Vídeo: Determinando o Número de Termos numa Dada Progressão Aritmética dados a Soma de Todos os Termos e os Valores dos Seus Primeiro e Último Termos

Determine o número de termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 11 e o último termo é 81, em que a soma de todos os termos é 506.

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Transcrição do vídeo

Determine o número de termos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 11 e o último termo é 81, em que a soma de todos os termos é 506.

Resolvendo um problema como este, antes de mais gostaria de reunir todas as informações que temos. A nossa primeira informação é que o primeiro termo é 11, então podemos dizer que 𝑎 é igual a 11. Quando estamos a trabalhar com sucessões, a terminologia que utilizamos é 𝑎 para o primeiro termo. A nossa segunda informação é que o último termo é 81, então podemos dizer que 𝐿 é igual a 81 porque novamente a notação que utilizamos é 𝐿 igual ao último termo. Finalmente, a última informação que temos é o facto de que a soma de todos os termos ser 506. Então, podemos dizer que 𝑆𝑛 é igual a 506. Novamente, por causa da notação, que significa a soma de 𝑛 termos.

Ótimo! Então, esta é toda a informação que temos. E, finalmente, gostaria de fazer uma nota do que realmente estamos à procura. Então, neste caso, estamos à procura do número de termos. Temos agora que 𝑛 é algo que não sabemos, é o que precisamos de determinar. E escrevi-o aqui em baixo. Então, agora, ótimo, sabemos o que temos, sabemos o que precisamos de determinar, portanto vamos ao trabalho e descobrir quanto é 𝑛.

Quando estamos à procura de determinara soma de uma progressão aritmética, podemos utilizar a fórmula para nos ajudar. Aqui estão duas fórmulas que podemos analisar. Bem, em primeiro lugar, precisamos de decidir qual das fórmulas que podemos ver aqui vamos utilizar. A maneira de o fazer é observar os valores que temos e ver em que fórmula se encaixam.

Ambas as fórmulas têm 𝑎, de modo que nos permite utilizar qualquer uma delas. No entanto, apenas a nossa segunda fórmula tem 𝐿, o último termo, por isso sabemos que esta é a fórmula que utilizaremos para este problema. Também podemos ver que não podemos utilizar a primeira fórmula, pois ela tem um 𝑑, que é a razão, e nós não temos a razão. Ótimo! Então vamos lá resolver o problema.

Portanto, a primeira etapa é substituir os nossos valores. Primeiro, temos a soma de todos os termos, que é 506, de modo que é igual a 𝑛 o número de termos dividido por dois, e este é o 𝑛 que queremos determinar. A seguir, é 11, que é o nosso primeiro termo 𝑎, mais 81, que é o nosso último termo 𝐿. Podemos agora resolver a equação para determinar 𝑛.

Começamos por multiplicar os dois membros da equação por dois e também adicionamos os números 11 e 81 entre parênteses. Assim, obtemos 1012 igual a 𝑛 multiplicado por 92, que pode ser reescrito como 1012 igual a 92𝑛. E, finalmente, dividimos os dois membros por 92, o que nos deixa com 11 igual a 𝑛 ou 𝑛 igual a 11. Portanto, resolvemos o problema, pois podemos dizer que há 11 termos na progressão.

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