Vídeo: Encontrando a Primeira Derivada de uma Função Definida Implicitamente Utilizando Derivação Implícita e a Regra do Produto

Dado que 2𝑥³ + 5𝑦³ = 7𝑥𝑦, determine 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

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Transcrição do vídeo

Dado que dois 𝑥 ao cubo mais cinco 𝑦 ao cubo é igual a sete 𝑥𝑦, determine 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

A primeira coisa que podemos ver aqui é que, na verdade, nossa função é definida implicitamente. Portanto, para determinar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 e encontrar nossa derivada, o que queremos realmente fazer é derivá-la implicitamente. E o primeiro estágio de derivar essa função usando derivação implícita é derivá-la em relação a 𝑥. Então, para fazer isso, vamos lidar com cada termo separadamente. Então, primeiro de tudo, nós vamos lidar com nosso primeiro termo que é dois 𝑥 ao cubo. Então, se derivarmos isso em relação a 𝑥, teremos seis 𝑥 ao quadrado. E nós temos isso porque nós multiplicamos o coeficiente pelos expoentes, então dois vezes três, o que dá seis. E então, reduzimos o expoente em um, então seis 𝑥 ao quadrado.

Então vamos ter que lidar com nosso segundo termo de forma diferente. E isso porque, se quisermos encontrar a derivada, com relação a 𝑦, de cinco 𝑦 ao cubo, ela será igual à derivada em relação a 𝑦 multiplicada por 𝑑𝑦 𝑑𝑥. Então nosso segundo termo será de 15 𝑦 ao quadrado, porque é a derivada, com relação a 𝑦, de cinco 𝑦 ao cubo multiplicada por 𝑑𝑦 𝑑𝑥. Então isso é fantástico. Nós temos nossos dois primeiros termos.

E agora, isso é igual a, a derivada de sete 𝑥𝑦 em relação a 𝑥. E para nos permitir fazer isso, o que vamos usar é a regra do produto. E a regra do produto nos diz que se tivermos uma função na forma 𝑦 igual a 𝑢𝑣, então 𝑑𝑦 𝑑𝑥 será igual a 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 mais 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥. Certo, ótimo. Então vamos usar isso para derivar sete 𝑥𝑦.

Então, primeiro de tudo, vamos decidir o que vai ser 𝑢 e 𝑣. Então eu vou deixar 𝑢 ser sete 𝑥 e 𝑣 ser 𝑦. Então, em seguida, eu quero encontrar 𝑑𝑢 𝑑𝑥. Bem, só vai ser sete. E é isso que conseguimos se derivarmos sete 𝑥. E então, precisamos encontrar 𝑑𝑣 𝑑𝑥. Bem, novamente, usando a mesma regra que fizemos anteriormente com a regra da cadeia para o nosso segundo termo, podemos dizer que 𝑑𝑣 𝑑𝑥 será igual à derivada de 𝑦 - qual é o nosso 𝑣 em relação a 𝑦, então 𝑑 𝑑𝑦 de 𝑦 - e depois multiplicar por 𝑑𝑦 𝑑𝑥, que é igual a 𝑑𝑦 𝑑𝑥. Porque se nós derivarmos 𝑦, nós temos apenas um. Então, um multiplicado por 𝑑𝑦 𝑑𝑥 é apenas 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

Ok, agora que temos 𝑢, 𝑣, 𝑑𝑢 𝑑𝑥 e 𝑑𝑣 𝑑𝑥, podemos usar a regra do produto para encontrar a derivada de sete 𝑥𝑦 em relação a 𝑥. Então, primeiro de tudo, nós vamos ter sete 𝑥 multiplicado por 𝑑𝑦 𝑑𝑥. E isso é porque sete 𝑥 é nosso 𝑢 e 𝑑𝑦 𝑑𝑥 é nosso 𝑑𝑣 𝑑𝑥. E isso é mais sete 𝑦 porque 𝑦 é nosso 𝑣 e sete é o nosso 𝑑𝑢 𝑑𝑥. Ótimo, agora encontramos a derivada de sete 𝑥𝑦 em relação a 𝑥. Ok, agora estamos na próxima fase da nossa derivação implícita. E nós queremos fazer é reorganizar para isolar 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

Então, o primeiro estágio é obter nossos termos com 𝑑𝑦 𝑑𝑥 no mesmo lado de nossa equação. Portanto, temos seis 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑦 é igual a sete 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 menos 15 𝑦 ao quadrado 𝑑𝑦 𝑑𝑥. Então, agora, podemos fatorar o lado direito da nossa equação que nos dará seis 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑦 é igual a, agora tomamos 𝑑𝑦 𝑑𝑥 como um fator, então 𝑑𝑦 𝑑𝑥 multiplicado por sete 𝑥 menos 15𝑦 ao quadrado. Então, nós podemos dividir por sete 𝑥 menos 15 𝑦 ao quadrado. Então, nós temos seis 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑦 sobre sete 𝑥 menos 15 𝑦 ao quadrado é igual a 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

Portanto, podemos dizer que, dado que dois 𝑥 ao cubo mais cinco 𝑦 ao cubo é igual a sete 𝑥𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 é igual a seis 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑦 sobre sete 𝑥 menos 15𝑦 ao quadrado.

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