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Vídeo da aula: Resolvendo Equações Exponenciais Utilizando Logaritmos Matemática • 1º Ano

Neste vídeo, aprenderemos como usar logaritmos para resolver equações exponenciais.

17:27

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como usar logaritmos para resolver equações exponenciais. Começaremos observando a relação entre as funções exponenciais e as funções logarítmicas. Também lembraremos as propriedades dos logaritmos.

Sabemos que as funções logarítmicas são as inversas das funções exponenciais. Se 𝑎 elevado a 𝑥 é igual a 𝑏, então 𝑥 é igual a log de 𝑏 na base 𝑎. Usaremos essa regra para resolver equações na forma exponencial. Por exemplo, se dois elevado a 𝑥 é igual a 16, 𝑥 é igual a log de 16 na base dois. Usando nossa calculadora científica, ela nos dá uma resposta de quatro. Sabemos que isso é correto, pois dois elevado a quatro é 16.

Neste vídeo, ao resolver equações exponenciais, também precisaremos considerar as propriedades dos logaritmos. A primeira propriedade afirma que o log de 𝑥 na base 𝑎 mais o log de 𝑦 na base 𝑎 é igual ao log de 𝑥 multiplicado por 𝑦 na base 𝑎. Da mesma forma, o log de 𝑥 na base 𝑎 menos o log de 𝑦 na base 𝑎 é igual ao log de 𝑥 dividido por 𝑦 na base 𝑎. Finalmente, temos o log de 𝑥 elevado a 𝑛 na base 𝑎 é igual a 𝑛 multiplicado pelo log de 𝑥 na base 𝑎.

É essa terceira propriedade, juntamente com o vínculo entre as equações exponenciais e as equações logarítmicas, que usaremos na maior parte deste vídeo. Percebemos que em todas as três propriedades dos logaritmos, a base deve ser a mesma. Lembramos que o log de 𝑥 na base 10 geralmente é escrito como log de 𝑥. Portanto, é comum que, ao calcularmos logaritmos, levemos os logs para a base 10. Isso significa que não precisamos escrever a base em todas as linhas de nossos cálculos. Veremos agora algumas questões específicas em que precisamos resolver equações exponenciais.

Resolva três elevado a 𝑥 é igual a 11 para 𝑥, dando sua resposta a três casas decimais.

Existem duas maneiras de resolver essa equação usando logaritmos. Em primeiro lugar, podemos usar o fato de que se 𝑎 elevado a 𝑥 é igual a 𝑏, então 𝑥 é igual a log de 𝑏 na base 𝑎. Nesta questão, as constantes 𝑎 e 𝑏 são três e 11, respectivamente. Isso significa que 𝑥 é igual a log de 11 na base três. Podemos digitar o lado direito diretamente em nossa calculadora científica, dando-nos 2,182658 e assim por diante. Como queremos que a resposta seja dada a três casas decimais, o número decisivo é o seis. Quando o número decisivo é cinco ou mais, arredondamos para cima. Portanto, 𝑥 é igual a 2,183. Podemos verificar essa resposta substituindo nosso valor de volta na equação original. Três elevado a 𝑥 é igual a 11.

Um método alternativo para resolver essa questão seria obter logs de ambos os lados primeiro. Lembramos que um logaritmo escrito sem uma base é o log de base 10. Uma de nossas propriedades de logaritmos afirma que log de 𝑥 elevado a 𝑛 é igual a 𝑛 multiplicado por log de 𝑥. Como o expoente no lado esquerdo da nossa equação é 𝑥, isso pode ser reescrito como 𝑥 multiplicado por log de três. Isso é igual a log de 11. Podemos então dividir ambos os lados da nossa equação por log de três, de modo que 𝑥 seja igual a log de 11 dividido por log de três. Mais uma vez, obtemos uma resposta arredondada para três casas decimais de 2,183.

Em nossa próxima pergunta, o expoente será mais complicado.

Encontre, para o centésimo mais próximo, o valor de 𝑥 para o qual dois elevado a 𝑥 mais oito é igual a nove.

Nesta questão, queremos resolver uma equação exponencial. Faremos isso usando nosso conhecimento de logaritmos. Existem dois métodos comuns de fazer isso. Uma maneira é lembrar que se 𝑎 elevado a 𝑥 é igual a 𝑏, então 𝑥 é igual a log de 𝑏 na base 𝑎. Nesta questão, nosso expoente é 𝑥 mais oito e nossos valores de 𝑎 e 𝑏 são dois e nove, respectivamente. O expoente 𝑥 mais oito é, portanto, igual ao log de nove na base dois. Digitando o lado direito na calculadora nos dá 3,169925 e assim por diante. Como queremos encontrar o valor de 𝑥, precisamos subtrair oito de ambos os lados dessa equação. Isso nos dá 𝑥 é igual a menos 4,830074 e assim por diante. Queremos arredondar para o centésimo mais próximo, que é o mesmo que duas casas decimais. 𝑥 é, portanto, igual a menos 4,83. Poderíamos verificar essa resposta substituindo-a de volta na equação de dois elevado a 𝑥 mais oito é igual a nove.

Um método alternativo seria obter logs de ambos os lados da equação original. Poderíamos então usar a propriedade dos logaritmos que afirma que log de 𝑥 elevado a 𝑛 é igual a 𝑛 multiplicado por log de 𝑥. O lado esquerdo da equação se torna 𝑥 mais oito multiplicado por log de dois. Isso é igual a log de nove. Podemos então dividir ambos os lados da equação por log de dois, de modo que 𝑥 mais oito seja igual a log de nove dividido por log de dois. Este lado direito é na verdade o mesmo que o log de nove na base dois. Se digitássemos diretamente na calculadora, obteríamos 3,169925 e assim por diante novamente. Em seguida, subtraímos oito de ambos os lados dessa equação, dando-nos 𝑥 igual a menos 4,83.

Qualquer um desses métodos é aceitável para resolver uma equação exponencial desse tipo.

Nossa próxima pergunta é mais complicada, pois teremos um expoente em ambos os lados da nossa equação.

Use uma calculadora para encontrar o valor de 𝑥 para o qual três elevado a menos quatro 𝑥 menos três é igual a oito elevado a 𝑥 mais 4,7. Dê sua resposta correta para duas casas decimais.

Para resolver essa equação exponencial, começaremos calculando os logaritmos de ambos os lados. Isso nos dá log de três elevado a menos quatro 𝑥 menos três é igual a log de oito elevado a 𝑥 mais 4,7. Lembramos que uma de nossas propriedades de logaritmos afirma que log de 𝑥 elevado a 𝑛 é igual a 𝑛 multiplicado por log de 𝑥. Descendo os expoentes em ambos os lados da equação, temos menos quatro 𝑥 menos três multiplicado por log de três é igual a 𝑥 mais 4,7 multiplicado por log de oito.

Podemos então distribuir os parênteses ou expandir os colchetes em ambos os lados. O lado esquerdo se torna menos quatro 𝑥 log de três menos três log de três. O lado direito se torna 𝑥 log de oito mais 4,7 log de oito. Dois dos nossos quatro termos contêm 𝑥. Portanto, precisamos colocar esses dois termos em um lado da equação. Podemos adicionar quatro 𝑥 log de três e subtrair 4,7 log de oito de ambos os lados da equação, de modo que menos três log de três menos 4,7 log de oito é igual a 𝑥 log de oito mais quatro 𝑥 log de três.

Nosso próximo passo é fatorar 𝑥 no lado direito, então isso se torna 𝑥 multiplicado por log de oito mais quatro log de três. Agora podemos dividir ambos os lados da equação por log de oito mais quatro log de três, de modo que isolamos o 𝑥. 𝑥 é igual a menos três log de três menos 4,7 log de oito dividido por log de oito mais quatro log de três. Lembrando que um log sem base significa log de base 10, podemos digitar isso em nossa calculadora de forma que 𝑥 seja igual a menos 2,018756 e assim por diante. Arredondando isso para duas casas decimais nos dá 𝑥 é igual a menos 2,02. Este é o valor de 𝑥 para o qual três elevado a menos quatro 𝑥 menos três é igual a oito elevado a 𝑥 mais 4,7.

Saberemos observar dois tipos ligeiramente diferentes de equações exponenciais.

Resolva dois multiplicado por três elevado a 𝑥 é igual a cinco multiplicado por quatro elevado a 𝑥 para 𝑥, dando sua resposta a três casas decimais.

Existem muitas maneiras de começar essa pergunta. Uma maneira seria dividir ambos os lados por cinco multiplicado por três elevado a 𝑥. Isso significa que no lado esquerdo, três elevado a 𝑥 se cancelam e ficamos com dois quintos. No lado direito, os cinco cancelam e ficamos com quatro elevado a 𝑥 dividido por três elevado a 𝑥. Quando o numerador e o denominador de uma fração são elevados à mesma potência, ele pode ser reescrito como mostrado. 𝑎 elevado a 𝑥 dividido por 𝑏 elevado a 𝑥 é igual a 𝑎 sobre 𝑏 elevado a 𝑥. Isso significa que dois quintos são iguais a quatro terços elevado a potência de 𝑥.

Poderíamos resolver essa equação tomando logaritmos de ambos os lados. Alternativamente, poderíamos usar o fato de que se 𝑎 elevado a 𝑥 é igual a 𝑏, então 𝑥 é igual a log de 𝑏 na base 𝑎. Nossos valores de 𝑎 e 𝑏, respectivamente, são quatro terços e dois quintos. Portanto, 𝑥 é igual a log de dois quintos na base quatro terços. Digitando isso na calculadora, obtemos 𝑥 igual a menos 3,185081 e assim por diante. Como somos solicitados a arredondar nossa resposta para três casas decimais, 𝑥 é igual a menos 3,185.

Como mencionado anteriormente, poderíamos ter obtido logaritmos de ambos os lados quando tínhamos a equação que dois quintos são iguais a quatro terços elevado a 𝑥. Isso nos daria log de dois quintos é igual a log de quatro terços elevado a 𝑥. Uma de nossas propriedades de logaritmos afirma que log de 𝑥 elevado a 𝑛 é igual a 𝑛 multiplicado por log de 𝑥. Isso significa que poderíamos reescrever o lado direito como 𝑥 multiplicado pelo log de quatro terços. Dividindo ambos os lados por log de quatro terços nos dá 𝑥 é igual a log de dois quintos dividido por log de quatro terços. Digitando isso na calculadora também nos dá uma resposta negativa de 3,185. Isso confirma que este é o valor de 𝑥 que resolve a equação dois multiplicado por três elevado a 𝑥 é igual a cinco multiplicado por quatro elevado a 𝑥.

Vamos agora olhar para uma pergunta final.

Use uma calculadora para encontrar o valor de 𝑥 para o qual dois elevado a 𝑥 multiplicado por sete é igual a 16 multiplicado por sete elevado a 𝑥 mais nove. Dê sua resposta correta para duas casas decimais.

Começaremos esta questão tomando logs de ambos os lados da equação. Isso nos dá log de dois elevado a 𝑥 multiplicado por sete é igual a log de 16 multiplicado por sete elevado a 𝑥 mais nove. Lembramos que uma de nossas propriedades de logaritmos afirma que log de 𝑥 mais log de 𝑦 é igual a log de 𝑥 multiplicado por 𝑦. Isso significa que podemos reescrever o lado esquerdo como log de dois elevado a 𝑥 mais log de sete. O lado esquerdo pode ser reescrito como log de 16 mais log de sete elevado a 𝑥 mais nove.

Uma de nossas outras propriedades de logaritmos afirma que log de 𝑥 elevado a 𝑛 é igual a 𝑛 log de 𝑥. Podemos reescrever o primeiro termo do lado esquerdo como 𝑥 log de dois. O termo final do lado direito pode ser reescrito como 𝑥 mais nove multiplicado por log de sete. Podemos distribuir nossos parênteses aqui para obter 𝑥 log de sete mais nove log de sete.

Nossa equação tornou-se, portanto, 𝑥 log de dois mais log de sete é igual a log de 16 mais 𝑥 log de sete mais nove log de sete. Dois dos nossos cinco termos têm um 𝑥 e precisamos garantir que eles estejam do mesmo lado da equação. Subtraindo log de sete e 𝑥 log de sete de ambos os lados da equação nos dá 𝑥 log de dois menos 𝑥 log de sete é igual a log de 16 mais nove log de sete menos log de sete. Os dois últimos termos do lado direito podem ser simplificados. Nove log de sete menos log de sete é igual a oito log de sete.

Podemos então fatorar o 𝑥 no lado esquerdo para obter 𝑥 multiplicado por log de dois menos log de sete. Isso é igual a log de 16 mais oito log de sete. Finalmente, dividimos ambos os lados por log de dois menos log de sete. Digitando isso na calculadora, obtemos 𝑥 igual a menos 14,6395 e assim por diante. Somos solicitados a arredondar nossa resposta para duas casas decimais. Portanto, 𝑥 é igual a menos 14,64. Este é o valor para 𝑥 para o qual dois elevado a 𝑥 multiplicado por sete é igual a 16 multiplicado por sete elevado a 𝑥 mais nove.

Vamos agora resumir os pontos principais deste vídeo. Nós descobrimos neste vídeo que as funções logarítmicas são as inversas das funções exponenciais. Isso significa que podemos resolver uma equação exponencial tomando logaritmos de ambos os lados. Para resolver equações exponenciais simples, podemos usar o fato de que 𝑎 elevado a 𝑥 é igual a 𝑏 implica que 𝑥 é igual a log de 𝑏 na base 𝑎. Também podemos usar nossas três propriedades de logaritmos: log de 𝑥 mais log de 𝑦 é igual a log de 𝑥𝑦, log de 𝑥 menos log de 𝑦 é igual a log de 𝑥 dividido por 𝑦 e log de 𝑥 elevado a 𝑛 é igual a 𝑛 multiplicado por log de 𝑥.

Também lembramos que quando um logaritmo é escrito sem uma base, esse é o logaritmo padrão de base 10. Usando todo esse conhecimento de logaritmos, fomos capazes de resolver equações exponenciais, incluindo aquelas em que os expoentes são números racionais e os expoentes são binômios em uma variável.

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