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Resolva a equação menos 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 mais um igual a zero.
Podemos começar copiando a equação exatamente como ela foi dada no problema. E então eu notei esse coeficiente principal negativo.
Como vou precisar fazer alguma fatoração ou completar o quadrado, quero ter certeza
de que meu coeficiente principal seja positivo e posso fazer isso movendo-o para o
outro lado da equação. Eu adiciono 𝑥 ao quadrado a ambos os lados.
Mas eu não quero apenas mover meu coeficiente principal; eu quero manter a equação
inteira do mesmo lado. Isso significa que eu subtrairei sete [𝑥] de ambos os lados da equação também. Eu também subtrairei um dos dois lados da equação. Essencialmente, acabamos de virar o problema. Agora temos zero igual 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑥 menos um.
Estou começando a pensar em como fatorar e resolver essa equação, e olhei para o
terceiro termo. Se eu quisesse fatorar um problema desses, eu precisaria ter dois fatores do terceiro
termo, algo assim, 𝑥 menos um 𝑥 mais um. O problema é, que temos esse terceiro termo de menos sete, então esse tipo de
fatoração não nos ajudará a resolver esse problema. Para resolver esse problema, teremos que usar uma estratégia chamada completar o
quadrado.
O primeiro passo aqui seria mover todo o número um de volta para o outro lado da
equação. Ficamos com um igual a 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑥. Completando o quadrado tomando o coeficiente do termo do meio, o b aqui. Em seguida, usamos o que quer que seja esse valor b, e dividimos por dois e depois
elevamos ao quadrado.
Depois disso, adicionamos esse valor a ambos os lados da equação. No nosso caso, o b é igual a menos sete, então precisamos adicionar menos sete sobre
dois ao quadrado em ambos os lados da nossa equação. Isso seria menos sete ao quadrado sobre dois ao quadrado, o que simplifica para 49
sobre quatro. Precisamos adicionar 49 sobre quatro em ambos os lados da nossa equação.
Observe que, em vez de dizer 49 sobre quatro mais um, eu disse 49 sobre quatro mais
quatro sobre quatro. Quatro sobre quatro é igual a um, e podemos ir adiante e adicionar esses termos se
dermos a eles um denominador comum. O resto nós apenas copiamos. 49 quartos mais quatro quartos equivalem a 53 quartos.
Agora precisamos fatorar 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑥 mais 49 sobre quatro. E se você não reconheceu imediatamente o padrão, tudo bem, porque ao completar o
quadrado nos diz que o fator desse problema será igual a 𝑥 mais b sobre dois ao
quadrado. Eu acrescento 𝑥 mais; lembre-se que nosso b era menos sete sobre dois ao quadrado,
mas ainda não resolvemos a equação.
Resolver a equação significa que sabemos o que 𝑥 é igual a. Agora vamos isolar 𝑥. Para se livrar desse quadrado, precisamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da
nossa equação. Agora ficamos com a raiz quadrada de 53 sobre a raiz quadrada de quatro igual a 𝑥
mais menos sete sobre dois.
Desta linha, podemos pegar a raiz quadrada de quatro, que é igual a dois. Manteremos a raiz quadrada de 53 e diremos que precisamos da raiz quadrada positiva
de 53 e da raiz quadrada negativa de 53.
Para isolar 𝑥, precisamos adicionar sete meios a ambos os lados da equação. No lado direito, menos sete meios e mais sete meios se cancelam. No lado esquerdo, temos sete meios mais ou menos a raiz quadrada de 53 sobre
dois. Aquele mais ou menos lá nos diz que haverá duas soluções aqui.
A primeira solução será sete mais a raiz quadrada de 53 sobre dois e a segunda
solução seria sete menos a raiz quadrada de 53 sobre dois. Estas são as duas soluções da equação menos 𝑥 ao quadrado mais sete 𝑥 mais um.
