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Vídeo da aula: Ondas de Matéria Física • 9º Ano

Neste vídeo, vamos aprender como calcular o comprimento de onda de de Broglie de partículas maciças que têm um dado momento ou uma dada velocidade.

11:40

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos falar sobre ondas de matéria. As ondas de matéria falam sobre a surpreendente natureza ondulatória de objetos com massa, como eletrões, protões, átomos e moléculas. Para ver de onde veio esta ideia, é útil voltar à história por trás dela. No final do século 19 e no início do século 20, os cientistas estavam muito interessados em estudar a natureza da luz. Em parte, isso devia-se ao facto de que a luz, que por centenas de anos havia sido vista como uma onda, estava a começar a mostrar sinais de se comportar também como uma partícula. A natureza ondulatória da luz foi apoiada por observações de que a luz era capaz de difratar e interferir em si mesma, que são propriedades das ondas.

Mas então, a hipótese de que a luz também atua como uma partícula ajuda a explicar a radiação do corpo negro, bem como o efeito fotoelétrico. Isto era confuso e veio a ser chamado de dualidade onda-partícula da luz. Com tudo isto a acontecer no estudo da luz, um físico francês chamado Louis de Broglie teve uma ideia de como isto poderia aplicar-se à matéria. de Broglie afirmou que os objetos com massa se comportam como partículas, mas também se comportam como ondas. Na época, as pessoas estavam acostumadas a pensar na matéria — como protões, neutrões e eletrões — como partículas. Mas a noção de que a matéria também era uma onda parecia muito estranha. O que de Broglie quis dizer quando disse que a matéria é uma onda é que esta demonstra propriedades ondulatórias, em particular, que tem um comprimento de onda.

Agora, se voltarmos a falar sobre a luz, e em particular a luz como uma partícula, era sabido que estas partículas, chamadas fotões, cada uma possuía uma certa quantidade de energia. Esta energia, de acordo com uma equação desenvolvida por Albert Einstein, era igual ao momento 𝑝 do fotão multiplicado pela velocidade da luz no vazio 𝑐. E pensando em linhas diferentes, outro físico, chamado Max Planck, havia criado uma equação separadamente para a energia do fotão. Ao estudar a radiação do corpo negro, Planck disse que a energia de um fotão é igual a uma constante, o que veio a ser chamado de constante de Planck, multiplicada pela frequência do fotão. Ambas as equações de energia, Planck e Einstein, aplicam-se apenas a fotões e nada mais. Como observação lateral, podemos ver na equação de Planck a onda, bem como a natureza das partículas da luz. Esta relação aplica-se a partículas de luz, fotões, mas depende da frequência desta radiação, que é uma propriedade ondulatória.

De qualquer forma, combinando as equações de Einstein e Planck, podemos considerar a equação resultante, dividir os membros lados dela pelo momento do fotão vezes a sua frequência. Isto faz com que o momento 𝑝 seja anulado à esquerda e a frequência 𝑓 seja anulada à direita. E descobrimos que 𝑐 sobre 𝑓, a velocidade de um fotão dividida pela sua frequência, é igual à constante de Planck ℎ dividida pelo momento do fotão. Então, podemos lembrar que, para uma onda a viajar à velocidade da luz 𝑐, esta velocidade é igual à frequência da onda vezes o seu comprimento de onda. Ou se dividirmos ambos os membros da equação pela frequência, descobrimos que o comprimento de onda 𝜆 é igual a 𝑐 sobre 𝑓. Comparando esta equação com a equação que gerámos combinando as expressões de Einstein e Planck para a energia do fotão, podemos ver que o comprimento de onda 𝜆 pode ser substituído por 𝑐 sobre 𝑓. E assim o comprimento de onda 𝜆 é igual à constante de Planck ℎ sobre 𝑝, o momento.

Agora, lembre-se de que esta equação se aplica especificamente aos fotões. É baseado em equações de energia para esta partícula. Mas de Broglie, no seu trabalho, fez a suposição radical de que esta mesma equação poderia ser aplicada a partículas com massa. Especificamente, ele afirmou que se aplica a eletrões, ou seja, que os eletrões têm um comprimento de onda. E foi assim que surgiu a ideia de que a matéria é tanto uma onda quanto uma partícula. Agora, era importante que esta ideia, que as partículas com massa também têm um comprimento de onda, pudesse ser testada. A melhor maneira de fazer isso, decidiu-se, era ver se estas partículas, eletrões, se difratariam. Se o fizessem, estariam a demonstrar um comportamento ondulatório. Executar uma experiência para testar esta ideia, entretanto, não foi tão fácil quanto pode parecer. Isso porque estes comprimentos de onda que de Broglie previu que os eletrões teriam eram muito, muito pequenos.

Com base no valor conhecido da constante de Planck, bem como no valor conhecido da massa de um eletrão e dando um valor médio à sua velocidade, o comprimento de onda do eletrão foi previsto ser da ordem de 10 a menos 10 metros. Agora, a difração de onda é melhor observada ao passar uma onda por uma abertura quase tão larga quanto o comprimento de onda. 10 elevado a menos 10 metros é mais ou menos o diâmetro de um átomo, o que significa que, experimentalmente, para que a difração destes eletrões fosse demonstrada, um aparato com lacunas separadas por cerca desta largura, a largura de um átomo, seria necessário. Isto não foi pouca coisa, mas acabou por ser realizado. E quando foi, em apoio à hipótese de de Broglie, um padrão de difração dos eletrões foi revelado.

Assim, as pessoas começaram a pensar que de facto a matéria, não apenas os eletrões, mas objetos ainda maiores, comporta-se como uma onda. Isto pode levantar a questão, por que não experimentamos isto na nossa vida quotidiana? Por exemplo, por que não vemos coisas como, digamos, bolas de ténis a difratar? A resposta remonta a esta equação para o que é chamado de comprimento de onda de de Broglie de uma partícula. Sabendo que o momento 𝑝 é igual à massa de um objeto vezes a sua velocidade, se inserirmos o que poderíamos considerar valores padrão para a massa e a velocidade de uma bola de ténis. Digamos que a massa da nossa bola seja 60 gramas, ou 0.60 quilogramas, e que ela se mova a 10 metros por segundo. Então, se dividirmos esse produto pela constante de Planck, que é um número muito pequeno, 6.63 vezes 10 elevado a menos 34 joules segundos, obtemos um resultado para o comprimento de onda de de Broglie de uma bola de ténis, que é da ordem de 10 a menos 33 metros.

Ou seja, para ver uma bola de ténis difratar e, assim, se comportar como uma onda e fornecer evidências do seu comprimento de onda de de Broglie, precisaríamos utilizar uma abertura, uma fenda ou uma lacuna com cerca desta distância de largura. Isto é muitas ordens de magnitude menor do que até mesmo o raio de um núcleo atómico. Na nossa vida quotidiana, então, simplesmente não observaríamos este comportamento difratado. No entanto, os investigadores trabalharam para tentar demonstrar a difração de objetos cada vez maiores, de eletrões a protões a átomos e até mesmo a moléculas. Portanto, embora não possamos ver, agora entendemos que a matéria, como a luz, se comporta como uma onda e como uma partícula. Sabendo isto, vamos praticar agora o trabalho com o comprimento de onda de de Broglie de vários objetos.

Qual é o comprimento de onda de de Broglie de um eletrão que tem um momento de 4.56 vezes 10 elevado a menos 27 quilogramas metros por segundo? Utilize um valor de 6.63 vezes 10 elevado a menos 34 joules segundos para a constante de Planck. Apresente a sua resposta com três algarismos significativos.

Tudo bem, então neste exemplo, temos um eletrão. E um eletrão está a mover-se com certa velocidade. Como o eletrão tem massa e está em movimento, isso significa que tem um momento. E disseram-nos de quanto é este valor. Assim, conhecendo a massa de um eletrão, poderíamos retroceder, se quiséssemos, para resolver a sua velocidade. Em vez disso, o que queremos fazer é calcular o comprimento de onda de de Broglie desse eletrão. Para fazer isto, podemos lembrar que este comprimento de onda, vamos chamá-lo de 𝜆, é igual à constante de Planck ℎ dividida por 𝑝, o momento do objeto. Utilizando um valor de 6.63 vezes 10 elevado a menos 34 joules segundos para ℎ, somos capazes de utilizar este valor em conjunto com o momento 𝑝 do nosso eletrão para resolver o seu comprimento de onda de de Broglie. Então, aqui temos a nossa equação para o comprimento de onda de de Broglie do eletrão. Mas antes de calcularmos esta fração, vamos considerar as unidades nesta expressão.

Vemos que no numerador temos unidades de joules segundos. Um joule é igual a um newton vezes um metro. E um newton é igual a um quilograma vezes um metro dividido por um segundo ao quadrado, o que significa que podemos substituir o joule nas nossas unidades por quilogramas metro ao quadrado por segundo ao quadrado. Quando fazemos isso, vemos que podemos anular algumas destas unidades. No numerador, um fator de segundos será anulado. E então podemos ver que o numerador e o denominador têm um fator de um sobre os segundos. Então, isto também é anulado. E em conjunto com isto, as nossas unidades de quilogramas anulam-se mutuamente, assim como um fator de metros.

No final, a única unidade que resta é um único fator de metros. Isto é um bom sinal porque estamos a calcular uma distância, um comprimento de onda. Com cada um dos valores na nossa fração dada com três algarismos significativos, também queremos dar a nossa resposta com esta precisão. Isto resulta em 1.45 vezes 10 elevado a menos sete metro. Escrita em unidades que podem ser mais familiares, isto é igual a 145 nanómetros. Este é o comprimento de onda de De Broglie deste eletrão.

Vejamos agora um segundo exercício de exemplo.

Um protão tem uma massa em repouso de 1.67 vezes 10 elevado a menos 27 quilogramas. A que velocidade um protão teria que se mover para ter um comprimento de onda de de Broglie de 8.82 vezes 10 elevado a menos nove metro? Utilize um valor de 6.63 vezes 10 elevado a menos 34 joules segundos para a constante de Planck. Apresente a sua resposta com três algarismos significativos.

Ok, então neste exemplo, temos um protão. E disseram-nos que este protão tem uma massa em repouso, vamos chamá-la de 𝑚 índice zero, de 1.67 vezes 10 elevado a menos 27 quilogramas. Agora, a massa em repouso de um objeto é a massa que possui quando está a ser medido por um observador em repouso em relação ao objeto. Ou seja, em comparação com o observador, o objeto não está em movimento. O que queremos considerar é a velocidade com que um protão com esta massa em repouso precisa de se mover para ter este comprimento de onda específico de de Broglie, 8.82 vezes 10 elevado a menos nove metros.

Então, digamos que queremos resolver em ordem à velocidade 𝑣 deste protão. E em apoio a determinar isto, podemos dizer que o comprimento de onda de de Broglie dado do protão é representado por 𝜆 índice B. Neste ponto, podemos lembrar que o comprimento de onda de de Broglie de qualquer objeto é igual à constante de Planck ℎ dividido pelo momento deste objeto. Por outras palavras, é igual a ℎ dividido por 𝑚 vezes 𝑣, a massa do objeto e a sua velocidade.

Agora, no nosso caso, não é o comprimento de onda de de Broglie do protão que queremos resolver, mas sim a sua velocidade. Então, vamos reorganizar esta equação para resolver em ordem a 𝑣. Para fazer isto, vamos multiplicar ambos os membros por 𝑣 dividido por 𝜆 B. Isto anula o comprimento de onda de de Broglie à esquerda. E anula a velocidade 𝑣 à direita. Então, a velocidade do protão que queremos resolver é igual à constante de Planck dividida pela massa do protão vezes o seu comprimento de onda de de Broglie. Em relação a estes valores, devemos utilizar um valor de 6.63 vezes 10 elevado a menos 34 joules segundos para ℎ. Deram-nos o comprimento de onda de de Broglie 𝜆 B do protão. E para a sua massa, utilizaremos a sua massa de repouso, 𝑚 índice zero, dada como 1.67 vezes 10 elevado a menos 27 quilogramas.

Com todos estes valores inseridos, observe que todos os três são dados com uma precisão de três algarismos significativos. A nossa resposta final então terá este mesmo número. Calculando este resultado, obteremos uma resposta de 45.0 metros por segundo. Esta é uma velocidade bastante baixa, certamente não relativista. E é a velocidade que o protão precisa de ter para ter o comprimento de onda de de Broglie dado.

Vamos agora resumir o que aprendemos sobre ondas de matéria. Começando, vimos que as ondas de matéria, também chamadas de ondas de de Broglie, referem-se à natureza ondulatória de objetos com massa, por exemplo, eletrões. Vimos além disso que objetos com massa têm um comprimento de onda que depende da sua massa e da sua velocidade. Este comprimento de onda é conhecido como comprimento de onda de de Broglie. E é igual à constante de Planck dividida pelo momento do objeto ou, equivalentemente, a constante de Planck dividida pela massa do objeto vezes a sua velocidade. Por último, vimos que o comprimento de onda de de Broglie de um objeto de tamanho comum é muito pequeno. Isso ajuda-nos a entender por que é que a natureza ondulatória da matéria não é facilmente percetível.

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