Lesson Video: Probabilidade Condicionada

Video Transcript

Neste vídeo, aprenderemos sobre probabilidade condicionada. Vamos recapitular algumas regras básicas de probabilidade, examinar acontecimentos mutuamente exclusivos ou separados, brincar com diagramas de Venn e aprender como descobrir se dois acontecimentos são independentes. Em primeiro lugar, porém, vamos relembrar algumas regras de probabilidade.

(1) Representamos probabilidades na escala de probabilidade, com números de zero a um. (2) Algo precisa de acontecer; se somarmos todas as probabilidades de todos os resultados possíveis, elas devem chegar a um. Algo acontece ou não acontece. (3) Utilizamos a notação 𝐴 com uma barra nela ou 𝐴 linha para representar o complementar de 𝐴 ou o acontecimento de que 𝐴 não ocorre. Se sabemos a probabilidade de que o acontecimento 𝐴 ocorra, se subtrairmos isto de um, sabemos a probabilidade de que o acontecimento 𝐴 não ocorra. Podemos representar isto num diagrama de Venn. Se o círculo A representa ocasiões em que o acontecimento 𝐴 ocorre, a área sombreada do lado de fora representa todas as ocasiões em que não ocorre.

(4) A probabilidade de que o acontecimento 𝐴 ocorra ou o acontecimento 𝐵 ocorra é conhecida como probabilidade de 𝐴 união 𝐵. E isto pode ser representado num diagrama de Venn como este. (5) A probabilidade de que o acontecimento 𝐴 ocorra e o acontecimento 𝐵 ocorra é conhecida como a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. E isto pode ser representado num diagrama de Venn como este. (6) A probabilidade de que o acontecimento 𝐴 ocorra, mas o acontecimento 𝐵 não possa ser representado pela interseção de 𝐴 com o complementar de 𝐵. E fica assim no diagrama de Venn. E uma maneira alternativa de escrever isto é a probabilidade de 𝐴 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵.

A seguir, vamos recapitular o nosso conhecimento de acontecimentos mutuamente exclusivos ou disjuntos. Por exemplo, um animal pode ser um gato ou um cão. Mas não pode ser um gato e um cão. Portanto, ser um gato e um cão são acontecimentos mutuamente exclusivos ou disjuntos. E quando este for o caso, a probabilidade de obter uma interseção destes dois acontecimentos é zero. E como não há sobreposição, se quisermos determinar a probabilidade de que um animal seja um gato ou um cão, precisamos simplesmente de somar as probabilidades de ser um gato e a probabilidade de ser um cão. Agora, com acontecimentos não mutuamente exclusivos ou não separados, dois acontecimentos podem ocorrer juntos. Por exemplo, uma pessoa pode gostar de gatos ou de cães. Podem até gostar de gatos e cães. Assim, gostar de gatos e gostar de cães não são acontecimentos mutuamente exclusivos ou disjuntos.

Portanto, neste caso, precisamos de ter cuidado com o modo como calculamos a probabilidade de uma pessoa gostar de gatos ou cães, a união de gostar de gatos e gostar de cães. Esta região sombreada a rosa representa pessoas que gostam de gatos e esta região sombreada a verde representa pessoas que gostam de cães. Portanto, se apenas adicionarmos a probabilidade de que alguém goste de gatos e a probabilidade de que alguém goste de cães, teremos contado duas vezes esta região do meio. Portanto, precisamos de fazer um ajuste para isto no nosso cálculo. Portanto, a nossa fórmula geral é que a probabilidade de 𝐴 união 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 mais a probabilidade de 𝐵 menos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵.

Certo, agora revimos o que já sabemos. Vamos falar sobre probabilidade condicionada. Se a probabilidade de um acontecimento 𝐵 é afetada pela ocorrência de um acontecimento 𝐴, dizemos que a probabilidade de 𝐵 é condicionada à ocorrência de 𝐴. E podemos escrever isto desta maneira, um 𝐵 com uma reta vertical seguida por 𝐴. E dizemos a probabilidade de 𝐵 dado 𝐴. Ok, vamos ver um exemplo agora em que os acontecimentos não são separados ou mutuamente exclusivos. Isto leva-nos a uma situação em que a probabilidade de um acontecimento é condicionada à probabilidade do outro.

Na rua, 10 casas têm um gato, C, oito casas têm um cão, D, três casas têm ambos e sete casas não têm nenhum. Agora, esta questão vem em três partes. Vamos ver a primeira parte. Determine o número total de casas na rua. Portanto, determine a probabilidade de que uma casa escolhida ao acaso tenha um gato e um cão. Apresente a sua resposta com três casas decimais.

Agora, uma ótima maneira de resolver esta questão é desenhar um diagrama de Venn. Neste caso, o conjunto universal para um diagrama de Venn é todas as casas na rua. O círculo à esquerda representa as casas que têm um gato. O círculo à direita representa as casas que têm um cachorro. E a interseção destes dois círculos são as casas que têm ambos. Qualquer coisa que esteja fora dos círculos, mas dentro do retângulo, é uma casa que não tem gato nem cachorro. Agora, disseram-nos que 10 casas têm um gato, mas serão distribuídas por casas que têm apenas um gato e casas que têm um gato e um cão. Da mesma forma, as oito casas que têm um cão serão distribuídas entre as casas que têm apenas um cão e aquelas que têm um gato e um cão.

Então, será mais fácil para nós começar por olhar para as casas que têm um gato e um cachorro, e há três delas. E há 10 casas que têm um gato e três destas são casas que também têm um cão. Então, sobra 10 menos três, ou seja, sete casas, que têm apenas um gato. E das oito casas que têm um cachorro, três delas também têm um gato, então fica oito menos três, que são cinco, que têm apenas um cachorro. E, por último, também nos disseram que sete casas não têm um gato nem um cão. Então são sete aqui.

Portanto, o número total de casas na rua é composto pelas sete casas que têm apenas um gato, as cinco casas que têm apenas um cão, as três casas que têm um gato e um cão e as sete casas que não têm um gato nem tem um cão. E quando soma isto, obtém 22. Agora temos que determinar a probabilidade de que uma casa escolhida ao acaso tenha um gato e um cão. Uma maneira de pensar sobre esta questão da probabilidade é que proporção de casas na rua tem um gato e um cão. Bem, vimos que três casas têm um gato e um cão, e são 22 casas no total. Portanto, a proporção de casas com um gato e um cão é de três sobre 22. E se estiver a escolher as casas ao acaso, a probabilidade de escolher uma casa com um gato e um cão é a mesma que esta proporção. E com três casas decimais, isto dá 0.316.

A parte dois da questão pergunta, determine a probabilidade de que uma casa na rua tenha um gato ou um cachorro ou ambos. Apresente a sua resposta com três casas decimais.

Ok, então assumindo que a casa será escolhida ao acaso. É apenas uma questão de contar os casos em que as casas têm um gato ou um cão ou ambos do nosso diagrama de Venn. E a probabilidade que procuramos é apenas o número de casas com um gato ou um cão ou ambos como proporção do número total de casas na rua. Portanto, sete casas têm apenas um gato, cinco casas têm apenas um cão e três casas têm ambos. Então são 15 casas. E vimos anteriormente que o número total de casas era 22. Portanto, a probabilidade que estamos à procura é de 15 sobre 22. E arredondada com três casas decimais, isto dá 0.682.

Agora, a parte três é uma questão de probabilidade condicionada. Se uma casa na rua tem um gato, determine a probabilidade de que também haja um cão a viver lá.

Então, nos deram o facto de que a casa tem um gato a viver lá. Dado este facto, qual é a probabilidade de que também haja um cão a viver lá? Olhando para o nosso diagrama de Venn, então, imediatamente, podemos desconsiderar todos os casos de casas que não têm gatos. Então podemos pensar nesta questão como, das casas que têm gatos, que proporção também tem cães? Estamos apenas a olhar para estas sete casas e estas três casas. Isto é um total de 10 casas que têm gatos. E destas 10 casas, apenas estas três também têm um cão. Três das 10 casas que têm gatos também têm um cão. Portanto, a probabilidade de que uma casa tenha um cão, dado que tem um gato, é de três décimas. Agora, demos as nossas outras respostas como números decimais, então vamos fazer isso aqui também. A probabilidade de uma casa ter um cão, dado que tem um gato, é 0.3.

Agora, antes de passarmos para o nosso próximo exemplo, vamos generalizar este último resultado. O facto de a casa ter um gato deu-nos um subconjunto de casos a considerar. Limitamos o nosso âmbito a apenas observar as casas que tinham gatos. E, como estamos a olhar apenas para casas que têm gatos, as casas que têm cães também devem ter gatos. Portanto, a probabilidade de uma casa ter um cão, dado que tem um gato, é igual à probabilidade de interseção de cães com gatos sobre a probabilidade de gatos. Ou, mais geralmente, a probabilidade de 𝐴 dado 𝐵 é a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 sobre a probabilidade de 𝐵.

Suponha que 𝐴 e 𝐵 sejam dois acontecimentos. Dado que a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é de dois terços e a probabilidade de 𝐴 é de nove treze avos, determine a probabilidade de 𝐵 dado 𝐴.

Agora pode recordar-se da fórmula geral para a probabilidade condicionada de que a probabilidade de 𝐴 dado 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 sobre a probabilidade de 𝐵. Mas pediram-nos para determinar a probabilidade de 𝐵 dado 𝐴. Então, vamos inverter 𝐴 e 𝐵 na nossa fórmula. Bem, isto é ótimo. Estamos à procura da probabilidade de 𝐵 dado 𝐴. Deram-nos a probabilidade 𝐴 na questão, mas deram-nos a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵, não 𝐵 interseção 𝐴. Mas vamos considerar um diagrama de Venn.

A região 𝐴 interseção 𝐵 é a mesma que a região 𝐵 interseção 𝐴. Portanto, uma fórmula equivalente é a probabilidade de 𝐵 dado 𝐴 igual à probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 sobre a probabilidade de 𝐴. Disseram-nos que a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é de dois terços e a probabilidade de 𝐴 é de nove treze avos. Portanto, a probabilidade de 𝐵 dado 𝐴 é de dois terços divididos por nove treze avos. E um cálculo equivalente a dividir por nove treze avos é multiplicar pelo inverso, 13 sobre nove, o que nos dá a nossa resposta. A probabilidade de 𝐵 dado 𝐴 é de 26 sobre 27.

Então, agora vimos que podemos atacar questões de probabilidade condicionada utilizando diagramas de Venn ou utilizando a fórmula de probabilidade condicionada. Mas a fórmula de probabilidade condicionada tem um uso especial extra. Pode ajudar-nos a determinar se dois acontecimentos são independentes ou dependentes.

Agora, acontecimentos independentes são aqueles em que o resultado de um acontecimento não é completamente afetado pelo resultado de outro acontecimento. Por exemplo, se eu lançar uma moeda e rolar um dado, terei cara ou coroa na moeda e um ou dois ou três ou quatro ou cinco ou seis nos dados. Agora, independentemente de a moeda cair, cara ou coroa, isto não terá nenhum impacto sobre se eu vou conseguir um, dois, três, quatro, cinco ou seis. Estas probabilidades são completamente independentes das probabilidades de cara e coroa ao jogar uma moeda.

Mas com acontecimentos dependentes, o resultado de um acontecimento é afetado pelo resultado de outro acontecimento. Por exemplo, digamos que temos um saco com dois doces: um é de morango e o outro é de laranja. Se a pessoa um chega e retira um doce ao acaso e o come, então, dos dois doces, é igualmente provável que retire de morango ou de laranja. A probabilidade em cada caso é um meio. Agora, se criarmos um segundo acontecimento, onde a pessoa dois vem depois da pessoa um ter comido o seu doce e retira um doce ao acaso do saco e o come, nós realmente não sabemos qual é a probabilidade de obter de morango ou de laranja. Tudo depende da pessoa que o comeu.

Se a pessoa um comeu o doce de morango, então a probabilidade da segunda pessoa obter um doce de morango é zero e a probabilidade de obter um doce de laranja é um, enquanto se a primeira pessoa comeu o doce de laranja, agora a probabilidade da segunda pessoa obter um morango é um e a probabilidade de obterem uma laranja é zero. A probabilidade dos diferentes resultados do segundo acontecimento depende dos resultados do primeiro acontecimento. Agora, para calcular a probabilidade de ambos os acontecimentos ocorrerem, a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 com acontecimentos independentes, podemos simplesmente multiplicar as suas probabilidades individuais.

Mas também sabemos pela fórmula da probabilidade condicionada que a probabilidade de 𝐴 dado 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 sobre a probabilidade de 𝐵. E podemos reorganizar isto para isolar a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. E isto é igual à probabilidade de 𝐴 dado 𝐵 vezes a probabilidade de 𝐵. Bem, isto dá-nos duas expressões diferentes para a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵. E deve significar que a probabilidade de 𝐴 é igual à probabilidade de 𝐴 dado 𝐵. E, é claro, invertendo 𝐴 e 𝐵, podemos ver que a probabilidade de 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐵 dado 𝐴.

Agora, isto dá-nos uma espécie de definição de independência, ou pelo menos uma maneira de verificar se os acontecimentos são independentes. Se a probabilidade do primeiro acontecimento ocorrer é a mesma, independentemente do segundo acontecimento ocorrer ou não, são independentes. Novamente, podemos ver que a probabilidade de 𝐵 é a mesma, independentemente de o acontecimento 𝐴 ter ocorrido ou não. Portanto, se ambas as equações forem válidas, podemos dizer que os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são independentes. Então, vamos ver como isto funciona numa questão.

Suponha que a probabilidade de 𝐴 seja de dois quintos e a probabilidade de 𝐵 seja de três sétimos. A probabilidade de que o acontecimento 𝐴 ocorra e o acontecimento 𝐵 também ocorra é de um quinto. Calcule a probabilidade de 𝐴 dado 𝐵 e depois calcule se os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são independentes.

Bem, primeiro, vamos recordar a fórmula da probabilidade condicionada. A probabilidade de 𝐴 dado 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 sobre a probabilidade de 𝐵. Bem, a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é a probabilidade de que o acontecimento 𝐴 ocorra e o acontecimento 𝐵 também ocorra, o que nos foi dado na questão é um quinto. E também nos disseram na questão que a probabilidade do acontecimento 𝐵 ocorrer é de três sétimos. Portanto, a probabilidade de 𝐴 dado 𝐵 é um quinto dividido por três sétimos. E, é claro, uma operação equivalente a dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso dessa fração. Então, isto é igual a um quinto vezes sete sobre três. Bem, aqui está a resposta para a nossa primeira parte da questão. A probabilidade de 𝐴 dado 𝐵 é igual a sete quinze avos.

Para a segunda parte da questão, vamos relembrar o nosso teste de independência utilizando as fórmulas de probabilidade condicionada. Se a probabilidade de 𝐴 é igual à probabilidade de 𝐴 dado 𝐵 e a probabilidade de 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐵 dado 𝐴, então podemos dizer que os acontecimentos 𝐴 e 𝐵 são independentes. Agora, a questão disse-nos que a probabilidade de 𝐴 é de dois quintos. Portanto, o próximo passo é calcular a probabilidade de 𝐴 dado 𝐵. Bem, de facto, foi isto que descobrimos na primeira parte da questão. Então, sabemos que a probabilidade de 𝐴 dado 𝐵 é de sete quinze avos.

Agora, se dois quintos é o mesmo que sete quinze avos, precisaremos de verificar se a probabilidade de 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐵 dado 𝐴. Agora, para comparar dois quintos e sete quinze avos, precisamos de um denominador comum. Podemos fazer isto multiplicando o numerador e o denominador por três e dois quintos torna-se seis quinze avos. Isto significa que a probabilidade de 𝐴 não é igual à probabilidade de 𝐴 sabendo 𝐵. E o facto de precisarmos de que ambas as condições sejam verdadeiras para provar a independência dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵, o facto de termos mostrado que a probabilidade de 𝐴 não é igual à probabilidade de 𝐴 dado 𝐵, significa que sabemos que estes dois acontecimentos não são independentes. Nem precisamos de verificar se a probabilidade de 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐵 sabendo 𝐴.

Agora, vamos repassar alguns pontos-chave da nossa aula. Se a probabilidade do acontecimento 𝐵 é afetada pelo resultado do acontecimento 𝐴, então dizemos que a probabilidade do acontecimento 𝐵 é condicionada ao acontecimento 𝐴. Podemos representar isto utilizando a notação, a probabilidade de 𝐵 dado 𝐴. Isto é um 𝐵 com uma reta vertical, depois um 𝐴. Temos uma fórmula para calcular probabilidades condicionadas. A probabilidade do acontecimento 𝐴 ocorrer, dado que o acontecimento 𝐵 ocorreu, é igual à probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 dividida pela probabilidade do acontecimento 𝐵 ocorrer.

E também temos um teste para a independência dos acontecimentos 𝐴 e 𝐵. Estes são independentes, se a probabilidade de 𝐴 for igual à probabilidade de 𝐴 sabendo 𝐵 e a probabilidade de 𝐵 for igual à probabilidade de 𝐵 sabendo 𝐴. E, finalmente, também vimos como os diagramas de Venn podem ser uma ótima maneira de responder a questões de probabilidade condicionada. E também podem ajudar a verificar as suas respostas, se utilizar as fórmulas.