for igual a dois 𝜋. Isso dá dois 𝜋 vezes cos de dois 𝜋 mais sen de dois 𝜋. Já dissemos que o sen de dois 𝜋 é zero. E cos de dois 𝜋 é um. Assim, 𝑓 linha de dois 𝜋 é dois 𝜋 vezes um mais zero, que é simplesmente dois 𝜋.

Vamos substituir tudo o que temos agora na fórmula de aproximação da reta tangente. 𝑓 de 𝑎 é zero. 𝑓 linha de 𝑎 é dois 𝜋. E 𝑥 menos 𝑎 é 𝑥 menos dois 𝜋. Distribuímos nossos parênteses. E vemos que a aproximação linear de nossa função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 sen 𝑥 em 𝑥 é igual a dois 𝜋 é dois 𝜋𝑥 menos quatro 𝜋 ao quadrado. Nos próximos dois exemplos, veremos como podemos usar a aproximação linear de uma função para aproximar valores.

Ao encontrar a aproximação linear da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 à potência de quatro com um valor adequado de 𝑥, estime o valor de 1.999 à potência de quatro.

Somos instruídos a usar a aproximação linear da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 à potência de quatro. Então começamos encontrando a aproximação linear, às vezes chamada de aproximação da reta tangente. Isto diz que se 𝑓 é derivável em algum ponto 𝑥 igual a 𝑎, então a equação que pode ser usada para encontrar uma aproximação linear para a função em 𝑥 igual a 𝑎 é 𝑓 de 𝑎 mais 𝑓 linha de 𝑎 vezes 𝑥 menos 𝑎. Neste exemplo, tentaremos aproximar o valor de 1999 à potência de quatro. Isso vai ter um valor muito próximo de dois à potência de quatro.

Portanto, em nossa aproximação linear, 𝑎 será igual a dois. Isso significa que 𝑓 de 𝑎 se torna 𝑓 de dois. E substituímos 𝑥 é igual a dois em nossa função para obter dois à potência de quatro, que é 16. Em seguida, encontramos 𝑓 linha de 𝑎. Primeiro, é claro, precisaremos encontrar uma expressão para a derivada de 𝑥 à potência de quatro. Então começamos derivando 𝑥 elevado a quatro em relação a 𝑥. E nós temos quatro 𝑥 ao cubo. Isso agora significa que 𝑓 linha de 𝑎 se torna 𝑓 linha de dois, que se torna quatro vezes dois ao cubo. Dois ao cubo são oito. Então isso é quatro vezes oito, que é 32.

Substituímos tudo o que temos agora em nossa fórmula de aproximação de reta tangente. E obtemos 𝑙 de 𝑥 igual a 16 mais 32 vezes 𝑥 menos dois. E quando distribuímos nossos parênteses, vemos que 𝑙 de 𝑥 é igual a 32𝑥 menos 48. Podemos usar isso para aproximar o valor de 1.999 à potência de quatro. Precisamos substituir 𝑥 igual a 1.999. E quando o fazemos, temos 32 vezes 1.999 menos 48, que é 15.968. Uma estimativa para o valor de 1.999 à potência de quatro é, portanto, 15.968. Agora, se digitarmos 1.999 elevado a quatro em nossa calculadora, obteremos 15.96802399 e assim por diante. Então, podemos ver que essa é uma estimativa muito boa. E isso porque 1.999 é bastante próximo de dois. Como usamos isso para calcular, digamos, 2.3 elevado a quatro? Nossa resposta pode ter sido um pouco mais adiante.

Ao encontrar a aproximação linear da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 à potência de 𝑥 com um valor adequado de 𝑥, estime o valor de 𝑒 elevado a 0.1.

É-nos dito para usar a aproximação linear da função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥. Então, lembramos a fórmula. Se 𝑓 é derivável em 𝑥 igual a 𝑎, então a equação que pode ser usada para encontrar a aproximação linear da função em 𝑥 é igual a 𝑎 é 𝑙 de 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑎 mais 𝑓 linha de 𝑎 vezes 𝑥 menos 𝑎. Neste exemplo, estamos tentando aproximar o valor de 𝑒 à potência de 0.1. Isso vai se aproximar do valor de 𝑒 à potência de zero. Então, temos 𝑎 igual a zero. Isso significa que 𝑓 de 𝑎 é igual a 𝑓 de zero. E substituir zero em nossa função 𝑓 de 𝑥 é igual 𝑒 elevado a 𝑥 dá 𝑒 elevado a zero que é um.

Em seguida, encontramos 𝑓 linha de 𝑎. Primeiro, é claro, precisamos encontrar uma expressão para a derivada de nossa função. Portanto, derivamos 𝑒 elevado a 𝑥 em relação a 𝑥. A primeira derivada de 𝑒 elevado a 𝑥 é 𝑒 elevado a 𝑥. Assim, 𝑓 linha de 𝑎 se torna 𝑓 linha de zero, que é 𝑒 elevado a zero. E mais uma vez, isso é um. Substituindo o que sabemos em nossa fórmula por nossa aproximação da reta tangente e vemos que 𝑙 de 𝑥 é igual a um mais um vezes 𝑥 menos zero. E isso simplifica para 𝑥 mais um.

Usaremos isso para aproximar o valor de 𝑒 elevado a 0.1, encontrando 𝑙 de 0.1. Isso é 0.1 mais um que é 1.1. E uma estimativa para o valor de 𝑒 elevado a 0.1 é 1.1. E se digitarmos isso em nossa calculadora, 𝑒 elevado a 0.1 é 1.10517 e assim por diante. Isso é muito próximo em valor à nossa estimativa. E isso porque 0.1 é praticamente próximo de zero. Se tivéssemos tentado o valor maior, nosso número poderia não ter sido tão preciso. Vamos verificar isso.

Por exemplo, 𝑙 de 0.3 é 0.3 mais um. Portanto, de acordo com nossa aproximação, 𝑒 elevado a 0.3 é aproximadamente 1.3. Digitando 𝑒 elevado a 0.3 em nossa calculadora e obtemos 1.349858808, ainda não é uma aproximação ruim, mas não é tão próximo quanto 𝑒 elevado a 0.1. Neste vídeo, aprendemos que podemos usar derivadas para encontrar uma aproximação da reta tangente que pode ser usada para aproximar uma função perto de um determinado valor. Se 𝑓 é derivável em 𝑥 igual a 𝑎, então a equação que pode ser usada para encontrar uma aproximação linear para a função nesse ponto é 𝑙 de 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑎 mais 𝑓 linha de 𝑎 vezes 𝑥 menos 𝑎. Também vimos que quanto mais próximo o valor de 𝑥 for do valor de 𝑎, mais precisas serão as aproximações.

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