Vídeo da aula: Regiões do Plano Complexo Mathematics

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos a expressar regiões em um plano complexo em termos de inequações e como interpretar inequações como regiões no plano complexo. É provável que todos vocês tenham trabalhado extensivamente com regiões no plano cartesiano real, considerando-as como inequações. E este vídeo vai estender esses conceitos. Começaremos considerando regiões definidas por semirretas, círculos e de retas perpendiculares bissetrizes, antes de ver como a notação definida pode nos ajudar a encontrar regiões compostas.

Lembre-se, existem duas equações que são usadas para definir o lugar geométrico dado por um círculo. As equações, o módulo de 𝑧 menos 𝑧 um é igual a 𝑟, representam um círculo com um raio de 𝑟 e um centro em 𝑧 um. As equações, o módulo de 𝑧 menos 𝑧 um é igual a 𝑘 vezes o módulo de 𝑧 menos 𝑧 dois, também representam um círculo quando 𝑘 é maior que zero, mas não igual a um. Nestas situações, o raio e o centro precisarão ser encontrados para cada caso.

Nós também precisamos conhecer as equações da forma que o módulo de 𝑧 menos 𝑧 um é igual ao módulo de 𝑧 menos 𝑧 dois dão uma bissetriz perpendicular ao segmento de reta que une 𝑧 um a 𝑧 dois, como mostrado neste diagrama. E finalmente, uma semirreta é descrita usando o argumento. As equações, o argumento de 𝑧 menos 𝑧 um é igual a 𝜃, representam uma semirreta de, mas não incluindo, 𝑧 um. Esta semirreta faz um ângulo de 𝜃 com a semirreta horizontal que também se estende de 𝑧 um na direção 𝑥 positiva.

Assim como com regiões no plano cartesiano, também precisaremos usar o fato de que uma inequação estrita, maior ou menor do que, será representada por uma reta tracejada, ao passo que uma inequação fraca, maior ou igual a ou menor que ou igual a, será representado por uma reta sólida. Vamos começar considerando um exemplo simples que use algumas dessas definições e vejamos como decidir quais regiões são as necessárias.

Esboce em um diagrama de Argand a região representada pelo argumento de 𝑧 mais três menos dois 𝑖 é maior que ou igual a menos 𝜋 sobre dois e menor que 𝜋 sobre quatro.

Para esboçar essa região, começaremos considerando os limites. Eles são dados pelo argumento de 𝑧 mais três menos dois 𝑖 é igual a menos 𝜋 sobre dois e o argumento de 𝑧 mais três menos dois 𝑖 é igual a 𝜋 sobre quatro. Cada um deles representa semirreta. Podemos reescrever 𝑧 mais três menos dois 𝑖 fatorando menos um. E temos 𝑧 menos menos três mais dois 𝑖. O ponto que representa esse número complexo terá coordenadas cartesianas menos três, dois. E, claro, representamos isso com um círculo aberto, pois sabemos que o lugar geométrico de pontos não inclui esse ponto.

O primeiro limite vai fazer um ângulo de menos 𝜋 sobre dois com a horizontal positiva, medido no sentido anti-horário. Isto é o mesmo que medir um ângulo de mais 𝜋 sobre dois no sentido horário. E esta é uma inequação fraca. Então desenhamos uma reta sólida para esta, como mostrado. A semirreta do nosso próximo limite fará um ângulo de 𝜋 sobre quatro radianos com a horizontal positiva, medida no sentido anti-horário. Desta vez, é uma inequação fraca. Então, precisamos desenhar uma reta tracejada como mostrado.

Agora que temos os limites para nossa região, precisamos decidir qual lado da região vamos sombrear. Estamos interessados em todos os números complexos, de forma que o argumento de 𝑧 mais três menos dois 𝑖 seja maior ou igual a menos 𝜋 sobre dois e menor que 𝜋 sobre quatro. Essa vai ser a região que fica entre essas duas semirretas. Então nós sombreamos esta região. E nós terminamos. Nós esboçamos a região necessária em um diagrama de Argand.

Em nosso próximo exemplo, consideraremos uma região circular.

A figura mostra uma região no plano complexo. Escreva uma descrição algébrica da região sombreada.

Podemos ver claramente que isso é um círculo. Mas há duas maneiras de descrever o lugar geométrico que forma um círculo. Eles são o módulo de 𝑧 menos 𝑧 um é igual a 𝑟 e o módulo de 𝑧 menos 𝑧 um é igual a 𝑘 vezes o módulo de 𝑧 menos 𝑧 dois. Neste exemplo, faz muito mais sentido usar a primeira fórmula. Na verdade, tentamos usar essa forma ao descrever regiões, pois é muito mais simples encontrar o centro e o raio e, em seguida, encontrar dois pontos cuja distância até o círculo está em razão constante.

Podemos ver que o centro do nosso círculo é representado pelo número complexo quatro mais 𝑖. As coordenadas cartesianas desse ponto são quatro, um. E poderíamos usar a fórmula de distância para calcular o raio com zero, sete ou zero, menos cinco como um dos outros pontos. Alternativamente, podemos encontrar o módulo da diferença entre o número complexo quatro mais 𝑖 e sete 𝑖 ou menos cinco 𝑖. Vamos usar sete 𝑖.

Sete 𝑖 menos quatro mais 𝑖 é o mesmo que seis 𝑖 menos quatro ou menos quatro mais seis 𝑖. Portanto, precisamos encontrar o módulo de menos quatro mais seis 𝑖. Para encontrar o módulo, nós elevamos ao quadrado as partes real e imaginária, encontramos sua soma e depois encontramos a raiz quadrada desse número. Então esse é o módulo de menos quatro ao quadrado mais seis ao quadrado, que é dois raiz de 13. Então sabemos que o limite para nossa região, o círculo, é descrito pela equação, o módulo de 𝑧 menos quatro mais 𝑖, porque é o centro, é igual a dois raiz de 13, pois esse é o raio. E podemos distribuir esses parênteses e escrevê-lo como mostrado.

No entanto, precisamos considerar a região. É a região fora do círculo. Cada ponto da região está mais distante do centro do círculo do que a distância do raio. É também uma reta sólida, o que significa que representa uma inequação fraca. E podemos, portanto, dizer que a região é representada pelo módulo de 𝑧 menos quatro menos 𝑖 é maior ou igual a dois raiz de 13.

Até agora, analisamos regiões simples definidas por meio de retas e círculos. Para definir regiões compostas, no entanto, precisamos usar a notação de conjunto. Vamos relembrar brevemente os que nos interessam.

𝐴 união 𝐵 é o conjunto de todos os elementos em 𝐴 ou 𝐵 ou ambos. 𝐴 interseção 𝐵 é o conjunto de todos os elementos que estão em 𝐴 e 𝐵. É a sobreposição. 𝐴 traço é o complemento de 𝐴. E esse é o conjunto de todos os elementos que não estão em 𝐴, como mostrado neste terceiro diagrama de Venn. Vamos ver agora como podemos definir regiões compostas usando essa notação.

Descreva a região sombreada na seguinte figura algebricamente na forma 𝐴 interseção 𝐵 intersecção 𝐶, onde 𝐴 é o conjunto de números complexos onde a parte imaginária de 𝑧 é menor que 𝐴. 𝐵 é o conjunto de números complexos de tal forma que o módulo de 𝑧 é menor ou igual ao módulo de 𝑧 menos 𝑧 um. E 𝐶 é o conjunto de números complexos de tal forma que o módulo de 𝑧 é menor ou igual ao módulo de 𝑧 menos 𝑧 dois. E 𝑎, que é um número real, e 𝑧 um e 𝑧 dois, que são números complexos, são constantes a serem encontradas.

Podemos ver que a região é limitada por três retas. Temos uma reta horizontal, que é L um, e duas retas diagonais que rotulei de L dois e L três. Podemos ver que nossa reta horizontal tem uma equação da parte imaginária de 𝑧 igual a dois. Agora, estamos interessados na região diretamente abaixo disso. E podemos ver que isso é representado por uma reta tracejada. Então, vai ser uma inequação estrita. Podemos dizer então que 𝐴 é igual ao conjunto de números complexos, em que a parte imaginária desse número complexo deve ser menor que dois.

Vamos agora considerar a reta diagonal que passa pelos pontos três, zero e zero, três. Lembre-se, descrevemos retas diagonais no plano complexo como perpendiculares bissetrizes de um segmento de reta unindo um ponto à origem. E é possível fazer isso aqui por inspeção. Observe que a própria reta passa por dois vértices de um quadrado em três, zero e zero, três. Isso significa que a reta que ela divide ao meio deve passar pelos outros dois vértices em zero, zero e três, menos três.

Portanto, nossa reta é a perpendicular bissetriz do segmento de reta que une o ponto três, menos três à origem. Isso representa o número complexo três menos três 𝑖. Assim, podemos dizer que 𝐵 é igual ao conjunto de números complexos, de modo que o módulo desse número complexo seja menor ou igual ao módulo de 𝑧 menos três menos três 𝑖.

Agora vamos considerar a terceira reta. Não é tão fácil encontrar a reta que corta ao meio por inspeção. Então, podemos olhar para um método que generaliza bem. Começaremos encontrando o gradiente da nossa reta. A fórmula aqui é a variação em 𝑦 dividida pela variação em 𝑥 ou 𝑦 dois menos 𝑦 um sobre 𝑥 dois menos 𝑥 um. O gradiente é, portanto, menos três menos zero sobre zero menos menos dois, que é menos três sobre dois.

Como essa reta passa pelo eixo imaginário em menos três, podemos dizer que sua equação é 𝑦 igual a menos três sobre dois 𝑥 menos três. E também podemos encontrar o gradiente da reta bissetriz. Como a reta bissetriz é perpendicular a essa reta, seu gradiente é de dois terços. E claro, passa pela origem. Portanto, sua equação é 𝑦 igual a dois terços 𝑥.

Em seguida, encontraremos o ponto de intersecção dessas retas. E nós faremos isso igualando-as. Adicionamos menos três sobre dois 𝑥 em ambos os lados e depois dividimos por três. E vemos que o valor 𝑥 do ponto onde essas duas retas se cruzam é menos 18 sobre 13. Substituindo isso em qualquer uma das equações que acabamos de usar e obtemos um valor 𝑦 de menos 12 sobre 13. Portanto, agora sabemos o ponto em que essas duas retas se cruzam. Nossa reta é a reta perpendicular bissetriz do segmento de reta que une um número complexo com a origem. Então, essa coordenada que acabamos de encontrar deve ser metade do valor do número complexo que precisamos.

Podemos, portanto, dobrar ambos os valores 𝑥 e 𝑦. E podemos ver que o número complexo que precisamos, o 𝑧 dois em parte 𝐶, é dado pelo ponto cujas coordenadas cartesianas são menos 36 sobre 13, menos 24 sobre 13. E isso nos diz que 𝐶 é igual ao conjunto de números complexos tais que o módulo de 𝑧 é menor que ou igual ao módulo de 𝑧 menos menos 36 sobre 13 menos 24 sobre 13 𝑖. E, claro, a pergunta dizia que 𝑎, 𝑧 um e 𝑧 dois são constantes a serem encontradas. Então nós adicionamos que 𝑎 é igual a dois. 𝑧 é igual a três menos três 𝑖. E 𝑧 dois é igual a menos 36 sobre 13 menos 24 sobre 13.

Agora vamos considerar um outro exemplo de representação de regiões compostas no plano complexo.

O número complexo 𝑧 satisfaz as seguintes condições. O módulo de 𝑧 é maior ou igual a duas vezes o módulo de 𝑧 mais 12 menos nove 𝑖. O módulo de 𝑧 menos dois 𝑖 é maior ou igual ao módulo de 𝑧 mais seis mais quatro 𝑖. E a parte imaginária de 𝑧 é menor que 12. Represente a região em um diagrama de Argand.

Começaremos considerando a primeira região. Podemos encontrar o centro e o raio do círculo substituindo 𝑧 igual a 𝑥 mais 𝑦𝑖 em nossa equação. Lembre-se de que, no momento, estamos apenas encontrando o limite para a região. Em seguida, elevamos ao quadrado os dois lados dessa equação. Podemos instantaneamente substituir dois ao quadrado por quatro.

Mas para o outro lado, precisaremos usar a definição do módulo. Sabemos que o módulo de 𝑥 mais 𝑦𝑖 é igual à raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado. Então, o lado esquerdo de nossa equação se torna 𝑥 ao quadrado mais 𝑦 ao quadrado. Em seguida, reunimos as partes reais e imaginárias no lado direito. E temos quatro vezes 𝑥 mais 12 todos ao quadrado mais 𝑦 menos nove todos ao quadrado. Expandindo os parênteses e simplificando, do lado direito, obtemos quatro 𝑥 ao quadrado mais 96 𝑥 mais quatro 𝑦 ao quadrado menos 72 𝑦 mais 900. Subtraímos 𝑥 ao quadrado e 𝑦 ao quadrado de ambos os lados dessa equação. E então, nós nos dividimos por três.

Agora, estamos procurando encontrar a equação cartesiana de um círculo. Então, vamos completar o quadrado em 𝑥 e 𝑦. Para 𝑥, obtemos 𝑥 mais 16 todos ao quadrado menos 256. E para 𝑦, obtemos 𝑦 menos 12 todos ao quadrado menos 144. E adicionamos 300, é claro. Menos 256 menos 144 mais 300 é menos 100. Então adicionamos 100 a ambos os lados. E nós temos a equação cartesiana de um círculo. Ele tem um centro em menos 16, 12 e um raio de 10 unidades.

O limite para a nossa primeira região é, portanto, este círculo, como mostrado. Mas como decidimos se devemos sombrear dentro ou fora desse círculo? Bem, vamos escolher um ponto que sabemos estar fora do círculo. Vamos escolher o ponto cujas coordenadas cartesianas são um, zero. Este é o número complexo um. Vamos substituir isso pela primeira inequação e ver se a afirmação faz sentido.

Esta afirmação é o módulo de um é maior ou igual a duas vezes o módulo de um mais 12 menos nove 𝑖. Ou o módulo de um é maior ou igual a duas vezes o módulo de 13 menos nove 𝑖. Bem, o módulo de um é um. E o módulo de 13 menos nove 𝑖 é raiz de 250. Bem, não é verdade que um é maior que dois raiz de 250. Portanto, essa afirmação é falsa. E isso nos diz que nos interessaremos pelo interior do círculo. Essa é a região que satisfaz essa primeira condição. Vamos sombrear totalmente uma região quando consideramos as outras duas situações.

Agora, para dois, sabemos que a equação, o módulo de 𝑧 menos dois 𝑖 é igual ao módulo de 𝑧 mais seis mais quatro 𝑖, representa a perpendicular bissetriz do segmento de reta que une o ponto que representa dois 𝑖 e menos seis menos quatro 𝑖. Esse é o segmento de reta entre zero, dois e menos seis, menos quatro. Nós poderíamos encontrar a equação exata da perpendicular bissetriz deste segmento de reta considerando o gradiente e o ponto médio do segmento de reta que ela divide. Alternativamente, neste exemplo, podemos fazer isso por inspeção. E podemos ver que a reta passa pelo ponto zero, menos quatro e menos quatro, zero. E, de fato, também passa pelo centro do nosso círculo.

Mais uma vez, vamos substituir 𝑧 igual a um na inequação e ver se a afirmação faz sentido. O módulo de um menos dois 𝑖 é a raiz quadrada de cinco. E o módulo de um mais seis mais quatro 𝑖 ou o módulo de sete mais quatro 𝑖 é a raiz quadrada de 65. Mais uma vez, podemos ver que não é verdade que a raiz quadrada de cinco é maior ou igual a raiz quadrada de 65. E podemos ver que estamos interessados no outro lado da reta. E, claro, lembre-se, desenhamos uma reta sólida porque nossa inequação é uma inequação fraca.

Vamos agora considerar a terceira região. Disseram-nos que a parte imaginária de 𝑧 deve ser menor que 12. O limite dessa região é a reta horizontal que passa por 12 no eixo imaginário. E porque é uma inequação estrita, desenhamos uma reta tracejada. Estamos interessados na região abaixo desta reta tracejada. Para satisfazer todas as três regiões nesta questão, precisamos da intersecção das regiões. Então sombreamos a sobreposição entre as três regiões. É o setor do círculo mostrado. E nós terminamos. Nós representamos a região em um diagrama de Argand.

Neste vídeo, vimos que podemos usar nosso entendimento de lugar geométrico para representar regiões no plano complexo. Usamos retas tracejadas para representar pontos de limite que não são incluídos e retas sólidas para representar regiões que incluem seus pontos de limite. E podemos usar operações de conjunto, como uniões, interseções e complementos, para definir regiões compostas no plano complexo.