Video Transcript
Neste vídeo, aprenderemos como identificar um ângulo central numa circunferência e determinar a sua medida utilizando as suas propriedades. Para ilustrar isto, vamos pensar no Jack. A pista em que ele está a correr tem 400 metros a toda a volta. E digamos que o Jack corra um quarto da pista. Se destacarmos um quarto, será este espaço. E a seguir, se imaginarmos que o treinador do Jack está de pé no meio da pista, se ele seguir o Jack sem se mover do centro, vemos que ele percorreu um quarto da curva. E um quarto de uma volta que sabemos ser de 90 graus. Se quisermos indicar a distância que o Jack correu, poderíamos dizer que ele correu 100 metros porque 100 é um quarto de 400.
Agora, vamos adicionar a esta situação que há uma faixa maior fora da faixa menor. A pista maior tem 600 metros a toda a volta. E a Jill corre um quarto desta faixa. Se destacarmos um quarto desta faixa, será este espaço. Devemos notar algo interessante. O treinador no meio ainda dá um quarto de uma volta enquanto observa a Jill. O treinador realiza a mesma rotação para o Jack e para a Jill. Mas a Jill não correu 100 metros. Para descobrir o quão longe ela correu, precisaríamos de percorrer um quarto dos 600 metros, que é 150.
A partir disto, podemos tirar algumas conclusões. Vemos que a distância que o Jack percorreu na distância total da pista está na razão de um para quatro. E a mesma coisa vale para a Jill. A distância que ela percorreu da distância total da pista está na razão de um sobre quatro.
E agora queremos ver se podemos escrever uma razão para esta curva que o treinador fez enquanto os observava correr. Dissemos que ele deu um quarto de uma volta, uma volta de 90 graus. Os 90 graus representam a quantidade que o Jack e o Jill correram. E se for este o caso, quanto é que a distância total da pista representa?
Começando do início e realizando uma volta completa, sabemos que daria 360 graus. E assim, uma volta completa é de 360 graus. O treinador deu uma volta de 90 graus em 360 graus, o que está na mesma razão da distância que o Jack e a Jill correram. O que estamos a ver aqui é que há uma relação de proporcionalidade entre o ângulo ao centro e o seu arco oposto.
Então, vamos aprofundar um pouco mais. Se tivermos uma circunferência com um centro 𝑀 e os pontos 𝐴 e 𝐵 caírem na circunferência, ambos 𝐴𝑀 e 𝑀𝐵 serão um raio da circunferência. A curva entre os pontos 𝐴 e 𝐵 é chamada de arco 𝐴𝐵. Às vezes escrevemos as duas letras com uma curva em cima, que lemos arco 𝐴𝐵. O ângulo criado pelos pontos 𝐴, 𝑀 e 𝐵 é o ângulo 𝐴𝑀𝐵 e é um ângulo central desta circunferência. O ângulo subtendido no centro da circunferência por dois pontos dados na circunferência é um ângulo central. Isto significa que se tivermos outros dois pontos do lado de fora da circunferência, 𝐶 e 𝐷, o que cria o arco 𝐶𝐷, então o ângulo 𝐷𝑀𝐶 seria outro ângulo central desta circunferência.
Antes de prosseguirmos, precisamos de fazer um esclarecimento. Para esta circunferência, diríamos que o ângulo 𝐷𝑀𝐶 é um ângulo central. E temos um pequeno indicador sobre qual é o ângulo. Se não tivesses isto e tivesses apenas que o ângulo 𝐷𝑀𝐶 é um ângulo central, poderias perguntar-te qual destes dois ângulos seria o ângulo central. E a isto podemos adicionar que o ângulo central é aquele que é menor ou igual a 180 graus. O menor dos dois ângulos é o ângulo central. O ângulo maior 𝐷𝑀𝐶 é chamado de ângulo reflexo. E isto significa que quando identificamos ângulos centrais, queremos escolher aquele que é igual ou menor do que 180 graus.
Antes de olharmos para alguns exemplos, queremos ver como determinamos a amplitude de um ângulo central, dadas outras informações sobre a circunferência. Para determinar a medida de um ângulo central, precisamos de pensar nesta razão. O ângulo central sobre 360 graus é igual ao comprimento do arco deste ângulo central sobre o perímetro da circunferência. Isto significa que, se souberes o comprimento do arco e o perímetro da circunferência, poderás determinar o seu ângulo central. Isto também significa que se souberes o ângulo central e o perímetro da circunferência, poderás determinar o comprimento do arco. Ou, se conhecesses o ângulo central e o comprimento do arco, poderias determinar a circunferência.
Claro, isto é quando estamos a trabalhar em graus. Se quisermos trabalhar em radianos, precisamos de utilizar o ângulo central sobre dois 𝜋 igual ao comprimento do arco sobre o perímetro. Isto acontece porque uma volta completa em radianos é dois 𝜋.
Se pensarmos novamente no Jack e na sua pista de 400 metros, desta vez ele correu 120 metros. A distância que o treinador percorreu a olhar para ele é o ângulo central. Podemos identificar este ângulo como 𝜃. E se quisermos saber em graus qual é este ângulo, podemos dizer que o ângulo central 𝜃 sobre 360 graus é igual ao comprimento do arco de 120 metros sobre o perímetro de 400. Esta é a distância a toda a volta.
Podemos resolver isto de algumas maneiras diferentes. Se dividirmos 120 por 400, são três décimas. 𝜃 sobre 360 graus precisa de ser igual a três décimas. Então, multiplicamos ambos os membros da equação por 360 e obtemos 𝜃 igual a 108 graus. O ângulo central aqui, a curva que a carruagem fez, era de 108 graus.
Agora estamos prontos para considerar alguns exemplos.
O Jacob faz um terço de uma volta completa. Quantos graus são?
Para responder a esta questão, vamos pensar na frase um terço de uma volta completa. Se escrevermos um terço, e sabemos matematicamente que a palavra “de” significa multiplicar, se o Jacob realizar um terço de uma volta completa, então a chave aqui é saber quanto é uma volta completa. Estamos a resolver em graus, o que significa que queremos saber quantos graus é uma volta completa. Se pensarmos numa rotação completa, será de 360 graus. Se uma volta completa é de 360 graus, um terço desta será a volta que o Jacob deu. Um terço vezes 360 é 120 graus. Se quisermos incluir isto na imagem, este ângulo mede 120 graus.
No nosso próximo exemplo, teremos um perímetro e um comprimento de arco e precisaremos de utilizá-los para determinar um ângulo central.
Na figura, dado que o perímetro é 96 e o comprimento do arco de 𝐴𝐵 é 12, determine 𝜃.
Quando olhamos para a figura, vemos que 𝜃 é um ângulo central subtendido pelo arco 𝐴𝐵. E lembramos que um ângulo central superior a 360 graus está na mesma razão que o comprimento do arco sobre o perímetro. Sabemos que 𝜃 é o nosso ângulo central e que uma volta completa numa circunferência equivale a 360 graus. Se o comprimento do arco for 12 e o perímetro for 96, agora temos uma razão que podemos resolver. 12 dividido por 96 é 0.125.
Para resolver 𝜃, precisamos de ter 𝜃 sozinho. Podemos fazer isso multiplicando ambos os membros da equação por 360 graus, o que nos deixa com 𝜃 à esquerda. E 0.125 vezes 360 é igual a 45 graus.
Outra maneira de resolver isto é primeiro simplificar 12 sobre 96. Eu sei que 12 cabe em 96 oito vezes. E isto significa que 𝜃 sobre 360 graus é igual a um sobre oito. A partir daqui, ainda precisaremos de multiplicar ambos os membros da equação por 360 graus. E diremos 360 sobre oito. 360 dividido por oito é igual a 45 graus. Ambos os métodos mostram que o ângulo central subtendido pelo arco 𝐴𝐵 é de 45 graus.
No nosso próximo exemplo, pensaremos num ângulo de 45 graus em relação a uma volta completa.
Quantos ângulos de 45 graus são necessários para dar uma volta completa?
Primeiro, precisamos de pensar sobre o que será uma volta completa. Uma volta completa mede 360 graus. Uma maneira de resolver isto é estabelecer uma razão da parte para o todo. Temos um ângulo de 45 graus e uma volta inteira é de 360 graus. Se fizermos alguma simplificação aqui, se dividirmos o numerador por 45, obtemos um. E se dividirmos o denominador por 45, obtemos oito. Isto significa que estamos a dizer que um ângulo de 45 graus é um oitavo de uma volta inteira.
Se quiséssemos visualizar isto, poderíamos utilizar uma circunferência para representar uma rotação completa dividida ao meio e ao meio novamente. Agora temos quartas partes. Temos um quarto de uma volta. Se dividirmos ao meio novamente, teremos oitavas partes. Uma volta de 45 graus é um oitavo. A questão é: quantos destes ângulos seriam necessários para fazer uma curva completa? Terias que fazer este ângulo de 45 graus oito vezes para voltar ao ponto de partida. E assim podemos dizer que são necessários oito ângulos de 45 graus para fazer uma volta completa.
No nosso próximo exemplo, não temos uma imagem, mas temos um comprimento de arco e um perímetro. E precisamos de determinar o ângulo central.
Uma circunferência tem um perímetro de 16𝜋 unidades. Determine, em graus, a amplitude do ângulo central de um arco com comprimento de três 𝜋 unidades.
Para resolver esta questão, precisamos de pensar sobre a razão entre o comprimento e o perímetro do arco e o ângulo central deste arco. Se considerarmos a razão do comprimento do arco sobre a circunferência, será igual à razão entre o ângulo central e uma rotação completa. A rotação completa será de 360 graus ou dois 𝜋, dependendo se estamos a trabalhar em graus ou radianos.
Neste caso, queremos determinar o ângulo em graus. Então, vamos substituir 360 graus pela nossa rotação completa. O comprimento do arco é de três 𝜋 unidades e o perímetro é de 16𝜋 unidades. Se deixarmos o nosso ângulo central ser 𝜃, temos 𝜃 sobre 360 igual a três 𝜋 sobre 16𝜋.
Podemos simplificar um pouco. O 𝜋 no numerador e o 𝜋 no denominador anulam-se. Não podemos reduzir mais três sobre 16. Então, multiplicamos ambos os membros da equação por 360 graus. E teremos 𝜃 igual a três vezes 360 graus dividido por 16. Quando fazemos isto, obtemos 67.5 graus.
No nosso exemplo final, determinaremos um ângulo central quando não tivermos o comprimento do arco ou o perímetro.
Determina a amplitude do ângulo 𝐴𝑀𝐵.
Quando olhamos para o ângulo 𝐴𝑀𝐵, vemos que é um ângulo central do círculo. Mas não temos nenhuma informação sobre o arco 𝐴𝐵. E isto significa que teremos que considerar algumas outras propriedades de círculos e triângulos para nos ajudar a resolver este ângulo em falta. A primeira coisa que poderíamos dizer é que o segmento de reta 𝐴𝑀 e o segmento de reta 𝐵𝑀 são raios da circunferência 𝑀. O que significa que poderíamos dizer que o segmento de reta 𝐴𝑀 e o segmento de reta 𝐵𝑀 são iguais em comprimento um ao outro. O que significa que podemos dizer algo sobre o triângulo 𝐴𝑀𝐵. Tem dois comprimentos de lados iguais, o que o torna um triângulo isósceles.
E num triângulo isósceles, os ângulos opostos aos comprimentos dos lados iguais são iguais em medida. Portanto, podemos dizer que a amplitude do ângulo 𝑀𝐵𝐴 será igual à amplitude do ângulo 𝑀𝐴𝐵. A amplitude do ângulo 𝑀𝐴𝐵 é de 27 graus. E isto significa que podemos dizer que a amplitude de 𝑀𝐵𝐴 é de 27 graus. E como o triângulo 𝐴𝑀𝐵 é um triângulo isósceles e a soma de todos os ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, podemos dizer 27 mais 27 mais a amplitude do ângulo 𝐴𝑀𝐵 é 180 graus. Se adicionarmos 27 mais 27, obteremos 54. E quando subtraímos 54 graus de ambos os membros da equação, vemos que a amplitude do ângulo 𝐴𝑀𝐵 é de 126 graus. O ângulo central 𝐴𝑀𝐵 é de 126 graus.
Agora estamos prontos para resumir alguns pontos-chave. Quando temos um ângulo central subtendido por um certo arco, a razão do ângulo central para a rotação completa será igual ao comprimento do arco sobre o perímetro da circunferência. O ângulo central é criado por dois pontos do lado de fora da circunferência e o centro da circunferência. O comprimento do arco é a distância curva entre estes dois pontos. E o perímetro é a distância à volta da circunferência.
