Question Video: Utilizando Identidades de Ângulo Duplo para Simplificar Expressões Trigonométricas

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Simplifique cos ao quadrado de 52 menos sen quadrado de 52.

Para resolver este problema, vamos ter que usar uma fórmula de ângulo composto. E a fórmula que vamos usar é essa, que nos diz que cos dois 𝜃 é igual a cos ao quadrado 𝜃 menos sen ao quadrado 𝜃, que por sua vez é igual a cos ao quadrado 𝜃 menos um, que também é igual a um menos dois sen ao quadrado 𝜃.

Agora, como você pode ver, esta é uma fórmula longa que possui várias relações. Então, vamos dar uma olhada em como podemos dividir e decidir quais partes usaremos. Como podemos ver na pergunta, em nossa expressão, o que realmente fazemos é termos o mesmo ângulo em ambas as partes. Nós temos 52 graus. Em ambos os termos, temos cos ao quadrado 52 graus menos o sen ao quadrado 52 graus.

Então, se olharmos para a fórmula, podemos ver que nosso 𝜃 é igual a 52 graus. Isso significa que podemos reescrever nossa expressão como cos ao quadrado 𝜃 menos sem ao quadrado 𝜃, o que é fantástico, porque significa que agora podemos destacar a parte da fórmula do ângulo composto que vamos usar. Então, como você pode ver aqui a parte que eu destaquei, isso realmente representa isso: cos ao quadrado 𝜃 menos sen ao quadrado 𝜃.

Mas agora, se você quiser simplificá-lo totalmente, o que precisamos ver é qual das outras relações iremos escolher que nos ajudará a fazer isso. Mas como já foi apontado, já sabemos o valor de 𝜃. Essa relação aqui seria a melhor para escolher. Então, agora, podemos realmente usá-la de volta no lado esquerdo para escrever que cos ao quadrado 𝜃 menos sen ao quadrado 𝜃 é igual a cos dois 𝜃.

Certo, agora, a única coisa que precisamos fazer para nos ajudar a simplificá-la é na verdade substituir de volta, 𝜃 igual a 52 graus. Então isso significa que nós vamos obter cos ao quadrado 52 menos sen ao quadrado 52 é igual ao cosseno de dois multiplicado por 52. Assim, podemos dizer que cos ao quadrado 52 menos sen ao quadrado 52 é igual ao cosseno de 104 graus totalmente simplificado.

Ótimo! Chegamos à nossa resposta final, mas o que vamos fazer agora é verificar isso rapidamente. E para fazer isso, na verdade, vamos verificá-lo em uma calculadora. Então podemos começar colocando em nossa calculadora cos ao quadrado 52 menos sen ao quadrado 52. E isso nos dá menos 0.24 para duas casas decimais.

Lembrando-se, neste momento, de que a calculadora está em graus e, por isso, precisa ter um pequeno d ou deg no visor. Então, agora, vamos descobrir o que é o cosseno de 104 graus. Então nós digitamos isso em nossas calculadoras. E, como esperado, também obtemos menos 0.24 para duas casas decimais.

Ótimo! Portanto, podemos agora dizer que a nossa resposta totalmente verificada é que o cos ao quadrado 52 menos sen ao quadrado 52 é igual ao cosseno de 104 graus.