Vídeo: Encontrando o Conjunto de Zeros de uma Função Cúbica

Encontre o conjunto de zeros da função 𝑓(𝑥) = 7𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 6).

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Transcrição do vídeo

Encontre o conjunto de zeros da função 𝑓 de 𝑥 igual a sete 𝑥 vezes 𝑥 menos um vezes 𝑥 mais seis.

Então, primeiro de tudo, o que queremos dizer com o conjunto de zeros da função? Bem, os zeros da função 𝑓 de 𝑥 são os valores de 𝑥 para os quais 𝑓 de 𝑥 é igual a zero. Então, para encontrar o conjunto de zeros da função, precisamos resolver 𝑓 de 𝑥 igual a zero e, em seguida, colocar essas soluções em um conjunto. Então escrevemos 𝑓 de 𝑥 igual a zero, a equação que queremos resolver. Nós usamos a definição de 𝑓 de 𝑥, então temos que sete 𝑥 vezes 𝑥 menos um vezes 𝑥 mais seis é igual a zero. E nos foi dado que o produto desses três fatores, sete 𝑥, 𝑥 menos um, e 𝑥 mais seis é igual a zero. E a única maneira que isso pode acontecer é se um desses fatores em si é igual a zero. Então, ou sete 𝑥 é igual a zero ou 𝑥 menos um é igual a zero ou 𝑥 mais seis é igual a zero.

A lei ou propriedade que nos permite dizer que um dos fatores deve ser zero é chamada de propriedade do produto zero. De qualquer forma, no lugar de uma equação difícil, agora temos três equações simples que podemos resolver individualmente. Para a primeira equação, que sete 𝑥 igual a zero, nós dividimos por sete em ambos os lados. E assim achamos que, nesse caso, 𝑥 é igual a zero.

Agora olhamos para a segunda equação, 𝑥 menos um é igual a zero, e adicionamos um a ambos os lados para obter que 𝑥 é igual a um. E subtraímos seis dos dois lados da nossa equação final para obter que 𝑥 é igual a menos seis. Olhando para trás, para a equação que queremos resolver, sete 𝑥 vezes 𝑥 menos um vezes 𝑥 mais seis igual a zero, podemos ver que, quando 𝑥 é zero, o primeiro fator do lado esquerdo, sete 𝑥, é igual a zero. E assim toda a expressão do lado esquerdo é igual a zero. Quando 𝑥 é igual a um, o segundo fator do lado esquerdo será igual a zero e, portanto, toda a expressão do lado esquerdo será igual a zero. E quando 𝑥 é igual a menos seis, o terceiro fator do lado esquerdo, 𝑥 mais seis, será igual a zero, e assim toda a expressão do lado esquerdo será igual a zero. Os zeros da função são, portanto, zero, um e menos seis. Estes são os três valores que fazem a função zero. E nós queremos o conjunto de zeros, então precisamos colocar esses valores em um conjunto. Claro, a ordem em que eles são colocados nesse conjunto não importa.

O conjunto de zeros da nossa função é, portanto, o conjunto contendo zero, menos seis e um.

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