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Vídeo da aula: Ângulos Orientados

Neste vídeo, aprenderemos como identificar e medir ângulos orientados e determinar os seus ângulos equivalentes.

13:22

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como identificar, medir e descrever ângulos orientados e determinar os seus ângulos equivalentes.

Antes de começarmos, porém, vamos relembrar apenas alguns factos. A primeira é a regra para medir ângulos em torno de um ponto. Os ângulos em torno de um ponto somam 360 graus. Por outras palavras, uma volta completa perfaz 360 graus. Também podemos estar mais acostumados a medir ângulos utilizando graus, como uma volta completa, como vimos, 360. Embora não seja um pré-requisito para visualizar este vídeo, também é importante notar que podemos medir ângulos utilizando radianos, onde uma volta completa, 360 graus, é igual a dois 𝜋 radianos. Divida por dois, e descobrimos que 𝜋 radianos é igual a 180 graus.

Mas este vídeo é sobre ângulos orientados. Então, o que é que isto significa? Bem, colocado de forma simples, um ângulo orientado é aquele que tem uma orientação. Se o ângulo for medido em sentido anti-horário, dizemos que o ângulo é positivo. E se for medido em sentido horário, o ângulo é considerado negativo. Por exemplo, vamos considerar os raios 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵. Vemos que têm a mesma origem. O ângulo orientado aqui entre as semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵 é positivo, e isto porque o medimos em sentido anti-horário. Se o medirmos em sentido horário, como se mostra, o ângulo é considerado negativo. 𝑂𝐴 é dito ser o lado origem do ângulo; por outras palavras, é onde começamos. E a seguir, 𝑂𝐵 é o lado extremidade; é aí que o ângulo termina.

Agora, uma vez que podemos continuar a mover-nos em qualquer sentido pelo tempo que quisermos, segue-se que existem infinitas determinações do mesmo ângulo. Vamos ver o que realmente queremos dizer com isto.

Determine o menor equivalente positivo de 788 graus.

Vamos imaginar que o ângulo orientado de 788 graus é o ângulo entre duas semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵. 𝑂𝐴 é o lado origem. É aí que vamos começar a medir o ângulo. E 𝑂𝐵 é o lado extremidade. Agora, 788 graus é positivo, então vamos medir o ângulo entre estas duas semirretas em sentido anti-horário. Sabemos que uma volta completa é igual a 360 graus. Portanto, como 788 é maior do que 360, precisaremos de fazer pelo menos uma volta completa para chegar a este ângulo. 360 graus em sentido anti-horário leva-nos de volta à semirreta 𝑂𝐴.

Vamos ver o que acontece quando completamos outra volta completa. São outros 360 graus. 360 mais 360 é720. Mas é claro, queremos chegar a 788. Então, vamos determinar a diferença entre 788 e 720. Isto dir-nos-á quanto mais precisamos de avançar. 788 menos 720 é 68. E assim, precisamos de avançar mais 68 graus em sentido anti-horário. O menor equivalente positivo de 788 graus, então, é 68 graus positivos.

Vamos agora realizar um exemplo semelhante, desta vez procurando equivalentes positivos de um ângulo negativo.

Determine o menor equivalente positivo de menos 40 graus.

Vamos imaginar que o ângulo orientado menos 40 graus é o ângulo entre as semirretas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵. Sabemos que um ângulo negativo indica que medimos do lado origem 𝑂𝐴 ao lado extremidade 𝑂𝐵 em sentido horário. E assim, o ângulo, os 40 graus, será algo parecido com isto. Queremos determinar o menor equivalente positivo de menos 40 graus. E assim, vamos medir este mesmo ângulo, mas no outro sentido.

O ângulo positivo indica que medimos em sentido anti-horário. Então, por outras palavras, estamos à procura deste ângulo aqui. Para determinar o valor deste ângulo, lembramos que os ângulos em torno de um ponto somam 360 graus. E assim, um equivalente positivo de menos 40 graus é determinado subtraindo 40 de 360. 360 menos 40 é 320 graus. Então, este ângulo aqui é de 320. O menor equivalente positivo de menos 40 graus, então, é 320 graus.

Agora, na verdade, há um nome especial para os ângulos orientados de 320 graus e de menos 40 graus. São chamados de coterminais. Estes são ângulos que partilham o mesmo lado origem e o mesmo lado extremidade. E assim, esta é uma definição realmente importante. Os ângulos coterminais partilham os mesmos lados origem e extremidade. Mas, é claro, também vimos que podemos determinar um ângulo coterminal adicionando ou subtraindo múltiplos de 360 graus ou dois 𝜋 radianos, dependendo se o ângulo original está em graus ou radianos.

Agora, veremos um exemplo de como determinar um ângulo coterminal positivo e negativo quando o ângulo original é dado em radianos.

Determine um ângulo com amplitude positiva e um ângulo com amplitude negativa que são coterminais a um ângulo com amplitude dois 𝜋 sobre três.

Vamos considerar o nosso ângulo com amplitude dois 𝜋 sobre três radianos. Agora, se geralmente não está confiante com radianos, não se preocupe muito. 𝜋 radianos é 180 graus; é meia volta. Então, dois 𝜋 sobre três são dois terços disto. Vamos desenhar o lado origem deste ângulo. E como é positivo, mediremos em sentido anti-horário. E assim, o lado extremidade provavelmente estará algures por aqui. A seguir, recordamos o que significa dois ângulos serem coterminais. Os ângulos coterminais são ângulos que partilham os mesmos lados origem e extremidade.

Então, essencialmente, queremos determinar maneiras alternativas de escrever exatamente o mesmo ângulo. Se quisermos determinar, então, um ângulo com medida positiva, precisaremos de continuar em sentido anti-horário. De facto, precisaremos de completar uma volta completa para voltar a este lado extremidade, onde uma volta completa é igual a dois 𝜋 radianos. Portanto, o ângulo coterminal positivo será o equivalente a adicionar dois 𝜋 sobre três radianos e dois 𝜋 radianos. Podemos reescrever, é claro, dois 𝜋 como seis 𝜋 sobre três. E o objetivo de fazer isto é garantir que tenhamos um par de denominadores equivalentes. E assim que o fizermos, podemos adicionar os numeradores. Dois mais seis é oito. Então, dois 𝜋 sobre três mais seis 𝜋 sobre três é oito 𝜋 sobre três radianos. E assim, temos o nosso ângulo com amplitude positiva.

E o ângulo com amplitude negativa? Bem, um ângulo com amplitude negativa é medido em sentido horário. Começamos no mesmo lado origem, mas avançamos em sentido oposto para chegar ao lado extremidade. Como a volta completa é de dois 𝜋 radianos, para determinar a amplitude deste ângulo, vamos subtrair dois 𝜋 sobre três de dois 𝜋. Mais uma vez, se reescrevermos dois 𝜋 como seis 𝜋 sobre três, podemos subtrair os numeradores. Seis 𝜋 menos dois 𝜋 é quatro 𝜋. E assim, a amplitude do ângulo negativo será quatro 𝜋 sobre três. E nós, portanto, dizemos que os nossos dois ângulos são oito 𝜋 sobre três e menos quatro 𝜋 sobre três.

Agora, representamos isto com um diagrama, o que realmente nos ajudou a descobrir o que estava a acontecer. Mas lembre-se, quando definimos um ângulo coterminal, dissemos que podemos simplesmente adicionar ou subtrair 360 graus ou dois 𝜋 ao nosso ângulo original para determinar ângulos coterminais. E assim, uma maneira alternativa de determinar o ângulo negativo será subtrair dois 𝜋 de dois 𝜋 sobre três. Qualquer uma das formas é completamente aceitável, desde que tenhamos a certeza de representar o nosso ângulo como negativo no final.

Agora vamos passar para outra definição. A definição em que estamos interessados é a do ângulo principal. Já vimos que existem infinitas determinações do mesmo ângulo. O ângulo principal é o ângulo anti-horário entre o lado origem e o lado extremidade que tem um valor no intervalo fechado de zero a 360, se estivermos interessados em graus, ou zero radianos e dois 𝜋 radianos. Por outras palavras, se 𝜃 é o nosso ângulo terminal, 𝜃 pode ser maior ou igual a zero graus e menor ou igual a 360 graus ou 𝜃 pode ser maior ou igual a zero e menor ou igual a dois 𝜋. Vejamos uma aplicação desta ideia.

Dado o ângulo de 273𝜋 sobre três, determine o ângulo principal.

Sabemos que o ângulo principal é medido em sentido anti-horário entre o lado origem e o lado extremidade e deve ter um valor entre zero e dois 𝜋 radianos. Portanto, o nosso trabalho é determinar o ângulo coterminal de 273𝜋 sobre três, que tem uma amplitude positiva e fica nesse intervalo. Antes de prosseguirmos, vamos ver se podemos simplificar um pouco esta fração. 273 dividido por três é 91. Portanto, o ângulo é equivalente a 91𝜋 radianos. Agora, é claro, sabemos que uma volta completa é igual a dois 𝜋 radianos. Então, essencialmente, precisamos de nos perguntar: quantas voltas completas podemos dar?

Para descobrir, vamos dividir 91𝜋 por dois 𝜋. Quando o fazemos, simplificamos a fração dividindo o numerador e o denominador por 𝜋. E então, 91 dividido por dois é 45.5. Por outras palavras, podemos fazer 45 voltas completas mais 0.5 de volta ou meia volta. Mas, é claro, metade de uma volta é 𝜋 radianos. E assim, o ângulo principal deve ser de 𝜋 radianos.

No nosso exemplo final, veremos esta ideia em relação a um ângulo negativo.

Dado o ângulo de menos 23𝜋 sobre cinco, determine o ângulo principal.

Sabemos que o ângulo principal é o ângulo positivo, então é medido em sentido anti-horário e tem um valor no intervalo fechado de zero a dois 𝜋 radianos. E assim, o nosso trabalho é determinar o ângulo coterminal negativo de 23𝜋 sobre cinco, que tem uma medida positiva e fica neste intervalo. Então, vamos perguntar-nos: como é que menos 23𝜋 em cinco radianos realmente se parecem? É negativo, então será medido em sentido horário. E 23 sobre cinco é equivalente a quatro e três quintos. E sabemos que uma volta completa equivale a dois 𝜋 radianos. Então, vamos completar duas voltas completas e outros três quintos 𝜋 radianos.

Então, aqui está uma volta completa para dois 𝜋 radianos. Em seguida, completamos uma segunda volta completa, e isto leva-nos a quatro 𝜋 radianos. E então, temos três quintos, que é um pouco mais de metade. E assim, um ângulo que mede três quintos 𝜋 radianos será algo parecido com isto. Agora, é claro, três quintos 𝜋 está entre zero e dois 𝜋. Mas como estamos a medir em sentido horário, é na verdade negativo.

Para determinar o ângulo que é coterminal a este e positivo, vamos medir do lado origem ao lado extremidade em sentido anti-horário assim. E assim, o tamanho deste ângulo é determinado subtraindo três 𝜋 sobre cinco de dois 𝜋. Ao escrever estes números com o mesmo denominador, poderemos escrever isto como 10𝜋 sobre cinco e depois subtrair os seus numeradores para obter sete 𝜋 sobre cinco. E assim, dado um ângulo de menos 23𝜋 sobre cinco, o ângulo principal é de sete 𝜋 sobre cinco.

Agora vamos recapitular os pontos principais desta aula. Nesta aula, aprendemos que um ângulo orientado é aquele que recebe uma orientação. Um ângulo medido em sentido anti-horário é dito ser positivo, enquanto um ângulo medido em sentido horário é negativo. Aprendemos que havia infinitas determinações do mesmo ângulo, e estas são designdas por coterminais. Os ângulos coterminais partilham o mesmo lado origem e o mesmo lado extremidade. E, finalmente, isto levou-nos à definição do ângulo principal. Este é o ângulo em sentido anti-horário entre o lado origem e o lado extremidade. E tem um valor no intervalo fechado de zero graus a 360 graus ou de zero radianos a dois 𝜋 radianos.

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