Vídeo da aula: As 𝑛-ésimas Raízes da Unidade Mathematics

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar as 𝑛-ésimas raízes da unidade e explorar suas propriedades. Vamos começar aprendendo o que queremos dizer com as 𝑛-ésimas raízes da unidade e encontrar sua forma geral. Então, calcularemos sua soma e encontraremos as propriedades de sua inversa antes de descobrir a aplicação das 𝑛-ésimas raízes da unidade e suas propriedades geométricas.

Se 𝑧 é uma 𝑛-ésima raiz da unidade, então ela satisfaz a relação 𝑧 elevado a potência de 𝑛 é igual a um.

Podemos usar o teorema de Moivre para nos ajudar a resolver essa equação e, assim, encontrar a forma geral para as 𝑛-ésimas raízes da unidade. O teorema de Moivre para raízes afirma que, para um número complexo escrito na forma polar, 𝑟 cos 𝜃 mais 𝑖 sen 𝜃, suas 𝑛-ésimas raízes são dadas por 𝑟 elevado à potência de um sobre 𝑛 vezes cos de 𝜃 mais dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 mais 𝑖 sen 𝜃 mais dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛. E 𝑘 toma valores inteiros de zero a 𝑛 menos um.

Para resolver a equação 𝑧 elevado à potência de 𝑛 igual a um, começaremos escrevendo o número um na forma polar. Um cuja parte real é um e cuja parte imaginária é zero é um número bastante fácil de escrever na forma polar. Se representarmos um em um diagrama de Argand, vemos que ele pode ser representado pelos pontos cujas coordenadas cartesianas são um, zero. O módulo desse número, que é 𝑅 na forma geral de nosso número complexo, é o comprimento do segmento de reta que une esse ponto à origem. Então, seu módulo deve ser uma unidade. O argumento é a medida do ângulo que esse segmento de reta faz com o eixo real positivo. E isso é medido no sentido anti-horário. Podemos ver que seu argumento deve ser zero.

E, portanto, podemos dizer que um é igual a um vezes cos de zero mais 𝑖 sen de zero. As 𝑛-ésimas raízes da unidade, em outras palavras, as 𝑛-ésimas raízes de um são dadas por um vezes cos de zero mais dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 mais 𝑖 sen de zero mais dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 para valores de 𝑘 entre zero, dois, 𝑛 menos um.

Podemos simplificar essa expressão um pouco. E nós vemos que as 𝑛-ésimas raízes da unidade são dadas por cos de dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 mais 𝑖 sen de dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛, que na forma exponencial é 𝑒 elevado a dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 𝑖. E isso é para valores de 𝑘 entre zero e 𝑛 menos um. É importante perceber que essa é a definição das 𝑛-ésimas raízes da unidade. Deve ser aprendido e lembrado quando encontramos as 𝑛-ésimas raízes da unidade. Agora que derivamos isso, não é absolutamente necessário usar o teorema de Moivre todas as vezes. Nos próximos dois exemplos, vamos ver como aplicar essa fórmula para encontrar a 𝑛-ésima raiz da unidade.

Encontre as raízes cúbicas da unidade e desenhe-as em um diagrama de Argand.

Encontrar as raízes cúbicas da unidade é como dizer quais são as soluções para a equação 𝑧 ao cubo é igual a um. Para encontrá-las, podemos usar a fórmula geral para as 𝑛-ésimas raízes da unidade. Isso é cos de dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 mais 𝑖 sen de dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 para valores inteiros de 𝑘 entre zero e 𝑛 menos um. Como estamos encontrando as raízes cúbicas da unidade, neste exemplo, nosso valor de 𝑛 é três, o que significa que 𝑘 tomará os valores zero, um e dois.

Vamos começar com o caso quando 𝑘 é igual a zero. Essa raiz é cos de zero mais 𝑖 sen de zero. Bem, cos de zero é um. E o sen de zero é zero. Então a primeira raiz é um. E faz sentido se pensarmos que uma solução para a equação 𝑧 ao cubo igual a um seria um.

Em seguida, vamos fazer 𝑘 igual a um. Esta raiz é cos de dois 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen de dois 𝜋 sobre três. E na forma exponencial, isso é 𝑒 elevado a dois 𝜋 sobre três 𝑖. Finalmente, nós vamos fazer 𝑘 igual a dois. A raiz aqui é cos quatro 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen de quatro 𝜋 sobre três. Observe que o argumento para essa raiz está fora do intervalo do argumento principal. Portanto, subtraímos dois 𝜋 de quatro 𝜋 sobre três para obter menos dois 𝜋 sobre três. Portanto, a nossa terceira e última raiz é cos de menos dois 𝜋 sobre três mais 𝑖 sen de menos dois 𝜋 sobre três. Ou na forma exponencial, isso é 𝑒 elevado a menos dois 𝜋 sobre três 𝑖.

Agora que temos as raízes cúbicas da unidade, precisamos desenhá-las em um diagrama de Argand. Existem duas maneiras de abordar esse problema. Poderíamos converter cada número na forma algébrica. Isso é um, menos um meio mais raiz de três sobre dois 𝑖 e menos um meio menos raiz de três sobre dois 𝑖. Estes estão desenhados no diagrama de Argand, como mostrado. Alternativamente, poderíamos usar o módulo e o argumento de cada raiz.

De qualquer forma, vamos notar que os pontos que representam esses números complexos são os vértices de um triângulo equilátero. Este triângulo está inscrito em um círculo unitário cujo centro é a origem. Na verdade, uma interessante propriedade geométrica das 𝑛-ésimas raízes da unidade é que, em um diagrama de Argand, elas estão todas uniformemente espaçadas em torno do círculo unitário cujo centro é a origem. Elas formam um 𝑛-polígono regular. Que tem um vértice no ponto cujas coordenadas cartesianas são um, zero.

Vamos investigar essa propriedade um pouco mais adiante no vídeo.

Encontre as raízes sextas da unidade.

Encontrar as raízes sextas da unidade é o mesmo que resolver a equação 𝑧 elevado a potência de seis é igual a um. Mais uma vez, usaremos a fórmula geral para as 𝑛-ésimas raízes da unidade. Elas são cos de dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 mais 𝑖 sen de dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛, quando 𝑘 toma valores inteiros de zero a 𝑛 menos um. Neste exemplo, estamos procurando encontrar as raízes sextas da unidade. Então, 𝑛 é seis. E 𝑘 assume valores inteiros de zero a cinco. A primeira raiz é encontrada quando 𝑘 é igual a zero. Isso é cos de zero mais 𝑖 sen de zero, que é um.

Agora, na verdade, acabamos de ver que, em um diagrama de Argand, que os pontos que representam as 𝑛-ésimas raízes da unidade formam um 𝑛-polígono regular com um vértice no ponto um, zero. Essa é a raiz. Para a segunda raiz, deixamos 𝑘 ser igual a um. Isto é cos de dois 𝜋𝑘 sobre seis mais 𝑖 sen de dois 𝜋𝑘 sobre seis. O argumento aqui simplifica para 𝜋 sobre três. E nós também poderíamos escrever isso na forma exponencial como 𝑒 elevado a 𝜋 sobre três 𝑖. Quando 𝑘 é igual a dois, nossa raiz é cos de quatro 𝜋 sobre seis mais 𝑖 sen de quatro 𝜋 sobre seis. E esse argumento simplifica para dois 𝜋 sobre três.

Quando 𝑘 é igual a três, temos cos de seis 𝜋 sobre seis mais 𝑖 sen de seis 𝜋 sobre seis, o que é menos um. E então, quando 𝑘 é igual a quatro, temos cos de oito 𝜋 sobre seis mais 𝑖 sen de oito 𝑖 sobre seis. Agora aqui, o argumento simplifica para quatro 𝜋 sobre três. E isso está fora do intervalo do argumento principal. Portanto, subtraímos dois 𝜋 de quatro 𝜋 sobre três para obter menos dois 𝜋 sobre três. E na forma exponencial, nossa quinta raiz é 𝑒 elevado a menos dois 𝜋 sobre três 𝑖. Finalmente, quando 𝑘 é igual a cinco, obtemos cos de 10𝜋 sobre seis mais 𝑖 sen de 10𝜋 sobre seis. Desta vez, o argumento simplifica para cinco 𝜋 sobre três, que é mais uma vez fora do intervalo para o argumento principal. Cinco 𝜋 sobre três menos dois 𝜋 é menos 𝜋 sobre três. E, portanto, temos que, na forma exponencial, nossa raiz final é 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre três 𝑖.

E nós temos as raízes sextas da unidade. Na forma exponencial, elas são um, 𝑒 elevado a 𝜋 sobre três 𝑖, 𝑒 elevado a dois 𝜋 sobre três 𝑖, menos um, 𝑒 elevado a menos dois 𝜋 sobre três 𝑖, e 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre três 𝑖. Poderíamos desenhar as raízes sextas da unidade em um diagrama de Argand. E nós veríamos que os pontos que representam essas raízes formam os vértices de um hexágono regular inscrito em um círculo unitário, como mostrado.

Nesta fase, vale a pena notar uma definição extra. Dizemos que uma raiz primitiva da unidade é uma raiz que também não é uma 𝑘-ésima raiz da unidade, onde 𝑘 é menor que 𝑛. Portanto, neste exemplo, as raízes primitivas são quando 𝑘 é igual a um e 𝑘 é igual a cinco, pois as raízes quando 𝑘 é igual a dois e 𝑘 é igual a quatro também são raízes cúbicas da unidade. E quando 𝑘 é igual a zero e 𝑘 é igual a três, estas são as raízes quadradas da unidade. Em outras palavras, elas são a raiz quadrada de um.

Vamos examinar mais detalhadamente a relação entre diferentes raízes da unidade mais adiante neste vídeo. É útil saber que muitas vezes usamos o símbolo 𝜔 para denotar a raiz primitiva da unidade com o menor argumento estritamente positivo. No caso das raízes sextas da unidade, isso seria 𝑒 elevado a 𝜋 sobre três 𝑖. Curiosamente, suas outras raízes são todas as potências de 𝜔. Agora, está fora do escopo deste vídeo explorar mais essa propriedade. Mas é interessante que você queira investigar. Agora temos algumas definições e o processo que precisamos tomar para encontrar as 𝑛-ésimas raízes da unidade, vamos ver as propriedades da soma das 𝑛-ésimas raízes da unidade.

Encontre a soma das sextas raízes da unidade.

Agora, já calculamos as raízes sextas da unidade. Na forma polar, elas são como mostrado. Vamos mudar isso para forma algébrica. A segunda raiz é um meio mais a raiz de três sobre dois 𝑖. A terceira raiz é menos um meio mais a raiz de três sobre dois 𝑖. A quinta raiz é menos um meio menos raiz de três sobre dois 𝑖. E a raiz final é um meio menos raiz de três sobre dois 𝑖. E assim a soma delas é como mostrado.

E podemos encontrar a soma de números complexos escritos em forma algébrica, somando suas partes reais e adicionando separadamente suas partes imaginárias. Nós vamos começar com as partes reais. Um mais menos um é zero. Um meio mais menos um meio é zero. E menos um meio mais um meio também é zero. E as partes imaginárias? Bem, raiz de três sobre dois menos raiz de três sobre dois é zero. E novamente, raiz de três sobre dois menos raiz de três sobre dois é zero. E assim a soma das raízes sextas da unidade é zero.

Agora, isso não é realmente um processo que você precisaria tomar a cada vez. É um meio para um fim, já que podemos generalizar isso. Em geral, a soma das 𝑛-ésimas raízes da unidade, quando 𝑛 é maior que um, é sempre zero. E esse é outro resultado que precisa ser aprendido e aplicado quando necessário.

Para o nosso próximo exemplo, vamos ver como encontrar as inversas para as 𝑛-ésimas raízes da unidade.

Seja 𝑧 uma 𝑛-ésima raiz da unidade e 𝑘 um inteiro positivo. Qual das seguintes é a relação correta entre a inversa de 𝑧 e 𝑧? É a) a inversa de 𝑧 é igual a 𝑧. É b) a inversa de 𝑧 é igual a menos 𝑧. É c) a inversa de 𝑧 é igual ao conjugado negativo de 𝑧. Ou é d) a inversa de 𝑧 é igual a apenas o conjugado de 𝑧.

Para descobrir qual delas é a relação correta, primeiro vamos calcular 𝑧 elevado a menos um ou a inversa de 𝑧. Como 𝑧 é uma 𝑛-ésima raiz da unidade, podemos dizer que 𝑧 pode ser escrita como 𝑒 elevado a 𝑖𝜃, onde 𝜃 é dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 e 𝑘 assume valores inteiros de zero a 𝑛 menos um. Isto significa que 𝑧 elevado a menos um é o mesmo que 𝑒 elevado a 𝑖𝜃 elevado a menos um, que é o mesmo que 𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃.

Em seguida, recordamos a propriedade do conjugado de um número complexo escrito na forma exponencial. Sabemos que o conjugado de 𝑟𝑒 elevado a 𝑖𝜃 é 𝑟𝑒 elevado a menos 𝑖𝜃. E isso significa que 𝑧 elevado a menos um é igual ao conjugado de 𝑧 desde que definimos 𝑧 como 𝑒 elevado a 𝑖𝜃. E podemos ver que a inversa de 𝑧 ou 𝑧 elevado a menos um é igual ao conjugado de 𝑧. A resposta correta é d).

E esta definição pode ser um pouco estendida. Podemos dizer que a inversa da 𝑛-ésima raiz da unidade é o seu complexo conjugado. Mas essa também é a 𝑛-ésima raiz da unidade.

Vamos olhar para mais uma definição. E então, temos um exemplo da definição para as propriedades geométricas das 𝑛-ésimas raízes da unidade. Vamos começar considerando como as 𝑛-ésimas raízes da unidade estão relacionadas para diferentes valores de 𝑛.

Qual é a relação das raízes cúbicas da unidade com as raízes sextas da unidade?

Consideramos brevemente essa ideia. Já vimos que as raízes cúbicas são um, 𝑒 elevado a dois 𝜋 sobre três 𝑖 e 𝑒 elevado a menos dois 𝜋 sobre três 𝑖. E também vimos que as raízes sextas da unidade são um, 𝑒 elevado a 𝜋 sobre três 𝑖, 𝑒 elevado a dois 𝜋 sobre três 𝑖, menos um, 𝑒 elevado a menos dois 𝜋 sobre três 𝑖, e 𝑒 elevado a menos 𝜋 sobre três 𝑖. Podemos ver que todas as raízes cúbicas da unidade são também raízes sextas da unidade. E nós olhamos para elas quando estávamos discutindo o conceito das raízes primitivas da unidade.

Vamos estender essa ideia para uma definição. Podemos dizer que se 𝑛 é igual ao produto de algum outro 𝑚 e 𝑝, então as 𝑚-ésimas raízes da unidade são também as 𝑛-ésimas raízes da unidade. E da mesma forma, as 𝑝-ésimas raízes da unidade também devem ser as 𝑛-ésimas raízes da unidade. Podemos dizer que as raízes comuns de 𝑧 elevado a potência 𝑛 menos um igual a zero e 𝑧 elevado a potência de 𝑚 menos um igual a zero devem ser as raízes de 𝑧 elevado a potência de 𝑑 menos um igual a zero, onde 𝑑 é o máximo divisor comum de 𝑚 e 𝑛.

Vamos considerar um exemplo usando as aplicações das propriedades das 𝑛-ésimas raízes da unidade.

Dois polígonos regulares estão inscritos no mesmo círculo. O primeiro tem 1731 lados. E o segundo tem 4039. Se os dois polígonos tiverem pelo menos um vértice em comum, quantos vértices no total coincidirão?

Lembre-se, a interpretação geométrica das 𝑛-ésimas raízes da unidade em um diagrama de Argand são os vértices de um 𝑛-polígono regular inscrito dentro de um círculo unitário cujo centro é a origem. Isto significa então que podemos dizer que, para resolver este problema, precisamos encontrar o número de raízes comuns de 𝑧 elevado a potência de 1731 menos um é igual a zero e 𝑧 elevado a potência de 4039 menos um é igual a zero. Lembre-se, as raízes comuns de 𝑧 elevado a potência de 𝑚 menos um igual a zero e 𝑧 elevado a potência de 𝑛 menos um igual a zero são as raízes de 𝑧 elevado a potência de 𝑑 menos um é igual a zero, onde 𝑑 é o máximo divisor comum entre 𝑚 e 𝑛.

Assim, sabemos que as raízes comuns de nossas duas equações são as raízes de 𝑧 elevado a 𝑑 menos um igual a zero, onde 𝑑 é o máximo divisor comum de 1731 e 4039. E isso significa que se pudermos encontrar o valor de 𝑑, o máximo divisor comum de 1731 e 4039, ele nos dirá quantas raízes comuns realmente existem. Como um produto de seus fatores primos, eles podem ser escritos como três vezes 577 e sete vezes 577, respectivamente. Portanto, seu máximo divisor comum e o valor de 𝑑 é 577. E isso significa que, contanto que os polígonos tenham um vértice em comum, eles terão um total de 577 vértices que coincidem.

Neste vídeo, vimos que podemos encontrar as 𝑛-ésimas raízes da unidade e expressá-las na forma polar ou exponencial. Na forma exponencial, elas são 𝑒 elevado a dois 𝜋𝑘 sobre 𝑛 𝑖, onde 𝑘 toma valores inteiros de zero a 𝑛 menos um. Vimos que, se representarmos essas raízes em um diagrama de Argand, os pontos representam os vértices de um 𝑛-polígono regular inscrito dentro de um círculo unitário cujo centro está na origem.

Também vimos que a soma das 𝑛-ésimas raízes da unidade é zero para valores de 𝑛 maiores que um. E vimos que a inversa de uma 𝑛-ésima raiz da unidade é igual ao complexo conjugado dessa raiz. E isso também é uma 𝑛-ésima raiz da unidade. Finalmente, vimos que podemos encontrar as raízes comuns de 𝑧 elevado a potência de 𝑚 menos um igual a zero e 𝑧 elevado a potência de 𝑛 menos um igual a zero, encontrando as raízes de 𝑧 elevado a potência de 𝑑 menos um igual a zero, onde 𝑑 é o máximo divisor comum de 𝑚 e 𝑛. E consideramos brevemente a aplicação geométrica desse fato.