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Vídeo da aula: Resolvendo equações exponenciais utilizando propriedades das potências Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como resolver equações exponenciais utilizando as propriedades das potências.

17:04

Transcrição do vídeo

Nesta aula, aprenderemos como resolver equações exponenciais utilizando as propriedades das potências. Estamos particularmente interessados nas regras para trabalhar com potências ao determinar o produto, o quociente ou a potência, além de como calculamos expoentes zero, negativos e fracionários. Então, vamos recordar isto primeiro. A primeira regra é a regra para multiplicar números por expoentes. Observe que isto só funciona se a base, que é o número grande que aqui é o 𝑥, for igual. Se for este o caso, quando multiplicamos estes termos, adicionamos os seus expoentes. Então, 𝑥 elevado a 𝑎 vezes 𝑥 elevado a 𝑏 é 𝑥 elevado a 𝑎 mais 𝑏.

De forma semelhante, se dividirmos estes tipos de números, subtrairemos os seus expoentes. 𝑥 elevado a 𝑎 dividido por 𝑥 elevado a 𝑏 é 𝑥 elevado a 𝑎 menos 𝑏. Quando estamos a trabalhar com parênteses, ou seja, estamos a elevar um termo com expoente a outro expoente, multiplicamo-los. Então, 𝑥 elevado a 𝑎 elevado a 𝑏 é o mesmo que 𝑥 elevado a 𝑎 vezes 𝑏. Também podemos lembrar que qualquer coisa elevada a zero é um. Um expoente negativo diz-nos para determinar o inverso, então 𝑥 elevado a menos 𝑎 é um sobre 𝑥 elevado a 𝑎. E uma potência fracionária diz-nos para determinar uma raiz, então 𝑥 elevado a um sobre 𝑎 é igual à raiz índice 𝑎 de 𝑥.

Agora, nesta aula, vamos utilizar estas regras para resolver equações que envolvem expoentes. E a melhor maneira de ver como isto pode parecer é considerar um exemplo.

Dado que dois elevado a 𝑥 é igual a 32, determine o valor de 𝑥.

Aqui temos uma equação que envolve um expoente que é uma variável. O expoente aqui é igual a 𝑥. Agora, geralmente, para resolver uma equação, procuramos realizar uma série de operações inversas, mas o inverso de determinar a 𝑥-ésima potência é determinar a raiz índice 𝑥, o que realmente não nos ajuda muito. Em vez disso, vale a pena notar que 32 pode ser escrito como uma potência de dois. Na verdade, sabemos que dois elevado a cinco é igual a 32. E isto significa que podemos reescrever a nossa equação como dois elevado a 𝑥 é igual a dois elevado a cinco.

Então, como é que isto ajuda? Bem, agora a base - que é o número grande; aqui é dois - é a mesma. E assim podemos dizer que para esta equação fazer sentido, os expoentes também devem ser iguais. Ou seja, 𝑥 é igual a cinco. Agora, sempre que estamos a resolver equações, faz sempre sentido verificar a nossa resposta, substituindo-a de volta na equação original. Seja 𝑥 igual a cinco. E, em seguida, dois elevado a 𝑥 torna-se dois elevado a cinco, o que é realmente igual a 32. E assim, dado que dois elevado a 𝑥 é igual a 32, 𝑥 deve ser igual a cinco.

Portanto, este é um exemplo bastante direto de como resolver equações exponenciais. O que vamos fazer a seguir é incorporar algumas das regras das potências num exemplo.

Dado que oito elevado a 𝑦 é igual a quatro elevado a 𝑧 que é igual a 64, determine o valor de 𝑦 mais 𝑧.

Portanto, esta é uma equação de aparência bastante incomum porque tem três partes. Agora, a chave para responder a este problema é identificar que cada uma das partes numéricas da nossa equação pode ser escrita como uma potência de um número comum. Na verdade, podem ser escritas como dois elevado a algo. As primeiras potências de dois são apresentadas. Sabemos que dois ao quadrado é quatro, dois ao cubo é oito, até dois elevado a seis é igual a 64. Então, vamos substituir cada parte numérica da nossa equação com a sua potência de dois associada. Oito é dois ao cubo. Então, oito elevado a 𝑦 é dois ao cubo elevado a 𝑦. Então, quatro é dois ao quadrado, então quatro elevado a 𝑧 é dois ao quadrado elevado a 𝑧. E, finalmente, 64 é dois elevado a seis.

Mas como é que isto nos ajuda? Bem, se nos lembrarmos de uma regra para trabalhar com potências de expoentes, sabemos que 𝑥 elevado a 𝑎 elevado a 𝑏 é igual a 𝑥 elevado a 𝑎 vezes 𝑏. Aqui, multiplicamos os expoentes. E assim, dois ao cubo elevado a 𝑦 pode ser escrito como dois elevado a três vezes 𝑦 ou apenas dois elevado a três 𝑦. E então, dois ao quadrado elevado a 𝑧 é o mesmo que dois elevado a dois 𝑧. E assim, a nossa equação é agora dois elevado a três 𝑦 igual a dois elevado a dois 𝑧 que é igual a dois elevado a seis.

Agora que a base, que é o número grande que aqui é dois, é a mesma, podemos dizer que para esta equação fazer sentido, os próprios expoentes também devem ser iguais. Por outras palavras, três 𝑦 deve ser igual a dois 𝑧, que por sua vez deve ser igual a seis. Agora, podemos realmente dividir esta equação para determinar individualmente o valor de 𝑦 e 𝑧. Vamos começar por igualar três 𝑦 a seis. Três 𝑦 é igual a seis. E assim resolveremos esta equação para 𝑦 dividindo ambos os membros por três. Três 𝑦 dividido por três é 𝑦, e seis dividido por três é dois. Então podemos dizer que 𝑦 deve ser igual a dois.

Da mesma forma, podemos igualar as outras duas partes da equação. Podemos dizer que dois 𝑧 é igual a seis. E a seguir, para resolver em ordem a 𝑧, dividimos simplesmente por dois. Dois 𝑧 dividido por dois é 𝑧 e seis dividido por dois é três. Então, determinámos que 𝑦 é igual a dois e 𝑧 é igual a três. Isto não é suficiente, no entanto. Precisávamos de determinar o valor de 𝑦 mais 𝑧. Bem, agora podemos dizer que deve ser igual a dois mais três, o que é obviamente igual a cinco. E assim, dadas as restrições da nossa equação, podemos dizer que 𝑦 mais 𝑧 deve ser igual a cinco.

Agora vamos considerar como determinar o conjunto-solução de uma equação exponencial quando os expoentes são binómios.

Determine o valor de 𝑥 para o qual oito elevado a 𝑥 mais dois é igual a dois elevado a 𝑥 mais quatro. Indique a sua resposta arredondada às décimas.

Aqui temos uma equação que é composta por duas potências, mas onde os expoentes são binomiais; têm dois termos neles. E, de facto, a chave para responder a este problema é identificar que cada uma das bases da nossa equação - este é o número grande, então oito e dois - pode ser escrita como uma potência de um número comum. Na verdade, se lembrarmos que dois ao cubo é igual a oito, podemos reescrever a base no primeiro membro como dois ao cubo. Então, vamos ver como é. Temos oito elevado a 𝑥 mais dois é igual a dois ao cubo elevado a 𝑥 mais dois. E isto é realmente muito útil porque sabemos que podemos multiplicar os expoentes agora.

Lembramos que 𝑥 elevado a 𝑎 elevado a 𝑏 é 𝑥 elevado a 𝑎 vezes 𝑏. E assim isto torna-se dois elevado a três vezes 𝑥 mais dois. Vamos substituir esta expressão na nossa equação anterior. Quando o fazemos, descobrimos que dois elevado a três vezes 𝑥 mais dois é igual a dois elevado a 𝑥 mais quatro. Então, como é que isto ajuda? Bem, agora que a base é a mesma em ambos os membros - é dois - podemos dizer que para a equação fazer sentido, os próprios expoentes também devem ser iguais. Ou seja, três vezes 𝑥 mais dois é igual a 𝑥 mais quatro.

Para resolver esta equação para 𝑥, vamos começar por distribuir os parênteses no primeiro membro. E fazemos isto certificando-nos de que multiplicamos três pelo 𝑥 e depois três pelo dois. Três vezes 𝑥 é três 𝑥 e três vezes dois é seis. Então, a nossa equação é três 𝑥 mais seis igual a 𝑥 mais quatro. Como estamos à procura de isolar o 𝑥, vamos começar por subtrair o número menor 𝑥. Então, vamos subtrair 𝑥 de ambos os membros. Três 𝑥 menos 𝑥 é dois 𝑥 e 𝑥 menos 𝑥 é zero. Portanto, a nossa equação torna-se dois 𝑥 mais seis igual a quatro. Em seguida, subtraímos seis de ambos os membros. Dois 𝑥 mais seis menos seis é dois 𝑥 e quatro menos seis é menos dois.

A nossa etapa final para resolver 𝑥 é dividir por dois. E quando o fazemos, descobrimos que 𝑥 é igual a menos um. Agora, é claro, menos um é uma solução inteira, então não precisamos de fazer nenhum arredondamento, apesar do facto de nos dizerem isso na questão. O que podemos fazer, no entanto, é verificar se a nossa solução está definitivamente correta, substituindo-a de novo na equação original. Oito elevado a 𝑥 mais dois torna-se oito elevado a menos um mais dois. Isto é oito elevado a um, que é oito. Então, dois elevado a 𝑥 mais quatro torna-se dois elevado a menos um mais quatro. É dois ao cubo, que também é igual a oito. E como estas expressões são iguais, podemos dizer que a nossa resposta está correta. 𝑥 é igual a menos um.

No próximo exemplo, veremos como resolver uma equação exponencial que envolve um módulo.

Determine o conjunto-solução de dois elevado a oito 𝑥 menos 12 igual a oito elevado a quatro 𝑥 menos quatro.

A chave para resolver esta equação é identificar que podemos reescrever oito como dois ao cubo, criando assim uma equação em que as bases são iguais. Com a expressão que temos no segundo membro, se substituirmos oito por dois ao cubo, obteremos dois ao cubo elevado a quatro 𝑥 menos quatro. Mas então, é claro, uma das nossas regras para trabalhar com expoentes pode ajudar-nos a simplificar isto. Sabemos que 𝑥 elevado a 𝑎 elevado a 𝑏 é o mesmo que 𝑥 elevado a 𝑎 vezes 𝑏. Quando estamos a lidar com parênteses, podemos multiplicar os expoentes e, portanto, podemos reescrever isto como dois elevado a três vezes quatro 𝑥 menos quatro.

E assim, a nossa equação original pode ser reescrita como dois elevado a oito 𝑥 menos 12 igual a dois elevado a três vezes quatro 𝑥 menos quatro. Agora, isto é realmente útil porque agora que as bases são as mesmas - são dois em ambos os membros - podemos dizer que para esta equação fazer sentido, para que tudo seja igual, os seus expoentes devem ser iguais. Ou seja, o módulo de oito 𝑥 menos 12 deve ser igual a três vezes quatro 𝑥 menos quatro.

Vamos distribuir estes parênteses multiplicando cada termo dentro dos parênteses pelos três do lado de fora. E quando o fazemos, obtemos 12𝑥 menos 12. Então, como resolvemos uma equação com módulo? Bem, sabemos que o símbolo de módulo aceita qualquer entrada negativa e torna-a essencialmente positiva. E assim, o que fazemos é mudar o sinal do qual o nosso módulo é igual. Então, dizemos que oito 𝑥 menos 12 é igual a 12𝑥 menos 12 ou oito 𝑥 menos 12 é igual ao negativo de 12𝑥 menos 12.

Agora, é claro, se distribuirmos os parênteses no segundo membro, obteremos menos 12𝑥 mais 12. Então, vamos resolver as duas equações. Com a nossa primeira equação, vamos subtrair oito 𝑥 de ambos os membros e obter menos 12 igual a quatro 𝑥 menos 12. Em seguida, adicionamos 12 a ambos os membros. E quando o fazemos, obtemos zero igual a quatro 𝑥. Bem, a única maneira de ser assim é se 𝑥 for igual a zero. Então, esta é uma potencial solução. Vamos resolver a segunda equação. Com a nossa segunda equação, vamos começar por adicionar 12𝑥 a ambos os membros, então obtemos 20𝑥 menos 12 igual a 12. Em seguida, adicionamos 12 a ambos os membros e obtemos 20𝑥 igual a 24. E a seguir, dividimos por 20 e descobrimos que 𝑥 é igual a 24 sobre 20, o que simplifica para seis quintos.

O que vamos fazer para verificar estas duas soluções é substituí-las de novo na nossa equação original e verificar se ambas realmente funcionam. Se substituirmos zero na nossa equação original, o primeiro membro torna-se dois elevado a menos 12 e o segundo torna-se oito elevado a menos quatro. Então, o módulo de menos 12 é simplesmente 12, e oito elevado a menos quatro é um sobre oito elevado a quatro. Agora, se realmente calcularmos estes, descobrimos que dois elevado a doze é 4096. E, em seguida, o segundo membro torna-se um sobre 4096. Agora, podemos ver que estes não são iguais um ao outro. E assim, na verdade, a solução 𝑥 igual a zero não funciona. Então, vamos desconsiderar esta solução.

Vamos repetir este processo com o segundo valor de 𝑥. No primeiro membro, obtemos dois elevado a menos 2.4, e isto deve ser igual a oito elevado a 0.8. Mas é claro que o módulo de menos 2.4 é apenas 2.4. Então, vamos avaliar os dois membros. Quando o fazemos, descobrimos que ambos são iguais a aproximadamente 5.27, portanto, esta solução funciona. Agora, é claro, outra maneira de verificar isto será reescrever dois elevado a 2.4 como dois ao cubo elevado a 0.8. E isto porque três vezes 0.8 é 2.4. Então sabemos que dois ao cubo é oito. Então, na verdade, estamos dizendo que oito elevado a 0.8 é igual a oito elevado a 0.8.

Agora, é claro, a questão estava a pedir-nos para determinar o conjunto-solução da nossa equação. E quando há apenas um valor, podemos utilizar este tipo de parênteses ondulado para nos ajudar. O conjunto-solução é o conjunto que contém o elemento seis quintos.

No nosso exemplo final, veremos como um pouco de observação nos pode ajudar a resolver equações exponenciais mais complicadas.

Determine o conjunto-solução de 𝑥 ao quadrado menos 64 igual a seis elevado a 𝑥 ao quadrado menos 64.

Agora, vamos começar por observar que os expoentes em cada lado da nossa equação são de facto iguais. E assim, para ambos os membros da nossa equação serem iguais, um valor de 𝑥 seria quando as bases, os números grandes, fossem iguais. Por outras palavras, se tivermos 𝑥 igual a seis, ambos os membros da nossa equação serão idênticos, então esta é uma solução. Mas existem outras opções? Bem, outra maneira de garantir que os dois membros da nossa equação sejam iguais é ter potência zero, pois qualquer coisa elevada a zero é um. E então, o que poderemos fazer é dizer que o expoente 𝑥 ao quadrado menos 64 é igual a zero.

Vamos resolver 𝑥 adicionando 64 a ambos os membros para nos dar 𝑥 ao quadrado igual a 64. E, finalmente, calculamos a raiz quadrada de ambos os membros, lembrando-nos, é claro, de obter mais ou menos a raiz quadrada de 64. Mas como a raiz quadrada de 64 é oito, podemos dizer que as soluções desta equação são 𝑥 igual a menos ou mais oito. E assim, até agora, temos três valores possíveis de 𝑥. Mas, na verdade, há mais um. E esta solução é 𝑥 igual a seis. Então, por que é que 𝑥 igual a menos seis funciona?

Bem, imagine 𝑥 igual a menos seis. Quando é, o expoente torna-se menos seis ao quadrado menos 64, que é menos 28. E sabemos que se 𝑎 é um número par, o menos 𝑥 elevado a 𝑎 é igual a 𝑥 elevado a 𝑎. E assim, o primeiro membro é menos seis elevado a menos 28. Mas como menos 28 é par, isto é o mesmo que seis elevado a menos 28, que é o que temos no segundo membro. E assim, 𝑥 igual a menos seis também deve ser uma solução. Agora, é claro, escolhemos apenas menos seis porque queremos corresponder as bases. Não seguiríamos em frente e escolheríamos qualquer valor de 𝑥 que tornasse os expoentes iguais. Só funciona para menos seis.

E assim podemos dizer que o conjunto-solução para a nossa equação é o conjunto que contém os elementos seis, menos seis, oito e menos oito.

Neste vídeo, aprendemos que podemos utilizar as regras das potências para nos ajudar a resolver equações exponenciais. Vimos que, se pudermos criar uma base comum utilizando estas regras das potências, podemos igualar os próprios expoentes e resolver normalmente. Vimos que devemos sempre verificar se todas as respostas dadas são realmente válidas, substituindo-as de novo na equação original e que, se estamos a trabalhar com bases negativas, devemos ter cuidado com quaisquer expoentes pares possíveis que criariam soluções extra.

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