Vídeo: Continuidade de Funções

Neste vídeo, vamos aprender como verificar a continuidade de uma função no seu domínio e determinar o intervalo no qual é contínua.

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Continuidade de Funções

Nesta aula, aprenderemos como verificar a continuidade de uma função e determinar o intervalo no qual uma função é contínua.

Agora, pode estar familiarizado em determinar a continuidade de uma função num ponto e até os diferentes tipos de descontinuidade que encontramos. Podemos testar se uma função é contínua num ponto utilizando a seguinte definição formal. Uma função 𝑓 de 𝑥 é contínua no ponto em que 𝑥 é igual a 𝑎 se o limite, quando 𝑥 tende para 𝑎, de 𝑓 de 𝑥 for igual à função calculada em 𝑥 igual a 𝑎.

Agora, o requisito implícito nesta condição é que ambas as coisas devam existir. Para que o limite normal exista, o limite à esquerda e à direita também devem existir quando 𝑥 tende para 𝑎 e ser igual a um valor 𝐿. Além disso, 𝑓 de 𝑎 deve estar definida e deve ser igual à esquerda, à direita e no limite normal de continuidade. Aqui, dissemos que esse valor era 𝐿.

Agora, vamos pensar na continuidade num intervalo. A definição coloquial disto pode ser, se conseguir desenhar o gráfico da função no intervalo sem levantar a caneta. Uma maneira mais rigorosa de pensar sobre isso seria dizer, a função 𝑓 de 𝑥 é contínua num intervalo se o requisito de continuidade num ponto se mantiver para todos os valores de 𝑥 dentro do intervalo. Agora, isso pode parecer óbvio, mas uma maneira de verificar a continuidade num intervalo é garantir que não haja descontinuidades no referido intervalo. Podemos ver alguns exemplos de gráficos para obter uma compreensão visual disto.

Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa. A função representada pelo gráfico é uma função contínua.

Para esta questão, temos uma função 𝑔 de 𝑥, definida para todos os valores de 𝑥 nos números reais, indicados por estas setas. Agora, podemos ver quase imediatamente que a nossa função 𝑔 de 𝑥 é descontínua, uma vez que num valor de 𝑥 igual a três, temos uma lacuna no nosso gráfico. De facto, podemos reconhecer esta como uma descontinuidade de salto, com 𝑔 de 𝑥 estando não definida no ponto três, dois, indicado pela bola aberta, e definida no ponto três, um, indicado pela bola fechada.

Se olharmos para os limites à esquerda e à direita, quando 𝑥 tende para três, descobriríamos que, embora ambos existam, os seus valores são diferentes. E isso significaria que o limite normal não existe. Aqui, lembramos a nossa definição de continuidade num ponto, que diz que o limite, quando 𝑥 tende para 𝑎, da referida função deve ser igual ao valor da função calculada onde 𝑥 é igual a 𝑎. Agora, no nosso caso, o limite, quando 𝑥 tende para três de 𝑔 de 𝑥, não é igual a 𝑔 de três, pois o limite não existe.

Provamos, portanto, que a função 𝑔 de 𝑥 tem uma descontinuidade em 𝑥 igual a três. A nossa resposta para a questão é, portanto, falsa. A função representada pelo gráfico não é uma função contínua. Como observação final, podemos observar que a nossa função pode ter uma descontinuidade, embora esteja definida sobre todos os números reais.

Vamos agora ver outro exemplo gráfico de como determinar se uma função é contínua ou não.

Determine se a função representada pelo gráfico é contínua ou descontínua.

Para esta questão, temos uma função 𝑓 de 𝑥, que está definida quando 𝑥 é maior ou igual a zero ou menor ou igual a três. Os pontos interessantes desta função ocorrem quando 𝑥 é igual a um e quando 𝑥 é igual a dois. Aqui, vemos uma mudança acentuada no gradiente. E podemos reconhecer que isso significa que a nossa função não será derivável nesses pontos.

Para fins de continuidade, no entanto, isso não é necessariamente motivo de preocupação. Tomando o ponto onde 𝑥 é igual a um como exemplo, vemos que os limites à esquerda e à direita se aproximam do mesmo valor. E será aqui que 𝑓 de 𝑥 é igual a um. A partir disso, segue-se que o limite normal, quando 𝑥 tende para um, terá o mesmo valor. E também é claro ver que 𝑓 de um também é igual a um.

De facto, estas duas coisas juntas são a condição para a continuidade. Como temos que o limite normal, quando 𝑥 tende para um de 𝑓 de 𝑥, é igual a 𝑓 de um. A mesma lógica seguiria para o ponto em que 𝑥 é igual a dois e, de facto, para todos os outros pontos do domínio da nossa função. Isso coloca-nos em posição de responder à nossa questão. Concluímos que 𝑓 de 𝑥 é uma função contínua.

Agora, as duas questões anteriores deram-nos exemplos gráficos de funções que eram contínuas e funções que não eram. No nosso exemplo, vimos uma função com uma descontinuidade de salto. No entanto, funções com qualquer outra descontinuidade, como removível ou infinita, também não seriam classificadas como funções contínuas. Por outro lado, existem muitos tipos de funções que são contínuas. E veremos alguns exemplos de calculá-los algebricamente.

Os seguintes tipos de funções são contínuas em todo o seu domínio, funções polinomiais, funções racionais, funções trigonométricas e funções exponenciais. Uma distinção importante aqui é que estamos a dizer que estas funções são contínuas em todo o domínio e não para todos os valores de 𝑥 nos números reais. Voltaremos a este ponto mais tarde. Mas, antes disso, outro facto importante.

Somas, diferenças, produtos, quocientes e composições de funções contínuas também são contínuas para todos os pontos em que 𝑥 está definido corretamente. Novamente, estes estão dentro dos domínios das nossas funções recém-criadas. Agora, a prova da continuidade para todos estes tipos de funções está fora do âmbito deste vídeo, mas podemos passar por um exemplo utilizando uma função polinomial e a seguinte questão.

O que se pode dizer sobre a continuidade da função 𝑥 ao cubo mais cinco 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais dois?

Dada a regra geral de que uma função polinomial é contínua em todo o seu domínio e o domínio da nossa função é todos os números reais, podemos quase imediatamente dar a resposta a seguir. A função é contínua em ℝ, os números reais, porque é um polinómio. Esta é, de facto, a resposta rápida à nossa questão.

Mas, em vez de apenas parar por aqui, vamos explorar uma prova de como é esse o caso.

O bloco de construção com o qual começaremos é o limite, quando 𝑥 tende para 𝑎, de apenas uma constante 𝑘. Agora, claramente, o valor de 𝑥 não importa para a nossa constante 𝑘. E assim, a resposta para este limite é apenas 𝑘. Aqui, diremos que 𝑘 é um número real. A seguir, passamos ao caso do limite, quando 𝑥 tende para 𝑎, da função que é apenas 𝑥. Ao adotar uma abordagem de substituição direta de 𝑥 igual 𝑎, vemos que, aqui, a resposta para o nosso limite é apenas 𝑎. E também devemos estipular aqui que 𝑎 também é um dos números reais.

Em seguida, adicionamos uma potência e consideramos o limite quando que 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑥 elevado a um expoente 𝑛. Neste caso, 𝑛 é um dos números naturais, incluindo zero. Então, zero, um, dois, três, etc. Com o mesmo argumento de substituição direta, descobrimos que este limite é igual a 𝑎 elevado a 𝑛. E se adicionássemos uma constante 𝑘 à frente do nosso 𝑥 elevado a 𝑛? A lei do múltiplo de uma constante permite-nos mover a nossa constante 𝑘 para fora do nosso limite da seguinte maneira. Agora, vemos que o limite que procuramos é o mesmo que da linha anterior vezes 𝑘. E assim, a nossa resposta é 𝑘 vezes 𝑎 elevado a 𝑛, novamente com a abordagem de substituição direta.

Ok, a seguir, expandiremos um pouco adicionando dois novos termos ao nosso limite e diferenciando os diferentes valores de 𝑘 e 𝑛, ​​em que todos os valores de 𝑘 e 𝑛 obedecem às mesmas regras. Agora, utilizando as propriedades da adição de limites, podemos dividir o nosso limite em três limites individuais, como se segue. Agora, pode perceber que estes dois primeiros termos têm a mesma forma da linha de trabalho anterior que acabámos de concluir. Podemos, portanto, dizer que estes são 𝑘 um vezes 𝑎 elevado a 𝑛 um e 𝑘 dois vezes 𝑎 elevado a 𝑛 dois, respetivamente. Obviamente, o nosso último termo é apenas uma constante, o que vimos no nosso primeiro exemplo. O limite dessa constante é, obviamente, apenas 𝑘 três.

Descobrimos agora que nosso o limite é 𝑘 um vezes 𝑎 elevado a 𝑛 um mais 𝑘 dois vezes 𝑎 elevado a 𝑛 dois mais 𝑘 três. Agora, se chamarmos a função que criamos aqui 𝑓 de 𝑥, poderemos ver que o limite que determinámos é igual à nossa função calculada no ponto em que 𝑥 é igual a 𝑎, por outras palavras, 𝑓 de 𝑎.

O nosso passo final e crucial é reconhecer a forma da função 𝑓 de 𝑥 que criamos. Como 𝑘 é um número real e 𝑛 é um número natural incluindo zero, cada um destes termos dá-nos um múltiplo real de 𝑥 elevado a qualquer expoente inteiro positivo ou zero. Pela propriedade da adição de limites, poderíamos adicionar quantos termos quiséssemos à nossa função. Além disso, cobrimos a adição de uma constante real padrão 𝑘. A nossa função 𝑓 de 𝑥, portanto, representa qualquer polinómio que desejemos construir.

Por fim, provamos que o limite, quando 𝑥 tende para 𝑎, da nossa função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑓 de 𝑎. Como 𝑓 de 𝑥 é um qualquer polinómio e 𝑎 é um número real, acabámos de provar que uma função polinomial é contínua em todo o conjunto de números reais, uma vez que esta é realmente a condição para a continuidade.

Assim, provámos a nossa condição de continuidade para polinómios. E essa demonstração pode ser estendida ou alterada para cobrir as outras funções mencionadas anteriormente. Agora, ao classificar que estas funções eram contínuas, tivemos o cuidado de fazer a distinção de que são contínuas no seu domínio, e não na totalidade dos números reais. Por acaso, o domínio de um polinómio é os números reais; no entanto, este não é necessariamente o caso de outras funções, como as racionais. Vejamos um exemplo para ilustrar isto.

Determine o conjunto no qual 𝑓 de 𝑥 que é igual a 𝑥 menos 22 tudo sobre 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 menos 63 é contínua.

Para esta questão, temos uma função racional na forma 𝑃 de 𝑥 sobre 𝑄 de 𝑥. Agora, sabemos que uma função racional é contínua no seu domínio. E, portanto, a nossa questão reduz-se a determinar o domínio da nossa função 𝑓 de 𝑥. Na essência, queremos determinar os valores de 𝑥 que levariam a nossa função a ser indefinida ou a crescer em direção a mais ou menos infinito. Observando a forma da nossa função, vemos que esses pontos problemáticos ocorrerão quando o denominador de nosso quociente, 𝑄 de 𝑥, for calculado como zero.

Podemos avançar com nossa a questão primeiro fatorizando 𝑄 de 𝑥. Com um pouco de inspeção, vemos que esta quadrática é fatorizada para 𝑥 menos nove vezes 𝑥 mais sete, já que estes dois números têm uma soma de menos dois e um produto de menos 63. A partir do teorema da decomposição de polinómios, podemos ver que quando 𝑥 foi nove ou quando 𝑥 for menos sete, 𝑄 de 𝑥 será calculado como zero. Voltando a colocar esta versão fatorizada de 𝑄 de 𝑥 na nossa função, podemos concluir que 𝑥 igual a nove e 𝑥 igual a menos sete não estão no domínio da nossa função. Isso acontece porque, nesses valores, o denominador do quociente será zero. E, portanto, 𝑓 de 𝑥 não nos dará um valor numérico.

Como 𝑓 de 𝑥 se comporta bem em todos os outros valores reais de 𝑥, podemos dizer o seguinte. O domínio da nossa função 𝑓 de 𝑥 é o número real menos o conjunto do nove e do menos sete. E assim, 𝑓 de 𝑥 é contínua nos números reais menos o conjunto do nove e menos sete. E aqui, respondemos à nossa questão.

Para expandir a nossa questão anterior, lembre-se de que, quando um fator comum pode ser anulado nas partes superior e inferior de um quociente, como a formação de uma função racional, isso corresponderia a uma singularidade removível no nosso gráfico. Nesse caso, como a função não está definida em que 𝑥 igual a 𝑎, claramente, não podemos atender aos critérios de continuidade. Nos casos em que fatores comuns não podem ser anulados nas partes superior e inferior dos nossos quocientes, esperaríamos ver assíntotas em que os valores de 𝑓 de 𝑥 se aproximariam de mais ou menos infinito.

Nestas assíntotas, mesmo que os limites à esquerda e à direita sejam iguais, como neste caso, embora possamos escrever que o limite, quando 𝑥 tende para 𝑎, de 𝑓 de 𝑥 é igual a infinito, isso é apenas uma maneira particular de dizer que o limite não existe. E, de facto, o limite não existe em nenhuma destas assíntotas. Agora, como temos lugares onde o nosso limite não existe, novamente, não podemos cumprir os nossos critérios de continuidade. E nesses pontos, 𝑓 de 𝑥 seria descontínua.

Seguindo em frente, algumas funções podem ser definidas de maneira diferente, em diferentes intervalos. As mesmas regras de continuidade aplicam-se dentro dos intervalos da nossa função por ramos, mas devemos ter cuidado ao examinar a fronteira dos intervalos. Para que a continuidade seja mantida nas fronteiras, os pontos finais das duas secções ou subfunções devem unir-se. Isso fica melhor ilustrado com um exemplo.

Suponha que 𝑓 de 𝑥 seja igual a cinco sen de 𝑥 menos três sobre 𝑥 menos três se 𝑥 for menor que três e cinco 𝑥 ao quadrado sobre nove se 𝑥 for maior ou igual a três. Determine o conjunto no qual 𝑓 é contínua.

Aqui, temos uma função composta definida por dois intervalos. O limite dos nossos dois intervalos ocorre no ponto em que 𝑥 é igual a três. E, portanto, este é um ponto importante. Para a nossa primeira subfunção, temos uma expressão trigonométrica na parte superior do quociente e um binómio na parte inferior. Como sabemos que funções trigonométricas e polinómios são contínuas nos seus domínios e quocientes de funções contínuas também são contínuas nos seus domínios, concluímos que esta subfunção é, portanto, também contínua no seu domínio.

Agora, aqui, precisamos de ter um pouco de cuidado, pois, com valores onde 𝑥 é igual a três, esta subfunção é calculada como zero sobre zero, que é uma indeterminação. Para nossa sorte, 𝑓 de 𝑥 está definida para esta subfunção apenas em valores de 𝑥 que são estritamente menores que três, e não onde 𝑥 é igual a três. Em vez disso, quando 𝑥 é maior ou igual a três, 𝑓 de 𝑥 está definida como cinco 𝑥 ao quadrado sobre nove.

Novamente, aqui, vale a pena notar que este monómio está definido e possui um domínio de todos os números reais. Isso significa que o domínio da nossa função 𝑓 de 𝑥 é todos os números reais. Mas devemos ter cuidado para não chegar rapidamente à conclusão de que 𝑓 de 𝑥 também é contínua em todos os números reais. Em vez disso, ainda devemos verificar os critérios de continuidade nas fronteiras das nossas subfunções ou quando 𝑥 é igual a três.

Primeiro, vamos determinar 𝑓 de três substituindo em cinco 𝑥 quadrado sobre nove. Este valor é fácil de calcular. E temos uma resposta de cinco. Em seguida, precisamos de verificar se o nosso limite normal existe e também é igual a cinco. Se não for esse o caso, teremos uma descontinuidade em 𝑥 igual a três. E, portanto, a nossa função não será contínua neste ponto.

Para avançar, primeiro reconhecemos que, de ambos os lados de 𝑥 igual a três, a nossa função está definida por duas subfunções diferentes. Para determinar o nosso limite à esquerda, ou quando 𝑥 se aproxima na direção negativa, utilizamos a nossa primeira subfunção. Aqui, já mostrámos que uma substituição direta de 𝑥 igual a três nos leva a uma indeterminação de zero sobre zero, portanto, precisamos de utilizar uma abordagem diferente. Em vez disso, utilizamos a regra de que o limite, quando 𝑥 tende para zero de sen 𝑥 sobre 𝑥, é igual a um.

Agora, a nossa expressão não está nesta forma. E, portanto, realizamos algumas manipulações primeiro, levando um fator de cinco para fora do nosso limite utilizando a regra do múltiplo de uma constante. Em seguida, realizamos uma substituição 𝑢. Ao definir 𝑢 como 𝑥 menos três, obtemos o seguinte. O nosso limite torna-se sen 𝑢 sobre 𝑢. No entanto, não devemos esquecer de alterar o próprio valor do limite. 𝑢 mais três é igual a 𝑥. Portanto, 𝑢 mais três tende para três na direção negativa, ou 𝑢 tende para zero na direção negativa.

Observando a nossa regra, sabemos que, se o limite normal existe e é igual a um, os limites à esquerda e à direita também existem e também são iguais a um. Agora podemos utilizar a nossa regra para calcular se este limite é igual a um. Portanto, o limite à esquerda, quando 𝑥 tende para três de 𝑓 de 𝑥, é igual a cinco vezes um, que é, obviamente, apenas cinco. Agora, o nosso limite à direita é muito mais fácil de calcular. Para isso, como estamos a aproximar de 𝑥 igual a três pela direita, consideramos o limite utilizando a nossa outra subfunção. Simplesmente, por substituição direta, descobrimos que esse limite é igual a cinco.

Como os limites à esquerda e à direita existem e são iguais ao mesmo valor, podemos concluir que o limite, quando 𝑥 tende para três de 𝑓 de 𝑥, também é igual a cinco. E antes, você deve se lembrar que descobrimos que 𝑓 de três também é igual a cinco. Como o limite, como 𝑥 se aproxima de três de 𝑓 de 𝑥, é igual a 𝑓 de três, concluímos que 𝑓 de 𝑥 é contínua quando 𝑥 é igual a três.

Se pensar sobre isto visualmente, isso significa que os dois pontos finais das nossas subfunções se unirão. Lembremos agora que, anteriormente, concluímos que 𝑓 de 𝑥 era contínua em todos os números reais, exceto três, que tivemos que verificar. E agora que verificamos três, estamos em posição de dizer que a nossa função 𝑓 de 𝑥 é contínua em todos os números reais. E esta é a resposta à nossa questão.

Para finalizar, vamos ver alguns pontos-chave. Uma função é contínua num intervalo se for contínua em todos os pontos dentro do referido intervalo. Uma função, que chamaremos de 𝑓 de 𝑥, é contínua num ponto, digamos que 𝑥 igual 𝑎, se o limite, quando 𝑥 tende para 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, for igual a 𝑓 de 𝑎. Aqui, notamos a implicação, em primeiro lugar, de que este limite existe e, em segundo lugar, de que a função está definida quando 𝑥 é igual a 𝑎.

Funções polinomiais, racionais, trigonométricas e exponenciais são contínuas nos seus domínios. E aqui, notamos que não é necessariamente todos os números reais. Além disso, somas, diferenças, produtos, quocientes e composições de funções contínuas também são contínuas nos pontos em que 𝑥 está definido corretamente.

Descontinuidades de uma função geralmente podem ser determinadas procurando valores de x que resultam numa divisão por zero. E estas podem ser descontinuidades removíveis ou essenciais. A fronteira nos intervalos das funções definidas por ramos deve ser verificada para garantir que as extremidades das subfunções estejam unidas. Se os limites à esquerda e à direita não forem iguais nesses pontos, o resultado será uma descontinuidade de salto. Se os limites à esquerda e à direita forem iguais, e ambos forem iguais à função calculada nesse ponto, a continuidade mantém-se.

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