Vídeo: Reconhecendo Progressões Geométricas e Aritméticas

Que tipo de progressão é a seguinte: 1/2, 13/6, 23/6, 11/2, 43/6 _?

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Transcrição do vídeo

Que tipo de progressão é a seguinte: um meio, 13 sobre seis, 23 sobre 6, 11 sobre dois e 43 sobre seis.

Quando uma questão pergunta que tipo de progressão é, o que realmente significa é: é uma progressão aritmética ou é uma progressão geométrica. Então, a primeira coisa a fazer é pensar bem, o que é uma progressão aritmética e o que é uma progressão geométrica. Porque se nós realmente descobrirmos o que elas são, então isso vai nos ajudar a decidir que tipo de progressão é a nossa.

Então, primeiro de tudo, vamos dar uma olhada em uma progressão aritmética. E a definição que temos para isso é que é uma sequência em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Então, por exemplo, tem uma diferença comum. Agora, o que vamos fazer é usar isso para descobrir se a nossa sequência é uma progressão aritmética. Então, o que eu fiz primeiro é rotular nossos termos. Eu tenho 𝑛 um, 𝑛 dois, 𝑛 três, etc. E isso é apenas para que possamos realmente ver qual é o número do termo.

Então, para que isso seja uma progressão aritmética, o que deve acontecer é que, se subtrairmos o termo do próximo termo, isso deve nos dar uma diferença em comum ao longo da sequência. Então, se subtrairmos o primeiro termo do segundo termo, teremos 13 sobre seis menos a um meio, o que equivale a 13 sobre seis menos três sobre seis. Porque um meio é igual a três sextos. E nós queremos ter o mesmo denominador. Então isso nos dá uma diferença de 10 sobre seis. Certo, ótimo. Então, nós encontramos a diferença.

O que vamos fazer agora é subtrair nosso segundo termo do nosso terceiro termo. E quando fazemos isso, obtemos 23 sobre seis menos 13 sobre seis, o que novamente nos dá 10 sobre seis. Então você pode ver que, até agora, nós realmente temos uma diferença comum. Ótimo. Bem, o que vamos fazer é comparar outro par, só para ter certeza. Mas parece que realmente temos uma progressão aritmética.

Então, agora, se subtrairmos o terceiro termo do quarto termo, temos 11 sobre dois menos 23 sobre seis, o que dará 33 sobre seis menos 23 sobre seis. E isso porque 11 sobre dois são 33 sobre seis. Porque se você multiplicar o numerador e o denominador por três, teremos 33 sobre seis. E mais uma vez, isso nos dá uma diferença comum de 10 sobre seis. Ótimo. Então, o que vamos fazer é seguir para o nosso último par.

Então, finalmente, temos o quinto termo menos o quarto termo. Então temos 43 sobre seis menos 11 sobre dois. Bem, isso vai dar 43 sobre seis menos 33 sobre seis. Porque como já discutimos, 11 sobre dois é 33 sobre seis. Então, novamente, isso nos dá uma resposta de 10 sobre seis. Então poderíamos dizer sim, definitivamente. Esta sequência é uma progressão aritmética porque temos uma diferença comum de 10 sobre seis.

Então agora o que vamos fazer é dar uma olhada na progressão geométrica. Porque o que vamos fazer é ver se também é uma progressão geométrica. Bem, uma progressão geométrica é uma progressão em que a razão entre dois termos consecutivos é constante. Então, por exemplo, ela tem uma razão comum. Então, para resolver isso e ver se é uma progressão geométrica, o que vamos fazer é, antes de tudo, dividir nosso segundo termo pelo nosso primeiro termo.

Então, vamos ter 13 sobre seis dividido por um meio. Bem, para nos permitir fazer isso, o que vamos usar, na verdade, é uma propriedade para dividir as frações. Então, o que fazemos fazer é encontrar o inverso da segunda fração, então nós a invertemos. E então, nós as multiplicamos. Então, o que temos é 13 sobre seis multiplicado por dois sobre um, o que dá 26 sobre seis. Porque 13 multiplicado por dois é 26 e seis multiplicado por um é seis. E se nós convertermos isso para decimal, isso dará a dízima periódica 4,3.

E agora, o que precisamos fazer é comparar isso com outro par de termos para ver, na verdade, se existe uma razão comum. Bem, se olharmos para o terceiro e segundo termos, vamos fazer o terceiro termo dividido pelo segundo termo, temos 23 sobre seis dividido por 13 sobre seis. Então, novamente, usando a mesma propriedade de divisão para frações, nós vamos ter 23 sobre seis multiplicado por seis sobre 13, o que dará 138 sobre 78. Bem, quando nós convertemos isso em um decimal, nós obtemos 1.769, etc.

Portanto, podemos dizer que, na verdade, nosso segundo termo dividido pelo nosso primeiro termo não é igual ao nosso terceiro termo dividido pelo nosso segundo termo. Portanto, não temos uma razão comum. Então, se usarmos nossa definição, poderíamos dizer que essa não pode ser uma progressão geométrica. Assim, podemos corrigir nossa resposta onde dissemos que a progressão é aritmética, pois tem uma diferença comum de 10 sobre seis. Porque o que podemos dizer é que a nossa sequência é apenas uma progressão aritmética, pois tem uma diferença comum de 10 sobre seis. Mas não tem razão comum.

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