Vídeo: Integrais Indefinidas: a Regra de Potência

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar integrais indefinidas de polinômios e funções gerais de potências usando a regra de potência para integração.

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Integrais Indefinidas: a Regra de Potência

Neste vídeo, aprenderemos como encontrar integrais indefinidas de polinômios e funções gerais de potências usando a regra de potência para integração. Vamos começar lembrando qual é a primitiva de uma função. Podemos dizer que 𝐹 é a primitiva da 𝑓 se 𝐹 linha de 𝑥 for igual à 𝑓 de 𝑥. De fato, podemos dizer que isso é verdade para qualquer função 𝑔 de 𝑥 onde 𝑔 de 𝑥 é igual a 𝐹 de 𝑥 mais 𝐶 para qualquer constante 𝐶. Agora, isso é muito útil, pois vamos usá-lo para definir uma integral indefinida.

Podemos dizer que a integral indefinida de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a 𝐹 de 𝑥 mais 𝐶 onde 𝐹 é a primitiva de 𝑓. É muito importante lembrar da nossa constante de integração ao executar uma integral indefinida. Vamos considerar rapidamente as constantes sem fio aqui. Se realizarmos a operação reversa nessa equação, e isso é derivar em relação a 𝑥, então, como estamos simplesmente realizando a operação inversa à esquerda, a derivada em relação a 𝑥 da integral de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 será apenas 𝑓 de 𝑥.

No lado direito, quando derivamos 𝐹 de 𝑥 em relação a 𝑥, obtemos 𝑓 linha de 𝑥 e nossa constante 𝐶 simplesmente desaparece porque a derivada de uma constante dá zero. Agora, quando voltarmos para o outro lado da nossa integral, a constante aparecerá novamente. No entanto, não sabemos o valor dessa constante, portanto a rotulamos 𝐶. É apenas uma constante desconhecida. Vamos agora considerar o que acontece quando integramos alguma função em relação a 𝑥, por exemplo, três 𝑥.

Conhecemos a equação para encontrar uma integral indefinida. Temos que a integral de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a 𝐹 de 𝑥 mais 𝐶 onde 𝐹 é a primitiva de 𝑓. Agora, no nosso caso, 𝑓 de 𝑥 é igual a três 𝑥. Então, simplesmente precisamos encontrar a primitiva de três 𝑥. Vamos tentar fazer isso por tentativa e erro. Estamos tentando descobrir o que precisamos derivar para obter três 𝑥. Vamos começar derivando 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥. Isso nos dá dois 𝑥, que é muito próximo de três 𝑥. No entanto, ainda não chegamos lá.

Vamos tentar multiplicar nossa derivada por um meio. Derivando 𝑥 ao quadrado sobre dois em relação a 𝑥 dá 𝑥, que é um terço do que estamos tentando encontrar. Agora, vamos tentar multiplicar nossa derivada por três. E derivando três 𝑥 ao quadrado sobre dois em relação a 𝑥 nos dá três 𝑥. Portanto, encontramos nossa primitiva. E é três 𝑥 ao quadrado sobre dois. Então isso é todo 𝐹 de 𝑥. Portanto, podemos dizer que nossa integral é igual a três 𝑥 ao quadrado sobre dois mais 𝐶. Agora, esse é um método bastante demorado para encontrar primitivas de funções de potências.

Vamos considerar a regra de potência para derivadas. Sabemos que a derivada de 𝑥 à potência de 𝑛 mais um em relação a 𝑥 é 𝑛 mais um multiplicado por 𝑥 à potência de 𝑛, pois para a regra de potência das derivadas multiplicamos pela potência e diminuímos a potência em um. O que isso nos diz é que 𝑥 elevado a 𝑛 mais um é a primitiva de 𝑛 mais um multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑛. Podemos, portanto, recordar 𝑥 elevado a 𝑛 mais um 𝐹 de 𝑥 e 𝑛 mais um multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑛 𝑓 de 𝑥. E podemos substituir essas funções em nossa equação pela integral indefinida de uma função. E isso nos dá que a integral de 𝑛 mais um multiplicado por 𝑥 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 mais um mais 𝐶.

Agora, temos uma constante dentro de nossa integral. E podemos, de fato, levar isso em consideração. Vamos considerar rapidamente porque podemos fazer isso. Sabemos que, se derivarmos uma constante multiplicada por alguma função 𝑔 de 𝑥, isso é igual à constante multiplicada pela derivada de 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥. Isso, portanto, nos diz que a integral de 𝑎 multiplicada por 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a 𝑎 multiplicada pela integral de 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥. Portanto, podemos fatorar nossa constante de 𝑛 mais um. E então podemos simplesmente dividir por essa constante. E isso nos dá que a integral de 𝑥 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais 𝐶 sobre 𝑛 mais um.

No entanto, como 𝐶 e 𝑛 mais um são constantes, isso significa que 𝐶 sobre 𝑛 mais um também será uma constante. E podemos chamar isso de constante 𝐷. Portanto, chegamos à nossa regra de potência para a integração. Diz-nos que a integral de 𝑥 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais 𝐶. Aqui, redimensionei nossa constante de integração de volta para 𝐶 apenas por consistência com nossa definição de integral indefinida. No entanto, não importa como você rotula a constante. Uma maneira fácil de lembrar essa regra é que, quando integramos uma função de potência, aumentamos o expoente em um e depois dividimos pelo novo expoente. E, é claro, não devemos esquecer de adicionar nossa constante de integração.

Agora, essa regra de potência para integração funciona para qualquer valor real de 𝑛, exceto por um valor específico. E é quando 𝑛 é igual a menos um. Se tentarmos usar 𝑛 é igual a menos um, obtemos que a integral indefinida de 𝑥 elevado a menos um em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a menos um mais um sobre menos um mais um mais 𝐶. Como menos um mais um é zero, isso significa que temos zero no denominador de nossa fração. Portanto, essa fração é indefinida e a integral também. E, portanto, podemos dizer que nossa regra de potência para a integração funciona para todos os valores reais de 𝑛, exceto o menos um. Agora é, de fato, possível integrar 𝑥 elevado a menos um em relação a 𝑥. No entanto, não o faremos neste vídeo. Passaremos agora a um exemplo de como podemos usar a regra de potência.

Determine a integral indefinida de menos 𝑥 elevado a nove em relação a 𝑥.

Para encontrar essa integral, precisamos usar a regra de potência para integração. Temos que a integral de 𝑥 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais 𝐶. E estamos tentando encontrar a integral de menos 𝑥 elevado a nove em relação a 𝑥. Vamos começar fatorando o menos um. Temos que nossa integral é igual à integral negativa de 𝑥 elevado a nove em relação a 𝑥. Agora, quando olhamos para a nossa integral e a comparamos com a integral da fórmula, podemos ver que, no nosso caso, 𝑛 é igual a nove. Portanto, simplesmente substituímos 𝑛 é igual a nove na fórmula. Portanto, obtemos menos 𝑥 elevado a nove mais um tudo sobre nove mais um mais 𝐶. Isso dá menos 𝑥 elevado a 10 sobre 10 menos 𝐶.

Agora, menos 𝐶 é apenas outra constante. Então podemos chamá-lo 𝐷. E agora chegamos à nossa solução. E isso é que a integral indefinida de menos 𝑥 elevado a nove em relação a 𝑥 é igual a menos 𝑥 elevado a 10 sobre 10 mais 𝐷. Vamos agora descobrir como integraremos um polinômio. Sabemos que a derivada de uma soma de funções, então 𝑓 de 𝑥 mais 𝑔 de 𝑥 em relação a 𝑥, é igual à soma da derivada das funções. Então 𝑑 por d𝑥 de 𝑓 de 𝑥 mais 𝑑 por d𝑥 de 𝑔 de 𝑥. A partir disso, obtemos que a integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais das funções.

Usando essa regra, podemos dividir integrais de polinômios em integrais de funções de potências. Por exemplo, a integral de 𝑥 ao quadrado mais 𝑥 em relação a 𝑥 é igual à integral de 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥 mais a integral de 𝑥 em relação a 𝑥. E já sabemos como integrar essas funções de potência à direita. Com isso, podemos integrar qualquer polinômio. Vamos agora ver um exemplo.

Determine a integral indefinida de 25 𝑥 ao quadrado menos 65 𝑥 mais 36 em relação a 𝑥.

Vamos começar dividindo essa integral usando o fato de que a integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais das funções. Obtemos que nossa integral é igual à integral de 25 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥 mais a integral de menos 65 𝑥 em relação a 𝑥 mais a integral de 36 em relação a 𝑥. Podemos fatorar a constante em cada integral. Agora, podemos usar a regra de potência para integração, que nos diz que a integral de 𝑥 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais 𝐶.

No caso de nossa primeira integral, 𝑛 é dois. Portanto, é igual a 25 multiplicado por 𝑥 ao cubo sobre três mais alguma constante que chamaremos de 𝐶 um. Para a nossa segunda integral, estamos integrando 𝑥. 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a um. Portanto, 𝑛 é igual a um. Portanto, é igual a menos 65 multiplicado por 𝑥 ao quadrado sobre dois mais alguma constante que chamaremos de 𝐶 dois. Para nossa terceira integral, estamos integrando um. Um também é igual a 𝑥 elevado a zero. Portanto, nosso valor de 𝑛 é zero. E, portanto, é igual a 36 multiplicado por 𝑥 elevado a um sobre um mais alguma constante que chamaremos de 𝐶 três.

Expandindo e simplificando, obtemos que nossa integral é igual a 25 𝑥 ao cubo sobre três menos 65 𝑥 ao quadrado sobre dois mais 36 𝑥 mais 25 𝐶 um menos 65 𝐶 dois mais 36 𝐶 três. Agora, como 𝐶 um, 𝐶 dois e 𝐶 três são todos constantes, 25 𝐶 um menos 65 𝐶 dois mais 36 𝐶 três também é uma constante. E podemos rotular isso como 𝐶. E assim chegamos à nossa solução. E isso é que a integral indefinida de 25 𝑥 ao quadrado menos 65 𝑥 mais 36 em relação a 𝑥 é igual a 25 𝑥 ao cubo sobre três menos 65 𝑥 ao quadrado sobre dois mais 36 𝑥 mais 𝐶. No próximo exemplo, veremos como podemos simplesmente integrar um polinômio sem dividi-lo em integrais separadas.

Determine a integral indefinida de 𝑥 menos seis multiplicado por 𝑥 menos cinco multiplicado por 𝑥 menos três.

Vamos começar expandindo os colchetes. Expandindo os dois primeiros conjuntos de colchetes, obtemos 𝑥 ao quadrado menos 11 𝑥 mais 30. E então multiplicamos isso por 𝑥 menos três. Obtemos a integral indefinida de 𝑥 ao cubo menos 14 𝑥 ao quadrado mais 63 𝑥 menos 90, que é de fato um polinômio. E podemos usar a regra de potência da integração para integrar termo por termo. A regra de potência nos diz que a integral de 𝑥 à potência de 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 à potência de 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais 𝐶. Se, em vez disso, estivéssemos integrando 𝑥 elevado a 𝑛 multiplicado por alguma constante 𝑎, então como podemos fatorar uma constante de nossa integral, isso seria simplesmente igual a 𝑎 multiplicado por 𝑥 à potência de 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais 𝐶.

Agora, você pode estar se perguntando por que não multiplicamos o 𝐶 por 𝑎. E isso porque 𝑎 também é uma constante. Portanto, 𝑎 multiplicado por 𝐶 é uma constante. E podemos simplesmente renomear essa nova constante como 𝐶. Então agora, vamos aplicar essa regra a nossa integral termo por termo. O primeiro termo é 𝑥 ao cubo. Portanto, 𝑛 é igual a três. Aumentamos o expoente em um e dividimos pelo novo expoente para chegar a 𝑥 elevado a quatro sobre quatro. O próximo termo é menos 14 𝑥 ao quadrado. O menos 14 é apenas uma constante. Então, isso permanecerá. Nosso expoente é dois. Então 𝑛 é dois. Aumentamos o expoente em um para ficar com 𝑥 ao cubo e dividimos pelo novo expoente.

No próximo termo, temos 63𝑥. Então, podemos começar escrevendo em nossa constante de 63. Observamos então que 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a um. Então 𝑛 é igual a um. Então, quando integramos isso, obtemos 𝑥 ao quadrado sobre dois. Para o nosso termo final, temos menos 90. E sabemos que isso também pode ser escrito como menos 90 multiplicado por 𝑥 à potência de zero, pois 𝑥 à potência de zero é apenas um. Então agora podemos integrá-lo. Começamos escrevendo nossa constante de menos 90. Como nosso expoente de 𝑥 é zero, aumentamos o expoente em um, dando-nos 𝑥 elevado a um e dividimos pelo novo expoente. Então isso é dividido por um. E sentimos falta de adicionar nossa constante de integração 𝐶.

Podemos escrever isso um pouco mais claro em nossa solução, que é 𝑥 elevado a quatro sobre quatro menos 14𝑥 ao cubo sobre três mais 63𝑥 ao quadrado sobre dois menos 90𝑥 mais 𝐶. Vamos observar rapidamente que essa regra de potência de integração funciona para qualquer valor real 𝑛, exceto menos um. Portanto, isso inclui os expoentes negativos e não-inteiros de 𝑥. Vamos ver como isso funciona nos exemplos a seguir.

Determine a integral indefinida de menos dois sobre sete multiplicado por 𝑥 à potência de menos nove em relação a 𝑥.

Em nossa integral, simplesmente temos uma função de potência. Portanto, podemos usar a regra de potência para integração, a fim de encontrar essa integral. Temos que a integral indefinida de 𝑥 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais 𝐶. No nosso caso, estamos integrando menos dois sétimos 𝑥 elevado a menos nove em relação a 𝑥. Portanto, nosso expoente de 𝑥 é menos nove. Podemos começar anotando nossa constante, que é menos dois sétimos.

Então, como nosso valor de 𝑛 é menos nove, precisamos escrever 𝑥 na potência de 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um. Portanto, é 𝑥 elevado a menos nove mais um que é 𝑥 elevado a menos oito sobre menos nove mais um. Então isso é menos oito. Então não devemos esquecer de adicionar nossa constante de integração 𝐶. Para nossa etapa final aqui, precisamos apenas simplificar. E obtemos nossa solução, que é que a integral indefinida de menos dois sétimos multiplicada por 𝑥 à potência de menos nove em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 à potência de menos oito sobre 28 mais 𝐶. Em nosso exemplo final, veremos como integrar uma função com potências não-inteiras de 𝑥.

Determine a integral indefinida tendo menos quatro multiplicado pela quinta raiz de 𝑥 à potência de nove mais oito, tudo multiplicado pela quinta raiz de 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥.

Vamos começar escrevendo essas raízes como potências. Sabemos que a 𝑛-ésima raiz de 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a um sobre 𝑛. Depois de escrevermos nossas raízes como potências, podemos combiná-las com as potências existentes, usando o fato de que 𝑥 elevado a 𝑛 elevado a 𝑚 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 multiplicado por 𝑚. Portanto, 𝑥 elevado a nove elevado a um quinto se torna 𝑥 elevado a nove quintos. E 𝑥 ao quadrado de um quinto se torna 𝑥 elevado a dois quintos. Agora, podemos expandir os parênteses, usando o fato de que 𝑥 elevado a 𝑛 vezes 𝑥 elevado a 𝑚 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 mais 𝑚. Portanto, nossa integral torna-se integral de menos quatro 𝑥 elevado a onze quintos mais oito multiplicado por 𝑥 elevado a dois quintos em relação a 𝑥.

Aqui, podemos usar a regra de potência para a integração, que nos diz que a integral indefinida de 𝑥 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais 𝐶. Podemos aplicar esta regra a nossa integral termo por termo. Para o primeiro termo, temos menos quatro 𝑥 à potência de onze quintos. Portanto, 𝑛 é igual a onze quintos. Quando integramos esse termo, obtemos menos quatro multiplicados por 𝑥 à potência de 𝑛 mais um. E 𝑛 mais um é simplesmente dezesseis quintos. Portanto, é 𝑥 elevado a dezesseis quintos. E então precisamos dividir por 𝑚 mais um. Então isso é dividido por dezesseis quintos.

Pela segunda vez, multiplicamos oito por 𝑥 à potência de dois quintos. Portanto, 𝑛 é dois quintos. Então, adicionamos oito multiplicados por 𝑥 elevado a 𝑛 mais um que é 𝑥 elevado a sete quintos. E então dividimos por sete quintos. E não devemos esquecer de adicionar nossa constante de integração 𝐶. Agora, tudo o que resta a fazer é simplificar. E assim obtemos uma solução em que a integral indefinida de menos quatro multiplicada pela quinta raiz de 𝑥 à potência de nove mais oito tudo multiplicado pela quinta raiz de 𝑥 ao quadrado em relação a 𝑥 é igual a menos cinco multiplicado por 𝑥 elevado a dezesseis quintos sobre quatro mais 40 multiplicado por 𝑥 elevado a sete quintos sobre sete mais 𝐶.

Abordamos agora uma variedade de exemplos de integrais indefinidas de funções de potências. Vamos recapitular alguns pontos principais do vídeo. Pontos chave. A integral indefinida de 𝑓 de 𝑥 em relação a 𝑥 é igual a 𝐹 de 𝑥 mais 𝐶 onde 𝐹 de 𝑥 é a primitiva de 𝑓 de 𝑥 e 𝐶 é uma constante. A regra de potência para integração. A integral indefinida de 𝑥 elevado a 𝑛 em relação a 𝑥 é igual a 𝑥 elevado a 𝑛 mais um sobre 𝑛 mais um mais 𝐶 para qualquer número real 𝑛, exceto menos um.

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