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Vídeo: Teorema de Pitágoras — Distância entre Dois Pontos

Aprenda como utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar a distância entre dois pontos em duas ou três dimensões. Nós explicamos cuidadosamente o processo em detalhes e desenvolvemos uma fórmula generalizada para problemas 2D e depois aplicamos as técnicas.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, vamos olhar para uma aplicação particular do teorema de Pitágoras, que é determinar a distância entre dois pontos num plano de coordenadas. E vamos ver isso, em duas dimensões e também em três dimensões. Assim, vamos começar com um exemplo em duas dimensões. E a questão que temos é determinar a distância entre os pontos com coordenadas menos três, um e dois, quatro.

Então, para começar com esta questão, é melhor fazer um esboço do plano de coordenadas para que possamos ver o que está a acontecer. E só precisa de ser um esboço. Nós não precisamos de medir com precisão. Não precisamos de papel quadriculado, apenas um esboço de um plano de coordenadas bidimensional com estes pontos marcados. Então aqui está o meu esboço daquele plano coordenado com as posições aproximadas dos pontos menos três, um e dois, quatro. Se tenho que determinar a distância entre estes dois pontos, então eu estou à procura da distância direta quando os uno por um segmento de reta. Estou a tentar calcular esta distância entre estes dois pontos.

Agora o teorema de Pitágoras é só sobre triângulos retângulos. Então eu preciso de criar um triângulo retângulo. E o que eu posso fazer é, acima ou abaixo deste segmento de reta, posso esboçar este pequeno triângulo retângulo aqui. Assim tenho o triângulo retângulo para que possa aplicar o teorema de Pitágoras. Ora, estou a tentar calcular esta distância. Vou designar-lhe pela letra 𝑑. E o que eu preciso de pensar é quais são os comprimentos destes outros dois lados do triângulo. Então, vamos olhar para a distância horizontal em primeiro lugar. Esta distância horizontal, bem, a única coisa que está a variar é a coordenada em 𝑥. E está a variar de menos três para dois. O que significa que esta distância aqui, a parte horizontal deste triângulo, deve ser de cinco unidades. E posso escrever isso. Agora, se eu olhar para o lado vertical do triângulo, aqui, a única coisa que está a variar é a coordenada em 𝑦. E está a variar de um aqui para quatro aqui, o que significa que este lado do triângulo deve ser igual a três unidades. Então agora eu tenho a configuração certa para o teorema de Pitágoras. Eu conheço dois lados do triângulo. E eu quero calcular o terceiro, neste caso a hipotenusa.

Então, recordando o teorema de Pitágoras, diz-nos que 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado, onde 𝑎 e 𝑏 representam os dois catetos de um triângulo retângulo e 𝑐 representa a hipotenusa. Então, o primeiro passo é simplesmente escrever o que o teorema de Pitágoras me diz, especificamente para este triângulo. Se eu escrever isto, terei 𝑑 ao quadrado, a hipotenusa ao quadrado, é igual a três ao quadrado mais cinco ao quadrado. Agora posso substituir ambos pelos seus valores, nove e 25. E, em seguida, adicioná-los e dá-me 𝑑 ao quadrado igual a 34. O próximo passo é a raiz quadrada a ambos os membros desta equação. Então fico com 𝑑 igual à raiz quadrada de 34. E se eu a calcular na minha calculadora, dá-me 𝑑 igual a 5.83, com três algarismos significativos. Agora, unidades para isto, não nos disseram que é um plano centimétrico. Então, não podemos presumir que as unidades sejam centímetros. As unidades serão unidades gerais de distância ou unidades gerais de comprimento. Então, vou indicar 5,83 unidades. E como disse, isto foi arredondado com três algarismos significativos.

Agora vamos ver como podemos generalizar isto. Isto é, se podemos chegar a uma fórmula generalizada da distância que podemos utilizar para calcular a distância entre dois pontos. E indiquei 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois para representar pontos gerais num plano de coordenadas. Agora, como antes, começaremos com um esboço. Nós não sabemos nada sobre 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois, 𝑦 dois. Mas vamos assumir arbitrariamente que formam um segmento de reta como este. Então nós temos 𝑥 um, 𝑦 um aqui e temos 𝑥 dois, 𝑦 dois aqui. E pretendemos calcular a distância entre estes dois pontos.

Então, como antes, eu precisaria de preencher o pequeno triângulo retângulo abaixo do segmento de reta. Agora preciso de determinar o comprimento dos dois lados deste triângulo. Então, vamos ver primeiro a coordenada em 𝑥. Ora, está a variar de 𝑥 um neste ponto aqui para 𝑥 dois aqui neste ponto. Então o comprimento deste segmento de reta será a diferença entre estes dois valores em 𝑥. Vai ser 𝑥 dois menos 𝑥 um. Agora, se eu olhar para o comprimento do segmento vertical, vou ter uma situação semelhante. Ora, no segmento vertical, a coordenada em 𝑦 está a variar. E varia de 𝑦 um neste ponto aqui para 𝑦 dois neste ponto aqui. Então o comprimento deste segmento vertical será a diferença entre estes dois valores em 𝑦. Vai ser 𝑦 dois menos 𝑦 um. Então isto resulta na fórmula generalizada para o comprimento dos dois lados deste triângulo.

Certo, agora eu posso escrever o que o teorema de Pitágoras me diz em termos de 𝑑 e 𝑥 um, 𝑥 dois, 𝑦 um e 𝑦 dois. Então, o que vou ter, 𝑑 ao quadrado, a hipotenusa ao quadrado, é igual a 𝑥 dois menos 𝑥 um ao quadrado, que é o lado horizontal ao quadrado, mais 𝑦 dois menos 𝑦 um ao quadrado, que é o lado vertical ao quadrado. O passo final para deduzir esta fórmula generalizada é que eu quero saber 𝑑, não 𝑑 ao quadrado. Então preciso de retirar a raiz quadrada a ambos os membros desta equação. E se o fizer, obtenho esta fórmula geral aqui: 𝑑 é igual à raiz quadrada de 𝑥 dois menos 𝑥 um tudo ao quadrado mais 𝑦 dois menos 𝑦 um tudo ao quadrado. E esta é uma fórmula geral da distância para calcular a distância entre dois pontos – 𝑥 um, 𝑦 um e 𝑥 dois 𝑦 dois.

Agora, não importa realmente, no contexto de um exemplo, qual ponto que consideramos ser 𝑥 um”, 𝑦 um” e o que consideramos 𝑥 dois, 𝑦 dois. Porque o que está a fazer é a determinar a diferença entre os valores em 𝑥 e a diferença entre os valores em 𝑦 e a fazer o seu quadrado. E se fizer assim terá, por exemplo, uma diferença de cinco que ao quadrado é 25. Se fizer o contrário, terá uma diferença de menos cinco. Mas quando fizer o quadrado, obtém na mesma 25 positivo. Então pode pensar nestes dois pontos em qualquer ordem. Agora, esta fórmula generalizada é útil porque nos dá uma fórmula que funcionará sempre e poderemos substituir qualquer número nela. Mas no exemplo anterior, tudo o que fizemos foi uma abordagem puramente lógica para responder à questão. E, pessoalmente, às vezes acho que é mais fácil adotar uma abordagem lógica do que usar esta fórmula da distância.

Ok, agora vamos ver um exemplo em três dimensões. Então já viu antes que o teorema de Pitágoras pode ser estendido para três dimensões. E quando estamos a trabalhar em três dimensões, temos a fórmula 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado mais 𝑐 ao quadrado igual a 𝑑 ao quadrado. Então, vamos analisá-la neste caso. Queremos calcular a distância entre estes dois pontos. Portanto, queremos 𝑑 ao quadrado. Primeiro, vamos ver a diferença entre as coordenadas em 𝑥. As coordenadas em 𝑥 variam de dois para menos um, o que é uma variação de menos três. Agora, como mencionado no exemplo anterior, não importa se é três ou menos três. Porque quando eu o fizer ao quadrado, vou obter o mesmo resultado. Então, vou pensar nisto como um três. O valor em 𝑦 varia de zero para quatro. Então temos mais quatro ao quadrado. E a seguir o valor em 𝑧 neste caso, no plano de coordenadas tridimensional, muda de cinco para quatro. Então é uma diferença de um. E, portanto, temos um ao quadrado.

Aqui está o enunciado do teorema de Pitágoras para três dimensões para esta questão em particular. O próximo passo é calcular três quadrados, quatro ao quadrado e um ao quadrado. E a seguir, adicionando-os, obtenho 𝑑 ao quadrado igual a 26. Agora, preciso de aplicar a raiz quadrada a ambos os membros. Então, 𝑑 é igual à raiz quadrada de 26. E se calcular utilizando uma calculadora, obtenho 𝑑 é igual a 5.10 unidades, unidades de comprimento ou unidades de distância. E este valor foi arredondado a duas casas decimais. Então, recordando o que fizemos aqui, vimos a diferença entre as coordenadas em 𝑥, que era três, a diferença entre as coordenadas em 𝑦, que era quatro, e a diferença entre as coordenadas em 𝑧, que era um. E, em seguida, utilizámos a versão tridimensional do teorema de Pitágoras para calcular a distância entre estes dois pontos no espaço tridimensional.

Por fim, vamos analisar uma aplicação disto. Temos a questão, os vértices de um retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 são estes quatro pontos aqui. Determine a área do retângulo.

Então, para determinar a área do retângulo, precisamos de saber o comprimento dos seus dois lados. Então, vamos utilizar o teorema de Pitágoras duas vezes para calcular os dois comprimentos. Agora, como sempre, vamos começar com um esboço para que possamos visualizar o que está a acontecer aqui. Então, aqui temos um esboço deste plano de coordenadas com os pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 marcados em posições aproximadas. E pode ver que, unindo-os, formamos este retângulo. Então, para calcular a área deste retângulo, preciso de calcular as medidas dos seus dois lados e depois multiplicá-los. Então, vou fazer a área deste retângulo. Vou determinar o comprimento de 𝐴𝐵. E vou multiplicar por 𝐵𝐶. Mas, também poderia ter feito 𝐶𝐷 multiplicado por 𝐴𝐷 ou qualquer combinação que eu quisesse fazer.

Ora, vamos determinar o comprimento de 𝐴𝐵 primeiro. Estou interessado nos pontos três, três e dois, um para fazer isso. Vamos resolver este problema utilizando o teorema de Pitágoras. Assim, 𝐴𝐵 ao quadrado, as coordenadas em 𝑥, bem, a diferença entre elas é de dois para três. Então, é uma diferença de um, um quadrado. E a seguir, a diferença entre as coordenadas em 𝑦, vai de um a três, diferença de dois, dois ao quadrado. Aqui temos o teorema de Pitágoras para calcular 𝐴𝐵. As próximas duas etapas, calcular quanto é um quadrado e o quadrado de dois e adicioná-los. E a seguir eu preciso da raiz quadrada dos dois membros. E vou deixar 𝐴𝐵 igual à raiz quadrada de cinco, por enquanto. Então, nós temos um comprimento determinado.

Agora eu preciso de fazer o mesmo para 𝐵𝐶. Então, 𝐵𝐶 ao quadrado, se olhar para a coordenada em 𝑥, está a variar de dois para menos quatro. Então, é menos seis. Mas lembre-se, não importa se é positivo ou negativo. Então, vou mantê-lo como seis ao quadrado. Se eu olhar para a coordenada em 𝑦, está a variar de um para quatro. Então há uma diferença de três, então três ao quadrado. E temos o nosso teorema de Pitágoras para calcular 𝐵𝐶. Então calculo seis ao quadrado e três ao quadrado. E a seguir adiciono-os. E tenho 𝐵𝐶 ao quadrado igual a 45. Depois, eu preciso da raiz quadrada em ambos os membros. Então, 𝐵𝐶 é igual à raiz quadrada de 45. E, na verdade, eu posso simplificar esse irracional. Porque do que eu me devo lembrar é que 45 é igual a nove vezes cinco. E como nove é um quadrado perfeito, posso trazer a raiz quadrada de nove para fora, para a frente. E simplificará como um irracional para 𝐵𝐶 igual a três raiz de cinco. Então, eu tenho os comprimentos dos meus dois lados: 𝐴𝐵 é igual a raiz de cinco, 𝐵𝐶 é igual a três raiz de cinco.

O passo final é então calcular a área, portanto, multiplicar estes dois comprimentos. Então eu terei a área como raiz de cinco vezes três raiz de cinco. Agora raiz de cinco vezes raiz de cinco dá cinco. Então eu tenho cinco vezes três, que é 15. Agora unidades para isto, bem, é uma área. Por isso, tem de ser unidades quadradas. Não sabemos se são centímetros quadrados ou milímetros quadrados. Então, vamos identificar como 15 unidades quadradas para a área.

Assim, esta questão envolvia aplicar o teorema de Pitágoras duas vezes para determinar a distância entre dois conjuntos diferentes de pontos e depois combiná-los utilizando o que sabemos sobre áreas de retângulos. Então, tem um resumo de como utilizar o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre dois pontos. E vimos como fazer isto em duas dimensões. Vimos também como fazer isto em três dimensões e, em seguida, uma aplicação para determinar a área de um retângulo. Vimos também como generalizar, para chegar a essa fórmula da distância. E pode achá-la útil se quiser simplesmente fazer a substituição na fórmula. Ou, pode achar que está perfeitamente feliz realizando apenas a abordagem lógica de olhar para a diferença entre os valores de 𝑥 e de 𝑦, e assim por diante.