Vídeo: O Teorema Fundamental do Cálculo: Calculando Integrais Definidos

O Teorema Fundamental do Cálculo: Calculando Integrais Definidos

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O teorema fundamental do cálculo: calculando integrais definidos. Neste vídeo, aprenderemos como calcular integrais definidos utilizando o teorema fundamental do cálculo. O teorema é geralmente apresentado em duas partes. Para o propósito deste vídeo, focaremos a segunda parte. Esta diz-nos que se 𝑓 minúsculo é uma função contínua no intervalo fechado de 𝑎 e 𝑏 e 𝐹 maiúsculo é qualquer primitiva de 𝑓 minúsculo. Aqui expresso como 𝐹 maiúsculo primo de 𝑥 é igual a minúsculas 𝑓 de 𝑥. Então, o integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 minúsculo de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a 𝐹 maiúsculo de 𝑏 menos 𝐹 maiúsculo de 𝑎.

Agora, aqui, um ponto interessante a ser observado é que dissemos que 𝐹 maiúsculo é qualquer primitiva de 𝑓 minúsculo. Isto significa que, se houver muitas primitivas, não importa a que escolhemos utilizar no nosso teorema. Para entender isto, vamos pensar no que queremos dizer com primitiva. Até agora, devemos estar familiarizados com o facto de que a primeira parte do teorema fundamental do cálculo nos diz essencialmente que a diferenciação e a integração são processos inversos. Isto significa que podemos determinar a forma geral para a primitiva de uma função, 𝑓 minúsculo de 𝑥, calculando o integral indefinido dessa função. Vamos considerar um exemplo de uma função. 𝑓 um minúsculo de 𝑥 é igual a dois 𝑥. A sua primitiva, 𝐹 um maiúsculo de 𝑥, será igual ao integral indefinido de dois 𝑥 em ordem a 𝑥.

Para resolver isto, utilizamos a regra da potência da integração, aumentando o expoente de 𝑥 mais um e dividindo pelo novo expoente. Claro que, aqui, não devemos esquecer de adicionar a nossa constante de integração, 𝑐. Mais simplesmente, a nossa resposta é escrita como 𝑥 ao quadrado mais 𝑐. Agora, esta constante de integração 𝑐 pode ter qualquer valor que desejar. E a nossa expressão ainda seria uma de um número infinito de primitivas da nossa função original 𝐹 um de 𝑥. Se tomarmos o caso de 𝑐 igual a zero, 𝐹 um de 𝑥 seria simplesmente 𝑥 ao quadrado. 𝑐 igual a cinco dar-nos-ia uma primitiva de 𝑥 ao quadrado mais cinco. 𝑐 poderia até ser menos 𝜋, o que significaria que a nossa primitiva seria 𝑥 ao quadrado menos 𝜋. Todas estas são primitivas de dois 𝑥.

Dado que o teorema fundamental do cálculo nos permite utilizar qualquer uma dessas primitivas para calcular um integral definido, o que fazemos. Vamos continuar a utilizar a nossa função do exemplo 𝑓 um de 𝑥 igual a dois 𝑥. Agora, estamos a olhar para o integral definido entre 𝑎 e 𝑏 desta função. O teorema diz-nos que isto é igual à primitiva 𝐹 maiúsculo um de 𝑏 menos 𝐹 um de 𝑎. Podemos escolher arbitrariamente uma das nossas primitivas, por exemplo, 𝑥 ao quadrado mais cinco. Se 𝐹 um de 𝑥 igual a 𝑥 ao quadrado mais cinco, então 𝐹 um de 𝑏 igual a 𝑏 ao quadrado mais cinco. Um raciocínio semelhante segue para 𝐹 um de 𝑎. Simplificando isto, vemos que há um mais cinco e um menos cinco que se anulam. E, portanto, ficamos com 𝑏 ao quadrado menos 𝑎 ao quadrado.

De facto, se tivéssemos utilizado a forma geral que envolveria qualquer constante 𝑐, a mesma coisa teria acontecido. Portanto, independentemente da constante que utilizamos, chegamos ao mesmo resultado. Dado este facto, podemos simplesmente optar por ignorar completamente a constante de integração ao calcular um integral definido. E isso é essencialmente equivalente a considerar o caso em que 𝑐 é igual a zero. Se tivéssemos considerado este caso, teríamos alcançado a mesma resposta, mas com menos etapas de trabalho.

Vamos agora ver um exemplo do nosso teorema na prática.

Seja 𝑓 de 𝑥 igual a seis 𝑥 ao quadrado mais um. Calcule o integral definido de 𝑓 de 𝑥 igual a dois a 𝑥 igual a três.

Para esta questão, fomos solicitados a calcular um integral definido, que utilizando a notação padrão ficaria assim. Vemos que o integrando é a nossa função 𝑓 de 𝑥. E os limites de integração são dois e três, conforme especificado na questão. Para calcular este integral definido, utilizaremos a segunda parte do teorema fundamental do cálculo. Esta diz-nos que se 𝑓 minúsculo é uma função contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏 e 𝐹 maiúsculo linha de 𝑥 é igual a 𝑓 minúsculo de 𝑥. Por outras palavras, 𝐹 maiúsculo é uma primitiva de 𝑓 minúsculo. Então, o integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 minúsculo de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a 𝐹 maiúsculo de 𝑏 menos 𝐹 maiúsculo de 𝑎.

Vamos agora aplicar este teorema para resolver o nosso problema. A nossa função, 𝑓 minúsculo de 𝑥, é igual a seis 𝑥 ao quadrado mais um. Para determinar esta primitiva, 𝐹 maiúsculo de 𝑥, podemos integrar 𝑓 minúsculo de 𝑥. Se aplicarmos a regra das potências para a integração, aumentando o expoente de 𝑥 em cada um dos nossos termos e depois dividindo-o pelo novo expoente, obteremos uma resposta de seis 𝑥 ao cubo sobre três mais 𝑥. E também adicionamos a nossa constante de integração 𝑐. Nesta altura, lembramo-nos que o teorema fundamental do cálculo nos permite utilizar qualquer primitiva, o que significa que 𝑐 pode assumir qualquer valor. Faz sentido para nós escolher o caso mais simples possível, ou seja, quando 𝑐 é igual a zero. Essencialmente, isto significa que podemos ignorar esta constante. Simplificando, a primitiva que utilizaremos é dois 𝑥 ao cubo mais 𝑥. Ótimo. Vamos definir esta primitiva num dos lados e voltar ao nosso cálculo original.

A questão pediu-nos para calcular este integral definido. O nosso limite superior de integração é três. E o nosso limite inferior é dois. O teorema fundamental do cálculo diz-nos que este integral é igual a 𝐹 maiúsculo de três menos 𝐹 maiúsculo de dois. Agora, como acabámos de encontrar 𝐹 maiúsculo de 𝑥, a nossa primitiva, podemos substituir os valores de três e dois nesta função. Depois de inserir estes valores, podemos realizar algumas simplificações na nossa nova expressão. Após trabalhar com essas simplificações, chegamos a uma resposta de 39. Com esta etapa, concluímos a nossa questão. O integral definido dada na questão é calculado ser 39. Calculamos o nosso integral utilizando a primitiva da função dada 𝐹 de 𝑥. E a ferramenta que utilizamos para nos ajudar foi a segunda parte do teorema fundamental do cálculo.

Ok, antes de prosseguir, uma palavra rápida sobre notação. Dado o integral definido entre 𝑎 e 𝑏 de uma função 𝑓 de 𝑥 em ordem a 𝑥, muitas vezes, verá a próxima etapa escrita na seguinte forma. Com a primitiva da função especificada escrita entre parênteses e os limites de integração transferidos para o parênteses reto. E isso é simplesmente uma abreviação. É uma maneira de expressar a primitiva como uma função antes de substituirmos os nossos limites de integração e calcularmos. É equivalente ao que devemos conhecer agora, que é 𝐹 maiúsculo de 𝑏 menos 𝐹 maiúsculo de 𝑎. Quase sempre verá esta etapa, pois é uma abreviação muito útil, que ajuda a arrumar o nosso trabalho.

Olhando para a nossa função do exemplo anterior, 𝑓 um de 𝑥 é igual a dois 𝑥. Se considerarmos o integral definido entre um e três desta função em relação a 𝑥, o nosso próximo passo seria algo parecido com isto, com a primitiva de 𝑓 um de 𝑥 entre parênteses, como apresentado. Em seguida, prosseguiríamos com o cálculo substituindo três e um nos limites de integração. E, finalmente, chegaremos a uma resposta de oito.

Vejamos uma questão de exemplo utilizando esta notação.

Calcule o integral entre zero e dois de dois sen 𝑥 menos três 𝑒 elevado a 𝑥 em ordem a 𝑥.

Para responder a esta questão, utilizaremos a segunda parte do teorema fundamental do cálculo. Esta diz-nos que se 𝑓 minúsculo é uma função contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏 e 𝐹 maiúsculo é qualquer primitiva de 𝑓 minúsculo. Então, o integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 minúsculo de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a 𝐹 maiúsculo de 𝑏 menos 𝐹 maiúsculo de 𝑎. Olhando para a nossa questão, a primeira coisa que podemos notar é que a função 𝑓 minúsculo, que é o nosso integrando, consiste em dois termos diferentes. O primeiro termo envolve a função trigonométrica seno. E o segundo envolve o exponencial 𝑒. Agora, devemos estar familiarizados com o facto de que as funções trigonométricas e exponenciais dessa forma são contínuas em todo o conjunto de números reais. Portanto, cumprimos os critérios de que a nossa função 𝑓 deve ser contínua durante o intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏, que no nosso caso é o intervalo fechado entre zero e dois.

Agora, dado que temos dois termos, podemos achar que o nosso trabalho é mais claro se os dividirmos em integrais separados. Faríamos isso assim, lembrando de manter os limites de integração iguais nos dois termos. Agora podemos calcular cada um destes integrais separadamente. A primitiva de dois sen 𝑥 é menos dois cos 𝑥. E a primitiva de menos três 𝑒 para 𝑥 é menos três 𝑒 para 𝑥. Claro, lembre-se, podemos ignorar a constante de integração nos dois casos, pois estamos a trabalhar com integrais definidas.

Aqui, observamos que expressamos a nossa primitiva entre parênteses, com os limites de integração sendo transferidos para o parênteses à direita em ambos os casos. Como estes dois parênteses têm os mesmos limites de integração, podemos simplesmente combiná-los. Agora, pode perceber que pudemos passar diretamente do nosso integral original para esta etapa, tratando cada um dos termos individualmente. Em vez de dividir o nosso integral em dois e depois recombinar, simplesmente teríamos encontrado a primitiva de cada um dos nossos termos. Se não tiver a certeza, no entanto, não há mal algum em escrever o método na íntegra.

Para avançar com a nossa questão, substituímos agora os limites de nossa integração, que são zero e dois. Em seguida, alcançamos a seguinte expressão. Com nosso primeiro conjunto de parênteses, não há simplificações necessárias. Então podemos simplesmente deixar isso. Para o segundo conjunto de parênteses, podemos lembrar que cos de zero é igual a um. Então dois cos zero é igual a negativo dois. Além disso, 𝑒 à potência de zero também é uma. Portanto, três negative negativos à potência de zero são três negativos. Nosso segundo conjunto de parênteses, portanto, torna-se negativo dois menos três, que é negativo cinco. Mas, para nossa resposta final, estamos subtraindo isso. Então ficamos com cinco positivos. E agora chegamos à nossa resposta final. O integral definido dada na questão é calculado ser menos dois cos de dois menos três 𝑒 ao quadrado mais cinco.

Ok, se olharmos para o teorema fundamental do cálculo, outra condição importante a considerar é a continuidade da função 𝑓 minúsculo a qual estamos a integrar. Lembre-se de que o teorema afirma que a nossa função deve ser contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏. Estes 𝑎 e 𝑏 formam os limites do nosso integral. Se 𝑓 minúsculo não for contínuo nesse intervalo, não podemos dizer com segurança que este relação é verdadeira. Para ilustrar isso, consideremos a função um sobre a raiz quadrada de 𝑥. Se desenharmos o gráfico desta função, pode parecer-se com isto. Agora, vamos considerar o integral definitivo da nossa função entre um e dois em ordem a 𝑥. Isto pode ser interpretado como a área sob a curva entre um e dois, conforme apresentado no nosso gráfico.

Para calcular isto, podemos querer reescrever um sobre a raiz quadrada de 𝑥, para que o expoente de 𝑥 seja de uma forma mais manipulável. Em seguida, utilizamos a regra da potência familiar da integração. E simplificamos. Se continuarmos, não encontraremos problemas. E chegaremos à resposta numérica. Ok, o que aconteceria se nos pedissem para calcular o integral definido entre menos um e um? Aqui, podemos começar a encontrar alguns problemas. Deverá ficar claro no nosso gráfico que 𝑓 de 𝑥 é indefinido quando 𝑥 é menor ou igual a zero. Tentar imaginar a área sob a nossa curva entre estes limites não teria sentido. Como a nossa função é indefinida em parte do intervalo fechado entre menos um e um, não se pode dizer que seja contínua. Dado este facto, não faz sentido continuar, pois não podemos utilizar o teorema fundamental do cálculo para calcular este integral.

Vamos dar uma olhadela num exemplo para ilustrar isto.

Calcule o integral entre quatro e nove de menos dois vezes a raiz quadrada de 𝑥 em ordem a 𝑥.

Para esta questão, fomos solicitados calcular um integral definido. Com questões deste tipo, às vezes pode ser útil mover fatores constantes, como o menos dois, de dentro para fora do integrando. Em seguida, também podemos achar útil reescrever a nossa raiz quadrada de 𝑥 como 𝑥 elevado a um meio ou 𝑥 elevado a 0.5. E veremos o porquê daqui a pouco. Para avançar com esta questão, utilizaremos a segunda parte do teorema fundamental do cálculo. Isso dá-nos uma maneira de calcular integrais definidos utilizando a primitiva da função que forma o integrando.

Nesta altura, notamos que o teorema afirma que a função, em 𝑓 minúsculo, deve ser contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏. 𝑎 e 𝑏 são os limites da integração, que no nosso caso são quatro e nove. Agora, a função com a qual estamos a trabalhar agora, 𝑓 minúsculo, é a raiz quadrada de 𝑥, que acabámos de escrever como 𝑥 elevado a um meio. Esta função não é contínua em todo o conjunto dos números reais, mas é contínua apenas quando 𝑥 é maior ou igual a zero. Felizmente, ambos os limites do nosso integral definido, quatro e nove, são maiores ou iguais a zero. E, portanto, podemos dizer que a raiz quadrada de 𝑥 é contínua no intervalo fechado entre quatro e nove. Isto significa que é está tudo bem em utilizar o nosso teorema.

Para prosseguir com o nosso cálculo, utilizamos a regra da potência para integração, aumentando o expoente de 𝑥 uma unidade e dividindo pelo novo expoente. A primitiva de 𝑥 elevado a um meio é, portanto, dois sobre três vezes 𝑥 o expoente de três sobre dois. Novamente, vamos mudar este fator constante para fora dos nossos parêntesis para facilitar os nossos cálculos. Em seguida, substituímos os nossos limites de integração. Agora, neste estágio, pode ser mais útil ver o nosso expoente de três sobre dois expresso como o cubo de uma raiz quadrada. Convenientemente, nove e quatro são quadrados perfeitos. E podemos simplificar os nossos parênteses para serem três ao cubo menos dois ao cubo. Agora avançamos com mais algumas simplificações. E, finalmente, chegamos a uma resposta de menos 76 sobre três. Esta é a resposta final para a nossa questão.

Calculámos o integral definido dado utilizando a segunda parte do teorema fundamental do cálculo para nos ajudar. Ao longo do caminho, tivemos a certeza de confirmar que nossa função 𝑓 minúsculo era contínua no intervalo fechado entre os limites de integração. Um ponto final que realmente não abordámos antes. Podemos dizer que a raiz quadrada de 𝑥 não é contínua quando 𝑥 for menor que zero, porque, na verdade, a raiz quadrada de 𝑥 não está definida nos números reais quando 𝑥 é menor que zero. E, é claro, uma função não pode ser contínua em pontos onde não está definida.

Vamos seguir em frente. Outra coisa que vale a pena considerar são os casos de funções por partes ou casos que envolvem o módulo de uma função. O motivo pelo qual precisamos de pensar cuidadosamente sobre estas funções é que podem ser consideradas como tendo comportamentos diferentes nas diferentes regiões do seu domínio.

Vamos ver como lidar com isso no exemplo a seguir.

Calcule o integral definido entre menos quatro e cinco do módulo de 𝑥 menos dois em ordem a 𝑥.

Para esta questão, fomos solicitados calcular o integral definido de uma função, que chamaremos de 𝑓 minúsculo. Esta função é o valor absoluto ou o módulo de 𝑥 menos dois. Agora, para qualquer número real, podemos escrever uma função módulo como uma função por partes. Podemos fazê-lo lembrando que, se 𝑥 menos dois for calculado para um número negativo ou módulo, multiplicá-lo-emos por menos um para transformá-lo num número positivo. Ok, então, quando 𝑥 menos dois é maior ou igual a zero, a nossa função é simplesmente 𝑥 menos dois. Mas quando 𝑥 menos dois é menor que zero, a nossa função é multiplicada por menos. Portanto, é menos 𝑥 menos dois. Obviamente, é provavelmente mais útil isolarmos 𝑥 num membro destas desigualdades. Fazemos isso adicionando dois aos dois membros. Agora, também pode ser útil simplificar isto como menos 𝑥 mais dois.

OK. Agora que reescrevemos a nossa função por ramos, podemos pensar em como se parece graficamente. Aqui vemos o gráfico. Embora a escala não seja exata, o gráfico e a definição por partes devem mostrar-nos a diferença no comportamento da nossa função, de ambos os lados de 𝑥 igual a dois. Vemos um canto bicudo no ponto dois, zero no nosso gráfico. De facto, diríamos que a nossa função não é diferenciável quando 𝑥 é igual a dois. Mas é contínua quando 𝑥 é igual a dois. Isso é importante porque, para calcular o nosso integral definido, utilizaremos a segunda parte do teorema fundamental do cálculo. Esta permite-nos calcular um integral definido utilizando a primitiva, 𝐹 maiúsculo, da função que forma o nosso integrando, 𝑓minúsculo. A condição para fazer isso é que 𝑓 minúsculo deve ser contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏, que são os limites de integração. Dado que a nossa função 𝑓 minúsculo é contínua quando 𝑥 é igual a dois, podemos concluir que é contínua em todo o conjunto de números reais. E, portanto, a condição de continuidade é satisfeita.

Ok, ao cálculo do integral definido. Agora já dissemos que a nossa função se comporta de maneira diferente em ambos os lados da reta 𝑥 igual a dois. Um primeiro passo útil para nós é dividir o nosso integral em duas partes. O primeiro passa do limite mais baixo, menos quatro para dois, e o segundo passa de dois para cinco. Como o limite superior do nosso primeiro integral é o mesmo que o limite inferior do nosso segundo integral, a soma destes dois será igual ao nosso integral original. Agora que dividimos o nosso integral em duas partes, podemos substituir as duas subfunções diferentes que definimos utilizando a definição por partes do módulo de 𝑥 menos dois. Podemos entender isto considerando os nossos integrais como a área sob essas retas. De menos quatro a dois, a nossa função comporta-se como menos 𝑥 mais dois. E de dois a cinco, a nossa função comporta-se como menos 𝑥 mais dois. Podemos interpretar a soma destas duas áreas como sendo igual ao nosso integral original.

A partir deste ponto, agora podemos avançar utilizando a regra da potência familiar para a integração. Aumentamos o expoente de 𝑥 para cada um dos nossos termos e dividimos pelo novo expoente. Vamos arranjar um espaço para os próximos passos. Aqui, inserimos os limites de ambos os integrais. E alguma cor foi adicionada para ajudar a seguir o cálculo. Precisamos de passar por mais algumas etapas de simplificação. Mais uma vez, limparemos algum espaço. E continuaremos a simplificar. Eventualmente, chegamos a um ponto em que escreveremos tudo em termos de um meio. E chegamos a uma resposta final de quarenta e cinco meios ou 45 sobre dois. Com isso, concluímos a nossa questão. Fizemos isto escrevendo primeiro o módulo de 𝑥 menos dois como uma função por ramos. A seguir, dividimos o nosso integral original em duas partes e utilizámos a segunda parte do teorema fundamental do cálculo para nos ajudar a calcular cada parte individual.

OK. Para terminar, vamos passar por alguns ponto-chave. A segunda parte do teorema fundamental do cálculo diz-nos se𝑓 minúsculo é uma função contínua no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏 e se 𝐹 maiúsculo é qualquer primitiva de 𝑓 minúsculo, que podemos escrever como 𝐹 maiúsculo linha de 𝑥 é igual a 𝑓 minúsculo de 𝑥. Então o integral entre 𝑎 e 𝑏 de 𝑓 minúsculo de 𝑥 em ordem a 𝑥 é igual a 𝐹 maiúsculo de 𝑏 menos 𝐹 maiúsculo de 𝑎. Lembre-se, podemos utilizar qualquer primitiva da função 𝑓 minúsculo. Isso significa que podemos escolher o caso, que torna os nossos cálculos o mais simples possível. É quando 𝑐, a nossa constante de integração, é igual a zero, essencialmente permitindo-nos ignorá-la.

Frequentemente, quando nos dão um integral definido, o nosso próximo passo será escrever a primitiva entre parênteses, com os limites de integração transferidos para o parênteses à direita. Esta é uma maneira de escrever a primitiva como uma função antes de inserir os limites da integração. Mas este geralmente é um passo intermédio no seu caminho para 𝐹 maiúsculo de 𝑏 menos 𝐹 maiúsculo de 𝑎. Para utilizar este teorema, lembre-se de verificar se 𝑓 minúsculo é contínua e, de facto, definido no intervalo fechado entre 𝑎 e 𝑏. Caso contrário, a integração poderá falhar. Finalmente, funções por ramos ou funções que envolvem módulos podem exigir que divida o integral em várias partes, pois estes tipos de funções comportam-se de maneira diferente nas diferentes regiões dos seus domínios.

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