Vídeo: Fatorando a Diferença de Dois Quadrados

Fatore completamente 64(𝑥 + 1)² − 9(𝑥 − 1)².

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Transcrição do vídeo

Fatores completamente 64 vezes 𝑥 mais um ao quadrado menos nove vezes 𝑥 menos um ao quadrado.

Agora podemos fatorar isso multiplicando tudo. Essencialmente, expandi-lo e, em seguida, simplificá-lo, montá-lo novamente e, em seguida, fatorar a partir daí. Mas na verdade, há algo muito mais rápido. Se deixarmos que seja o nosso termo 𝑎 e este seja o nosso termo 𝑏 e há um menos no meio, estamos muito perto da forma da diferença de quadrados. Portanto, diferença de dois quadrados diz: se temos 𝑎 ao quadrado menos 𝑏 ao quadrado, ele pode fatorar para igual 𝑎 mais 𝑏 vezes 𝑎 menos 𝑏.

Então, olhando para o nosso primeiro termo, podemos deixar que seja 𝑎 ao quadrado? Pode 64 e 𝑥 mais um quadrado ter raiz quadrada? Porque se nós deixássemos que isso fosse 𝑎 ao quadrado, a fim de encontrar 𝑎, precisaríamos criar uma raiz quadrada. A raiz quadrada de 64 é oito. E a raiz quadrada de 𝑥 mais um ao quadrado seria 𝑥 mais um. Então funciona! E o mesmo para o segundo. Isso pode ser representado por 𝑏 ao quadrado? Pode, porque a raiz quadrada de nove é três e a raiz quadrada de 𝑥 menos um ao quadrado é 𝑥 menos um. Então nós temos um 𝑎 ao quadrado. Nós temos um 𝑏 ao quadrado. E nós temos o sinal de menos entre eles. Então, isso será considerado uma diferença de quadrados.

Então, agora precisamos simplesmente pegar 𝑎 e 𝑏 e substitui-los à forma fatorada. Só para manter isso organizado, enquanto estivermos nos substituindo, vamos deixar o 𝑎 ser rosa e o 𝑏 ser azul. Então, aqui, nós substituímos 𝑎 mais 𝑏. E agora, substituímos 𝑎 menos 𝑏. Então, para fatorar completamente, precisamos simplificar dentro dos parênteses. E para isso, precisaremos distribuir. Então, nós distribuímos a maior parte. Mas temos que ter cuidado com esta última peça porque é menos 𝑏. Então, se nós distribuíssemos o três, isso cria três 𝑥 menos três. No entanto, precisamos distribuir o sinal negativo na frente disso. Então, isso é um menos três e um três positivo.

Agora precisamos combinar termos semelhantes entre parênteses. Temos 11𝑥 mais cinco para o primeiro e cinco 𝑥 mais 11 para o segundo. Portanto, nossa resposta final será 11𝑥 mais cinco vezes cinco 𝑥 mais 11. Agora, afirmei antes que havia outra maneira de fazer isso. Isso levaria um pouco mais de trabalho. Mas também podemos fazer isso. Então vamos em frente e apagar tudo isso, mas mantenho nossa resposta final e mostrarei que há outra maneira de fazer isso.

Ok, então começando de novo, iremos fatorar, mas usando um método diferente. Vamos começar expandindo isso, multiplicando-o. Primeiro, vamos cuidar dos quadrados. Então, quando algo está ao quadrado, estamos multiplicando algo por si mesmo. Então, em vez de 𝑥 mais um ao quadrado, é 𝑥 mais um vezes 𝑥 mais um e a mesma coisa com 𝑥 menos um. E agora, precisamos distribuir o 𝑥 mais um vezes 𝑥 mais um. Nós distribuiremos e obteremos 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 mais 𝑥 mais um. Assim, podemos combinar os dois 𝑥s no meio e torná-lo 𝑥 ao quadrado mais dois 𝑥 mais um. E agora fazemos o mesmo para o 𝑥 menos um vezes 𝑥 menos um. E temos 𝑥 ao quadrado menos um 𝑥 menos um 𝑥 mais um. Então podemos combinar os dois termos do meio e obter 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais um.

Então agora, nós distribuímos o 64 e o menos nove. Agora que nós distribuímos, precisamos combinar termos semelhantes. E nós temos 55 𝑥 ao quadrado mais 146 𝑥 mais 55. Então isso é o que nós chamaríamos de um trinômio avançado porque 𝑎 é maior que um. 𝑎 é o coeficiente líder, 55. Então, para resolver, usaremos o método de tentativa e erro. Então, vamos deslizar o 55 para trás e tomar 55 vezes 55. E temos 𝑥 ao quadrado mais 146𝑥 mais 3025. Então, dois números que multiplicam para ser 3025 e somam para 146, seriam 25 e 121. Agora, os 55 que nós escorregamos para trás, agora devemos deslizar para baixo desses números.

E agora simplificamos nossas frações. E temos 𝑥 mais cinco 11 avos vezes 𝑥 mais 11 quintos. Agora, nossos denominadores não deixamos no denominador, no fundo, vamos movê-los para cima com os 𝑥s. Então, assim como nós chegamos antes, a resposta final é 11𝑥 mais cinco vezes cinco 𝑥 mais 11.

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