Vídeo: Encontrando a Soma de Progressões Aritméticas

Encontre o valor de (7 + 9 + 11 + _ + 37)/(12 + 14 + 16 + _ + 172).

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Transcrição do vídeo

Encontre o valor de sete mais nove [mais 11] mais ponto ponto ponto mais 37 dividido por 12 mais 14 mais 16 mais ponto ponto ponto mais 172.

Então, esses três pontos indicam que há números entre eles. Estas são progressões no numerador e no denominador. Tanto o numerador quanto o denominador são progressões aritméticas. Sabemos disso porque para obter o próximo termo na sequência, adicionamos um número constante a cada termo para obter o termo a seguir. E chamamos esse termo que está sendo adicionado uma diferença comum que usaremos como 𝑑 para representar isso. E então o nosso primeiro termo também é importante para a nossa fórmula, e isso é 𝑎.

E agora temos uma fórmula para o numerador e o denominador para descobrir quanto eles realmente valem se adicionarmos todos os números, mesmo que não saibamos todos os números, pelo menos isso não é fornecido a nós. 𝑆 sub 𝑛 é chamado de soma parcial. E é a soma parcial porque sabemos que essa soma no numerador e no denominador termina; não é contínua. Não vai durar para sempre.

Então, primeiro vamos começar olhando nosso numerador. Nosso primeiro termo é sete, então seria 𝑎. Nossa diferença comum entre cada termo seria dois, porque, para obter de sete a nove, acrescentamos dois, para obter de nove a 11, acrescentamos dois. E agora a única coisa que resta é 𝑛 e há uma fórmula para encontrar 𝑛. 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 sub um mais 𝑛 menos um 𝑑. 𝑎 sub 𝑛 seria nosso último termo e 𝑎 sub um seria nosso primeiro termo. E também é dado que esta é uma progressão aritmética, então é isso que usaríamos para progressões aritméticas.

Então vamos primeiro olhar para o nosso numerador para encontrar este termo 𝑛. Nosso último termo é 37, nosso primeiro termo é sete e nossa diferença comum é dois. Então agora vamos simplificar. Vamos subtrair sete dos dois lados e distribuir o dois. Agora vamos adicionar dois aos dois lados e agora dividir os dois lados por dois. Então, 𝑛 é igual a 16. Agora temos tudo o que precisamos para encontrar a soma do numerador. Nós substituímos 16 para 𝑛, sete para 𝑎 e dois para 𝑑. Duas vezes sete é 14 e 16 menos um é 15, mas vezes dois é 30. Então, vamos adicionar 30 e 14 e multiplicar por oito. Nós temos 352.

Agora vamos fazer exatamente a mesma coisa para o denominador. Nosso primeiro termo é 12. Nossa diferença comum é dois novamente porque 12 mais dois são 14, 14 mais dois são 16, e agora precisamos resolver para 𝑛. 172 é nosso último termo, 12 é nosso primeiro termo, e então nossa diferença comum será dois. Então vamos em frente e subtrair 12 de ambos os lados e distribuir o dois. Agora vamos adicionar dois aos dois lados e agora dividir por dois para ambos os lados. Então, 𝑛 é igual a 81.

Agora vamos substitui-los para encontrar a soma do denominador. Então, substituímos 81 para 𝑛, 12 para 𝑎 e dois para 𝑑. 81 dividido por dois é 40.5, duas vezes 12 é 24 e 81 menos um é 80, mas vezes dois é 160. Então, vamos adicionar 160 e 24 e multiplicar por 40.5. E obtemos 7452. Nosso numerador somou 352 e nosso denominador foi 7452. Então vamos simplificar, e essa será a nossa resposta final que é 88 dividido por 1863.

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