Lesson Video: Derivação Implícita

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Neste vídeo, aprenderemos como usar a derivação implícita para nos ajudar a encontrar a derivada de funções expressas implicitamente como funções de 𝑥. A maioria dos problemas de derivação que você terá encontrado até agora terá envolvido funções escritas explicitamente como funções de 𝑥, como 𝑦 é igual a três 𝑥 ao quadrado sen 𝑥. Neste vídeo, vamos explorar como a derivação implícita, que é uma extensão da regra da cadeia, nos permite derivar facilmente equações como a equação cartesiana de um círculo, 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é igual a um, por exemplo. Também vamos explorar o que isso significa para a segunda derivada e derivadas de ordem superior.

A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas. Ela diz que para duas funções deriváveis, 𝑔 e ℎ, tal que 𝑓 é a função composta 𝑔 de ℎ de 𝑥, a derivada de 𝑓 é a derivada de ℎ de 𝑥 vezes a derivada de 𝑔 calculada em ℎ de 𝑥. No entanto, é mais intuitivo escrever isso como d𝑦 por d𝑥 igual a d𝑢 por d𝑥 vezes d𝑦 por d𝑢, onde 𝑦 é uma função de 𝑢 e 𝑢 é uma função de 𝑥. Vamos demonstrar como essa regra da cadeia pode nos ajudar a encontrar a derivada de uma função implícita.

Considere a equação 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado é igual a um. Usando a derivação implícita, encontre uma expressão para d𝑦 por d𝑥 em termos de 𝑥 e 𝑦. E há uma segunda parte para esta questão. Para o semicírculo em que 𝑦 é maior ou igual a zero, expresse 𝑦 explicitamente em termos de 𝑥, então, derive essa expressão para obter uma expressão para d𝑦 por d𝑥 em termos de 𝑥.

Vamos começar com a primeira parte. Para derivar a função implicitamente, vamos começar por derivar ambos os lados da equação em relação a 𝑥. Isso provavelmente vai parecer um pouco estranho, mas tenha paciência comigo. Dizemos que a derivada de 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado em relação a 𝑥 é igual à derivada de um em relação a 𝑥. E nós absolutamente devemos fazer isso para ambos os lados da equação. Em seguida, derivamos o que podemos. É bastante simples derivar um em relação a 𝑥. É simplesmente zero. Mas como podemos derivar 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado?

Bem, a derivada de 𝑥 ao quadrado é dois 𝑥. Mas a derivada de 𝑦 ao quadrado é um pouco mais estranha. Sabemos que 𝑦 ao quadrado é uma função de 𝑦. E, por sua vez, 𝑦 é uma função de 𝑥. Então, aqui, podemos usar a regra da cadeia. Dizemos que a derivada de 𝑦 ao quadrado em relação a 𝑥 é igual à derivada de 𝑦 ao quadrado em relação a 𝑦 vezes a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥. Bem, a derivada de 𝑦 ao quadrado em relação a 𝑦 é dois 𝑦. E a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥 é simplesmente d𝑦 por d𝑥. Então nossa equação agora se torna dois 𝑥 mais dois 𝑦 d𝑦 por d𝑥 igual a zero.

Lembre-se, queremos uma equação para a derivada. Então vamos fazer d𝑦 por d𝑥 subtraindo dois 𝑥 de ambos os lados da nossa equação. Isso nos dá dois 𝑦 d𝑦 por d𝑥 é igual a menos dois 𝑥. Em seguida, vamos dividir por dois 𝑦. E vemos que d𝑦 por d𝑥 é igual a menos dois 𝑥 dividido por dois 𝑦. Bem, os dois cancelam. E encontramos uma expressão para d𝑦 por d𝑥 em termos de 𝑥 e 𝑦; é menos 𝑥 sobre 𝑦.

Para a parte dois desta pergunta, vamos voltar à nossa equação original. E vamos começar isolando 𝑦 na equação. Isso está expressando 𝑦 explicitamente em termos de 𝑥. Podemos subtrair 𝑥 ao quadrado de ambos os lados. E então nós pegamos a raiz quadrada de ambos os lados da equação. Agora, geralmente, tomamos pela raiz quadrada positiva e negativa. Aqui, porém, nos é dito que o semicírculo é tal que 𝑦 é maior ou igual a zero. Então, vamos considerar apenas a raiz quadrada positiva. E nós temos uma função explícita em 𝑥.

Agora, escrevendo isso como um menos 𝑥 ao quadrado elevado a um meio, podemos ver que podemos usar a regra de potência geral para derivá-lo. Isto diz que se 𝑢 é alguma função em 𝑥, a derivada de 𝑢 à potência de 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a 𝑛 vezes 𝑢 à potência de 𝑛 menos um multiplicado pela derivada de 𝑢 em relação a 𝑥. E isto é claro quando 𝑛 é um número real. Assim, a derivada de um menos 𝑥 ao quadrado elevado a um meio é um meio vezes um menos 𝑥 ao quadrado elevado a menos um meio multiplicada por d𝑢 por d𝑥. Mas, na verdade, 𝑢 é igual a um menos 𝑥 ao quadrado. Portanto, a derivada de 𝑢 em relação a 𝑥 é apenas menos dois 𝑥. Mais uma vez, temos alguns dois para cancelar. E nossa expressão para d𝑦 por d𝑥 em termos de 𝑥 é menos 𝑥 sobre a raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado.

Observe que, como dissemos que 𝑦 era igual à raiz quadrada de um menos 𝑥 ao quadrado, poderíamos ter escrito isso como d𝑦 por d𝑥 igual a menos 𝑥 sobre 𝑦. E essa é a mesma resposta que recebemos na primeira parte desta pergunta. E, claro, devemos lembrar que 𝑦 não pode ser igual a zero aqui. Agora, este exemplo demonstra alguns pontos importantes. Em primeiro lugar, embora fosse fácil expressar essa relação como uma função explícita, era mais fácil derivar usando derivação implícita.

E, em geral, quando estamos derivando implicitamente, podemos usar a seguinte versão da regra da cadeia. Isto diz que a derivada de uma função em 𝑦 em relação a 𝑥 é igual à derivada dessa função em 𝑦 em relação a 𝑦 vezes d𝑦 por d𝑥. É realmente útil decorar esta versão da regra da cadeia na memória. Vamos agora aplicá-la a um exemplo mais complicado.

Encontre d𝑦 por d𝑥 por derivação implícita se menos 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥 for igual a quatro 𝑥𝑦 mais dois 𝑥.

Para derivar essa função implicitamente, começamos por derivar os dois lados da equação em relação a 𝑥. Começamos por escrever isto como d por d𝑥 de menos 𝑒 elevado a 𝑦 vezes sen 𝑥 igual a d por d𝑥 de quatro 𝑥𝑦 mais dois 𝑥. Vamos derivar cada termo em relação a 𝑥. Bem, a derivada de dois 𝑥 é direta; é apenas dois. Teremos que usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia para derivar quatro 𝑥𝑦 e menos 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥. A versão especial da regra da cadeia que precisamos diz que a derivada de 𝑓 de 𝑦 em relação a 𝑥 é igual à derivada de 𝑦 em relação a 𝑦 vezes d𝑦 por d𝑥. E a regra do produto diz que a derivada de 𝑢 vezes 𝑣 é igual a 𝑢 vezes a derivada de 𝑣 mais 𝑣 vezes a derivada de 𝑢.

Começaremos derivando quatro 𝑥𝑦. Vamos deixar 𝑢 ser igual a quatro 𝑥 e 𝑣 ser igual a 𝑦. Então a derivada de 𝑢 em relação a 𝑥 é simplesmente quatro. A derivada de 𝑣 em relação a 𝑥 é igual à derivada de 𝑦 em relação a 𝑦 que é um vezes d𝑦 por d𝑥 que é simplesmente d𝑦 por d𝑥. 𝑢 vezes d𝑣 por d𝑥 é então quatro 𝑥 multiplicado por d𝑦 por d𝑥. E 𝑣 multiplicado por d𝑢 por d𝑥 é igual a 𝑦 vezes quatro. E, portanto, o lado direito da nossa equação é quatro 𝑥 d𝑦 por d𝑥 mais quatro 𝑦 mais dois. Vamos agora repetir este processo para menos 𝑒 elevado a 𝑦 vezes sen 𝑥.

Desta vez, digamos 𝑢 é igual a menos 𝑒 à potência de 𝑦 e 𝑣 é igual a sen 𝑥. A derivada de sen 𝑥 é cos 𝑥. E então a derivada de 𝑢 em relação a 𝑥 é igual à derivada de menos 𝑒 elevado a 𝑦 em relação a 𝑦, que é menos 𝑒 elevado a 𝑦, vezes d𝑦 por d𝑥. E quando usamos a regra do produto, vemos que d𝑦 por d𝑥 é igual a menos 𝑒 elevado a 𝑦 cos 𝑥 menos 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥 d𝑦 por d𝑥. Então nossa equação é agora como mostrada. Lembre-se, estamos tentando encontrar uma equação para d𝑦 por d𝑥. Então vamos reorganizar e isolar d𝑦 por d𝑥. Quando o fazemos, vemos que menos 𝑒 elevado a 𝑦 cos 𝑥 menos quatro 𝑦 menos dois é igual a quatro 𝑥 mais 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥 tudo multiplicado por d𝑦 por d𝑥.

Agora, podemos fatorar menos um no lado esquerdo. E então, nós nos dividimos por quatro 𝑥 mais 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥. E vemos que d𝑦 por d𝑥 é igual a menos 𝑒 elevado a 𝑦 cos 𝑥 mais quatro 𝑦 mais dois sobre quatro 𝑥 mais 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥. E, é claro, essa derivada permanece quando o denominador não é igual a zero, quando quatro 𝑥 mais 𝑒 elevado a 𝑦 sen 𝑥 não é igual a zero. É bastante comum usar a derivação implícita para encontrar a equação de uma tangente a uma curva definida implicitamente. Em nosso próximo exemplo, veremos como podemos usar a derivação implícita para resolver um problema desse tipo.

A equação 𝑦 ao quadrado menos 24𝑥 ao cubo mais 24𝑥 igual a zero descreve uma curva no plano. 1) Encontre as coordenadas de dois pontos nesta curva, onde 𝑥 é igual a menos um meio. 2) Determine a equação da tangente nos pontos onde 𝑥 é igual a menos um meio e a coordenada 𝑦 é positiva. 3) Encontre as coordenadas de outro ponto, se existir, no qual a tangente encontra a curva.

Para a primeira parte, para encontrar os pontos em que 𝑥 é igual a menos um meio, vamos substituir este valor de 𝑥 em nossa equação e resolver por 𝑦. Isso é 𝑦 ao quadrado menos 24 vezes menos um meio ao cubo mais 24 vezes menos um meio. E isso é igual a zero. Quando calculamos isso, obtemos 𝑦 ao quadrado mais três menos 12 igual a zero ou 𝑦 ao quadrado menos nove igual a zero. Vamos resolver essa equação adicionando nove a ambos os lados.

E nosso último passo é encontrar a raiz quadrada de ambos os lados desta equação, lembrando-se de tomar as raízes quadradas positivas e negativas de nove. A raiz quadrada de nove é três. Então, vemos que 𝑦 é igual a três e menos três, quando 𝑥 é igual menos um meio. Em forma de coordenada, isso é menos um meio, três e menos um meio, menos três.

Agora consideramos a parte dois. Precisamos encontrar a equação da tangente em um ponto onde 𝑥 é igual a menos um meio e a coordenada 𝑦 é positiva. Essa é a coordenada menos um meio, três. Primeiro, porém, precisamos encontrar o gradiente da tangente à curva. Esta será a derivada da equação para a curva calculada em 𝑥 igual a menos um meio e 𝑦 igual a três. Então, vamos derivar nossa equação implicitamente. Isso é d por d𝑥 de 𝑦 ao quadrado menos 24𝑥 ao cubo mais 24𝑥 é igual a d por d𝑥 de zero. A derivada de 𝑦 ao quadrado é a derivada de 𝑦 ao quadrado em relação a 𝑦 vezes a derivada de 𝑦 em relação a 𝑥. São dois 𝑦 d𝑦 por d𝑥. A derivada de menos 24𝑥 ao cubo é três vezes menos 24𝑥 ao quadrado. Isso é menos 72 𝑥 ao quadrado. A derivada de 24𝑥 é 24. E a derivada de zero é zero.

Assim, vemos que dois 𝑦 d𝑦 por d𝑥 menos 72𝑥 ao quadrado mais 24 é igual a zero. Precisamos de uma equação para d𝑦 por d𝑥. Então vamos reorganizar para isolar d𝑦 por d𝑥. Adicionamos 72 𝑥 ao quadrado de ambos os lados desta equação e subtraímos 24. Em seguida, vamos dividir por dois 𝑦. E vemos que d𝑦 por d𝑥 é igual a 72𝑥 ao quadrado menos 24 sobre dois 𝑦, o que simplifica para 36𝑥 ao quadrado menos 12 sobre 𝑦. Lembre-se, queremos encontrar o gradiente da tangente da curva em menos um meio, três. Então, vamos substituir 𝑥 igual a menos um meio e 𝑦 igual a três à equação da derivada. Quando o fazemos, vemos que o gradiente da nossa tangente é 36 vezes menos um meio ao quadrado menos 12 tudo sobre três, que é menos um.

Finalmente, substituímos o que sabemos sobre nossa tangente na equação de uma linha reta. E obtemos 𝑦 menos três é igual a menos um vezes 𝑥 menos menos um meio. Distribuindo os parênteses e simplificando então reorganizando para 𝑦, obtemos 𝑦 igual a cinco sobre dois menos 𝑥.

E agora nós consideramos a parte três. Precisamos encontrar um ponto, se existir, onde a tangente encontra a curva novamente. Nós, portanto, queremos resolver simultaneamente as equações 𝑦 ao quadrado menos 24𝑥 ao cubo mais 24𝑥 igual a zero e 𝑦 igual a cinco sobre dois menos 𝑥. Podemos conseguir isso substituindo 𝑦 é igual a cinco sobre dois menos 𝑥 na equação original da curva. Isso nos dá cinco sobre dois menos 𝑥 tudo ao quadrado menos 24 𝑥 ao cubo mais 24 𝑥 é igual a zero. Expandindo os parênteses e multiplicando por menos um, e acabamos com a equação mostrada.

Em seguida, poderíamos resolver isso usando uma calculadora científica. Alternativamente, sabemos que 𝑥 é igual a menos um meio é a raiz dessa equação. E podemos, portanto, fatorar 𝑥 mais um meio. E podemos fazer isso usando de divisão longa ou correspondendo coeficientes. O primeiro passo para equacionar coeficientes seria escrever a equação mostrada. E embora esteja fora do escopo deste vídeo gastar muito tempo realizando isso, devemos descobrir que 𝑎 é igual a 24, 𝑏 é menos 13 e 𝑐 é menos 25 sobre dois. E você pode pausar o vídeo aqui se quiser e ver se consegue concluir essa etapa sozinho.

Nosso último passo é resolver a equação quadrática de 24𝑥 ao quadrado menos 13𝑥 menos 25 sobre dois. E poderíamos fazer isso usando a fórmula quadrática ou completando o quadrado. Quando resolvemos isso, vemos que 𝑥 é igual menos um meio. Então isso é uma raiz repetida. E 𝑥 é igual a 25 sobre 24. Estamos encontrando as coordenadas, então substituímos 𝑥 é igual a 25 sobre 24 na equação cinco sobre dois menos 𝑥. E isso nos dá um valor de 𝑦 de 35 sobre 24. E então a tangente com equação 𝑦 é igual a cinco sobre dois menos 𝑥, encontra a curva em menos um meio, três e vinte e cinco vinte e quatro avos, trinta e cinco vinte e quatro avos. Em nosso último exemplo, veremos como a derivação implícita pode nos ajudar a encontrar derivadas de ordem superior.

Dado que dois sen 𝑦 menos cinco cos 𝑥 é igual a menos quatro, determine a segunda derivada de 𝑦 por derivação implícita.

Para encontrar a segunda derivada de 𝑦, às vezes chamada de 𝑦 duas linhas, precisaremos derivar nossa função duas vezes. Observe como a função em si é expressa implicitamente como funções de 𝑥. Então, vamos usar a derivação implícita e começar a encontrar a derivada de ambos os lados. Agora, a derivada de menos quatro em relação a 𝑥 é bastante fácil de resolver. É apenas zero. Similarmente, podemos encontrar a derivada de menos cinco cos 𝑥 em relação a 𝑥. Isso é cinco sen 𝑥. Mas e a derivada de dois sen 𝑦 em relação a 𝑥? Bem, aqui nós usamos uma versão especial da regra da cadeia. Isto diz que a derivada de uma função em 𝑦 em relação a 𝑥 é igual à derivada dessa função em relação a 𝑦 vezes d𝑦 por d𝑥.

Bem, a derivada de dois sen 𝑦 em relação a 𝑦 é dois cos 𝑦. Portanto, nossa equação é dois cos 𝑦 d𝑦 por d𝑥 mais cinco sen 𝑥. E isso é igual a zero. Podemos encontrar a primeira derivada subtraindo cinco sen 𝑥 de ambos os lados da equação e dividindo por dois cos 𝑦. Lembre-se, porém, estávamos procurando encontrar a segunda derivada. Então, aqui vamos precisar usar a regra do quociente para derivar menos cinco sen 𝑥 sobre dois cos 𝑦. De acordo com a nossa notação, podemos deixar 𝑢 ser igual a menos cinco sen 𝑥 e 𝑣 igual a dois cos 𝑦. d𝑢 por d𝑥 é menos cinco cos 𝑥. Então, como a derivada de 𝑣 em relação a 𝑦 é menos dois sen 𝑦, podemos ver que d𝑣 por d𝑥 é menos dois sen 𝑦 d𝑦 por d𝑥.

Nós substituímos cada um deles na fórmula da regra do quociente. Em seguida, simplificamos e identificamos que d𝑦 por d𝑥 é menos cinco sen 𝑥 sobre dois cos 𝑦. Portanto, podemos substituir isso na fórmula da segunda derivada. Para simplificar isso, multiplicamos o numerador e o denominador de nossa fração por dois cos 𝑦. E vamos simplificar um pouco mais. Distribuindo este menos um, podemos ver que a segunda derivada de nossa função é 25 sen ao quadrado 𝑥 sen 𝑦 menos de 10 cos 𝑥 cos ao quadrado 𝑦 tudo sobre cos ao cubo 𝑦. E esta fórmula é válida desde que cos 𝑦 não seja igual a zero.

Neste vídeo, vimos que, quando determinada função é definida implicitamente, podemos usar uma versão especial da regra da cadeia para derivá-la. A derivada de uma função em 𝑦 em relação a 𝑥 é igual à derivada dessa função 𝑦 em relação a 𝑦 vezes d𝑦 por d𝑥. Também vimos que, se fosse possível reescrever uma relação como uma função explícita, às vezes seria mais simples usar a derivação implícita. Também vimos que, quando nos derivamos implicitamente, obtemos uma expressão para d𝑦 por d𝑥 em termos de 𝑥 e 𝑦. Também vimos que podemos encontrar derivadas de ordem superior usando derivação implícita. E nesses casos, precisaremos substituir as expressões de derivadas de ordem inferior para nos ajudar a simplificar as expressões.