Lesson Video: Argumento de um Número Complexo

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Neste vídeo, vamos aprender como calcular o argumento de um número complexo. Vamos aprender o que queremos dizer com os termos argumento e argumento principal e como calculá-los. Consideraremos as propriedades do argumento em relação ao conjugado complexo e aprenderemos como encontrar o argumento de produtos e quocientes de números complexos.

Sabemos que podemos representar números complexos em um plano bidimensional. Chamamos a este plano de o diagrama de Argand ou o plano de Argand, depois do matemático amador que o descobriu. Podemos usá-lo para representar graficamente um número complexo da forma 𝑧 igual a 𝑎 mais 𝑏𝑖. Lembre-se, a parte real deste número complexo é 𝑎 e a parte imaginária é 𝑏. Precisamos localizar a parte real 𝑎 no eixo real. Esse é o eixo horizontal. Em seguida, movemos para cima ou para baixo para localizar a parte imaginária 𝑏 no eixo imaginário. Esse é o eixo vertical. 𝑎 mais 𝑏𝑖 pode, portanto, ser representado pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são 𝑎, 𝑏 conforme mostrado.

Se tivéssemos uma linha reta conectando esse ponto com a origem, vemos que podemos trabalhar com informações extras. Podemos calcular o ângulo que esse segmento de reta faz com o eixo real positivo. De fato, chamamos isso de argumento do número complexo. Nós denotamos isso como mostrado. E é importante lembrarmos que temos que medir isso a partir do eixo real positivo no sentido anti-horário. E geralmente é medido em radianos. E há uma definição extra requerida aqui. O argumento principal para 𝜃 em radianos é definido como 𝜃 é maior que menos 𝜋 e menor que ou igual a 𝜋. Embora não seja completamente irracional falar sobre o argumento fora desse intervalo.

Como o número complexo pode ser representado graficamente em quatro quadrantes, também podemos ver que os números complexos localizados no terceiro e quarto quadrantes terão argumentos medidos na direção errada, se você desejar. Neste caso, o argumento principal do nosso número complexo será negativo. Então, como calculamos o valor do argumento? Bem, digamos que temos um número complexo da forma quatro mais três 𝑖. Podemos ver que podemos representar isso no diagrama de Argand pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são quatro, três. O argumento desse número complexo é o 𝜃 mostrado. É o ângulo medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo.

E o que podemos fazer a seguir é adicionar um triângulo retângulo que tenha um ângulo de 𝜃. Lembre-se, esse é o nosso argumento. O lado oposto a este ângulo é de três unidades de comprimento. E o lado adjacente a este ângulo tem quatro unidades de comprimento. Definindo os lados assim, podemos usar trigonometria do triângulo retângulo para calcular a medida do ângulo incluído, o argumento. Sabemos que o tg de 𝜃 é igual ao cateto oposto sobre cateto adjacente. Portanto, para o nosso triângulo retângulo, tg de 𝜃 é igual a três sobre quatro.

Nós resolvemos esta equação para 𝜃 encontrando o inverso da tg ou arctg de ambos os lados. E vemos que 𝜃 é igual ao arctg de três quartos. Isso nos dá um valor de 0.64 radianos, correto para dois números significativos. E, portanto, o argumento desse número complexo é de 0.64 radianos. Agora, de fato, a função real arctg de 𝑥 é uma função com vários valores para os valores reais de 𝑥. Então, não podemos generalizar isso como uma fórmula para cada número complexo. Vamos ver um exemplo de onde podemos nos soltar.

Dado que 𝑧 é igual a menos um meio mais raiz de três sobre dois 𝑖, encontre o argumento principal de 𝑧.

Temos um número complexo representado em forma algébrica ou retangular para o qual estamos tentando calcular o argumento principal. Lembre-se de que esse é o valor do argumento que é maior que menos 𝜋 e menor que ou igual a 𝜋. É sempre sensato começar por traçar este número complexo num diagrama de Argand. E isso nos ajudará a decidir em qual quadrante o número complexo se encontra. Lembre-se, o eixo horizontal em nosso diagrama de Argand representa a parte real, enquanto o eixo vertical representa a parte imaginária. A parte real do nosso número complexo é menos um meio. E a parte imaginária é a raiz de três sobre dois.

Assim, podemos representar nosso número complexo no diagrama de Argand como um ponto cujas coordenadas cartesianas são menos um meio, raiz de três sobre dois. Este encontra-se no segundo quadrante, como mostrado. Nós adicionaremos um segmento de reta unindo este ponto à origem. E então lembramos da definição do argumento. É o ângulo que esse segmento de reta faz com o eixo real positivo medido no sentido anti-horário. Dado que os ângulos em uma linha reta somam 𝜋 radianos, é sensato começar encontrando o ângulo agudo que marquei como 𝛼. E, na verdade, é uma boa ideia tentar escolher o ângulo agudo e trabalhar a partir daí em qualquer exemplo.

O lado oposto a este ângulo agudo 𝛼 é a raiz de três sobre duas unidades. E o comprimento do lado adjacente é metade de uma unidade. Agora, lembre-se, estamos trabalhando com comprimento. Então, estamos interessados apenas em valores positivos. Podemos chamá-los de módulo das partes reais e imaginárias. Tg de 𝛼 é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente. É a raiz de três sobre dois dividido por um meio. Agora, de fato, isso simplifica um pouco para tg de 𝛼 igual a raiz de três. Podemos resolver esta equação para 𝛼 encontrando o inverso da tg. 𝛼 é igual a arctg da raiz de três que é 𝜋 sobre três radianos.

Nós dissemos que os ângulos em uma linha reta somam 𝜋 radianos. Assim, podemos encontrar o valor do argumento de 𝑧 subtraindo 𝜋 sobre três radianos de 𝜋. E, claro, outra maneira de pensar sobre 𝜋 é como três 𝜋 sobre três. E isso nos permitirá subtrair essas frações normalmente. Três 𝜋 sobre três menos 𝜋 sobre três são dois 𝜋 sobre três radianos. E se compararmos isso com o valor do argumento principal que é maior que menos 𝜋 e menor que ou igual a 𝜋, vemos que o valor para nosso argumento de 𝑧 realmente satisfaz esse critério. São dois 𝜋 sobre três radianos.

Agora, de fato, se tentássemos generalizar nossa fórmula do exemplo anterior e apenas disséssemos que o argumento de 𝑧 é igual a arctg de 𝑏 dividido por 𝑎, que é o arctg de raiz de três sobre dois dividido por menos um meio, teria ficado menos 𝜋 por três, o que é claramente incorreto.

Vamos ver se podemos encontrar uma regra geral para encontrar o argumento de um número complexo desenhado em qualquer quadrante.

Aqui, temos quatro diagramas de Argand, com um número complexo desenhado em cada um dos quatro quadrantes. Para cada um desses exemplos, podemos começar encontrando a medida do ângulo agudo. Podemos encontrar o argumento para um número complexo representado no primeiro quadrante encontrando o arctg de 𝑏 dividido por 𝑎. Esse é o arctg da parte imaginária dividido pela parte real. Isso é suficiente para o argumento de um número complexo desenhado no primeiro quadrante.

No segundo quadrante, sabemos que o ângulo agudo é encontrado encontrando o arctg do módulo de 𝑏 dividido pelo módulo de 𝑎. Lembre-se, no exemplo anterior, dissemos que estávamos lidando com comprimentos. Então eles precisam ser positivos. E então usamos o fato de que os ângulos em uma linha reta somam 𝜋 radianos. E podemos encontrar o argumento subtraindo o arctg do módulo de 𝑏 dividido pelo módulo de 𝑎 de 𝜋.

Agora, na verdade, para o número complexo desenhado no terceiro quadrante, poderíamos calcular o tamanho do ângulo agudo. Mas, na verdade, o método é quase idêntico ao que usamos para elaborar o argumento de um número complexo desenhado no segundo quadrante. A única diferença é que é como um reflexo no eixo horizontal. Estamos essencialmente percorrendo na direção oposta. Assim, podemos dizer que é igual a menos 𝜋 menos o arctg do módulo de 𝑏 dividido pelo módulo de 𝑎. E se distribuímos esses parênteses, vemos que o argumento do número complexo representado no terceiro quadrante é o arctg do módulo de 𝑏 dividido pelo módulo de 𝑎 menos 𝜋.

E de maneira semelhante, podemos dizer que o argumento do número complexo desenhado no quarto quadrante é igual a menos arctg do módulo de 𝑏 dividido pelo módulo de 𝑎. Também vale a pena estar ciente de que, se o número complexo for puramente imaginário e a parte imaginária for maior que zero, o argumento será 𝜋 sobre dois radianos. E se a parte imaginária for menor que zero, o argumento será menos 𝜋 sobre dois radianos. Se as partes real e imaginária são zero, então o argumento de 𝑧 é indefinido.

Existe uma regra alternativa que podemos lembrar. No primeiro quadrante, mais uma vez, o argumento é igual ao arctg de 𝑏 dividido por 𝑎. No segundo quadrante, é o arctg de 𝑏 dividido por 𝑎 mais 𝜋. E o que é bem legal aqui é que podemos tirar as partes reais e imaginárias do número complexo. E não precisamos nos preocupar em torná-las positivas. Para o número complexo no terceiro quadrante, é o arctg de 𝑏 sobre 𝑎 menos 𝜋. E no quarto quadrante, é simplesmente o arctg de 𝑏 sobre 𝑎.

E sim, é útil ter uma regra. Mas é sempre útil esboçar o diagrama de Argand para garantir que você esteja escolhendo os valores certos para o argumento do seu número complexo. Vamos praticar encontrar o argumento de um número complexo localizado fora do primeiro quadrante e estender isso para encontrar uma relação entre o argumento de um número complexo e o argumento de seu conjugado.

Considere o número complexo 𝑧 é igual a menos quatro menos cinco 𝑖. 1) Calcule o argumento de 𝑧 dando sua resposta correta para três números significativos. 2) Calcule o argumento de 𝑧 estrela dando sua resposta correta para três números significativos.

Para calcular o argumento do número complexo 𝑧, vamos começar desenhando-o no diagrama de Argand. Este número complexo é representado pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são menos quatro, menos cinco. Encontra-se no terceiro quadrante. Como o argumento é medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo, estamos interessados nesse ângulo aqui. E podemos começar encontrando o valor do ângulo agudo. Vamos chamar isso 𝛼. Temos um triângulo retângulo para o qual o lado oposto ao ângulo incluído tem cinco unidades e o lado adjacente a ele tem quatro unidades.

Assim, podemos encontrar a medida desse ângulo 𝛼 usando a fórmula arctg de cinco dividido por quatro. E lembre-se, uma maneira de pensar sobre isso é encontrar o arctg do módulo da parte imaginária dividido pelo módulo da parte real. Isso é 0.8960 radianos. Ângulos em uma linha reta somam 𝜋 radianos. Então, para encontrar a medida do ângulo que marcamos 𝜃, subtraímos 0.8960 e assim sucessivamente a partir de 𝜋. Isso é 2.2455. Como estamos medindo na direção oposta, estamos medindo no sentido horário e não no sentido anti-horário. Podemos dizer que o argumento de 𝑧 é menos 2.25 radianos, correto para três números significativos.

E, alternativamente, poderíamos aplicar uma fórmula que diz que o argumento de um número complexo traçado no terceiro quadrante é o arctg dessa parte imaginária dividido pela sua parte real menos 𝜋. A parte imaginária do nosso número complexo é menos cinco. E a parte real é menos quatro. E se digitarmos o arctg de menos cinco dividido por menos quatro menos 𝜋 em nossa calculadora, obtemos menos 2.2455 e assim por diante, mais uma vez. Qualquer método está bem. É mais sobre preferência pessoal aqui.

Para a parte dois, precisamos calcular o argumento do conjugado de 𝑧. Lembre-se, encontramos o conjugado de um número complexo alterando o sinal de sua parte imaginária. Portanto, o conjugado do nosso número complexo é menos quatro mais cinco 𝑖. Vamos traçar isso no mesmo diagrama de Argand. É bem claro que há um atalho aqui. Mas vamos realizar os cálculos para ter certeza. E desta vez, vamos usar uma fórmula. O argumento para um número complexo desenhado no segundo quadrante é arctg de 𝑏 dividido por 𝑎 mais 𝜋. Para o conjugado de 𝑧, 𝑏 é cinco e 𝑎 é menos quatro. E digitando isso na nossa calculadora, obtemos 2.2455 e assim por diante. Corrigido para três números significativos, isto é 2.25.

Agora, na verdade, podemos dizer que a interpretação geométrica do conjugado é um reflexo do número complexo 𝑧 no eixo horizontal. Portanto, faz todo o sentido que o argumento de 𝑧 seja igual a menos o argumento do conjugado de 𝑧 e vice-versa.

Mas e a relação entre adição e argumento? Bem, na verdade, não existe uma boa relação entre a adição de dois números complexos e o argumento. Existe, no entanto, uma relação entre o produto e o quociente e o argumento. Vamos ver como isso se parece.

Considere os números complexos 𝑧 é igual a um mais raiz de três 𝑖 e 𝑤 é igual a dois menos dois 𝑖. 1) Encontre o argumento de 𝑧 e o argumento de 𝑤. 2) Calcule o argumento de 𝑧𝑤. Como isso se compara ao argumento de 𝑧 e ao argumento de 𝑤? 3) Calcule o argumento de 𝑧 dividido por 𝑤. Como isso se compara ao argumento de 𝑧 e ao argumento de 𝑤?

Para responder a essa pergunta, começaremos desenhando os números complexos 𝑧 e 𝑤 em um diagrama de Argand. 𝑧 é representado pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são um, raiz de três. E 𝑤 é representado pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são dois, menos dois. Vamos usar uma das regras que discutimos anteriormente. Dissemos que, para um número complexo desenhado no primeiro e no quarto quadrantes, podemos usar a fórmula arctg de 𝑏 dividido por 𝑎 para encontrar seu argumento. A parte imaginária de 𝑧 é a raiz de três e a parte real é um. Então o argumento de 𝑧 é arctg de raiz de três sobre um. Isso é 𝜋 sobre três radianos. A parte imaginária de 𝑤 é menos dois e sua parte real é dois. Portanto, o argumento de 𝑤 é o arctg de menos dois sobre dois. E assim, o argumento de 𝑤 é menos 𝜋 sobre quatro radianos.

Para a parte dois, precisamos começar calculando o número complexo 𝑧𝑤. Esse é o produto de um mais raiz de três 𝑖 e dois menos dois 𝑖. Vamos distribuir esses parênteses. Multiplicando o primeiro termo em cada parêntese, temos dois. Multiplicando os termos externos, obtemos menos dois 𝑖. Multiplicando os termos internos, obtemos dois raiz de três 𝑖. E multiplicando os últimos termos, obtemos menos dois raiz de três 𝑖 ao quadrado. Mas, claro, 𝑖 ao quadrado é igual a menos um. Portanto, este último termo se torna dois raiz de três positivo. Nós agrupamos as partes reais. Isso é dois e dois raiz três. E nós agrupamos as partes imaginárias. E podemos ver que 𝑧𝑤 é igual a dois mais dois raiz de três mais dois raiz de três menos dois 𝑖.

Tudo o que resta é calcular o argumento desse número complexo. Agora, as partes real e imaginária desse número complexo são realmente maiores que zero. Então, 𝑧𝑤 estará no primeiro quadrante. Portanto, o argumento é o arctg da parte imaginária dividido pela parte real. E podemos calcular isso usando as regras para divisão de números complexos. Precisamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de dois mais dois raiz de três. E fazendo isso, veríamos que o argumento de 𝑧𝑤 é arctg de dois menos raiz de três que é 𝜋 sobre 12. E se compararmos isso com o argumento de 𝑧 e o argumento de 𝑤, podemos ver que o argumento de seus produtos é igual à soma de seus argumentos.

Vamos dar uma olhada na parte três. Precisamos calcular 𝑧 dividido por 𝑤. Isso é um mais raiz de três 𝑖 dividido por dois menos dois 𝑖. E como antes, precisaríamos calcular isso multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado de dois menos dois 𝑖. Isso é dois mais dois 𝑖. E quando o fazemos, vemos que 𝑧 dividido por 𝑤 é igual a um quarto de um menos raiz de três, que é sua parte real, mais um quarto de um mais raiz de três, que é sua parte imaginária, 𝑖. Desta vez, a parte real de 𝑧 dividida por 𝑤 é menor que zero. Mas sua parte imaginária é maior que zero. Encontra-se no segundo quadrante.

Assim, podemos usar a fórmula arctg de 𝑏 dividido por 𝑎 mais 𝜋 para encontrar seu argumento. Isso dá sete 𝜋 sobre 12. E, de fato, desta vez podemos ver que o argumento de 𝑧 dividido por 𝑤 é igual ao argumento de 𝑧 menos o argumento de 𝑤. E estas são regras gerais que se aplicam a quaisquer dois números complexos. O argumento de seus produtos é igual à soma de seus argumentos. E o argumento do seu quociente é igual à diferença de seus argumentos. E podemos usar esse fato para resolver problemas envolvendo as propriedades de seus argumentos. E podemos usar esses fatos para resolver problemas envolvendo as propriedades dos argumentos.

Considere o número complexo 𝑧 é igual a sete mais sete 𝑖. 1) Encontre o argumento de 𝑧. 2) Então, encontre o argumento de 𝑧 elevado a quatro.

Aqui, temos um número complexo cujas partes real e imaginária são positivas. Isso significa que nós desenharíamos esse número complexo no primeiro quadrante no diagrama de Argand. E podemos, portanto, encontrar o argumento usando a fórmula arctg de 𝑏 dividido por 𝑎, onde 𝑏 é a parte imaginária e 𝑎 é a parte real. No nosso caso, esse é o arctg de sete dividido por sete. E isso é 𝜋 sobre quatro radianos.

Então, como encontramos o argumento de 𝑧 elevado a quatro? Bem, o que não vamos fazer é calcular o número complexo 𝑧 elevado a quatro. Em vez disso, vamos lembrar o fato de que o argumento do produto de dois números complexos é igual à soma de seus argumentos. Vamos estender isso e dizer, bem, se tivermos 𝑧 vezes 𝑧 vezes 𝑧 vezes 𝑧, isso será igual ao argumento de 𝑧 mais o argumento de 𝑧 mais o argumento de 𝑧 mais o argumento de 𝑧. Mas, na verdade, isso equivale a quatro vezes o argumento de 𝑧. E no nosso exemplo, isso equivale a quatro vezes 𝜋 sobre quatro, o que é simplesmente 𝜋 radianos. E podemos generalizar essa ideia e dizer que o argumento de 𝑧 elevado a 𝑛 é igual a 𝑛 multiplicado pelo argumento de 𝑧.