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Vídeo da aula: Domínio e Imagem de funções trigonométricas Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como determinar o domínio e a imagem de uma função trigonométrica.

13:46

Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como determinar o domínio e a imagem das funções trigonométricas. Começaremos relembrando as definições de domínio e imagem de uma função. O domínio de uma função 𝑓 de 𝑥 é um conjunto de todos os valores possíveis de 𝑥 tal que a expressão 𝑓 de 𝑥 é definida. A imagem de uma função 𝑓 de 𝑥 é um conjunto de todos os valores possíveis que a expressão 𝑓 de 𝑥 pode assumir, onde 𝑥 é qualquer número do domínio da função. Em particular, podemos encontrar o domínio e a imagem de uma função a partir de seu gráfico. Dado o gráfico de uma função, o domínio é a parte do eixo horizontal onde o gráfico existe e a imagem é a parte do eixo vertical onde o gráfico existe.

Vamos começar considerando o gráfico de 𝑦 igual a sen 𝑥 para valores de 𝑥 de menos 360 a 360 graus. Podemos ver que a função está bem definida para cada valor de 𝑥. Isso significa que o domínio do sen 𝑥 são todos os números reais. Isso também pode ser escrito como o conjunto de números no intervalo aberto de menos ∞ a ∞. Vemos que o gráfico oscila entre menos um e um. O valor máximo do gráfico é um e o valor mínimo é menos um. Isso significa que os possíveis valores de sen 𝑥 estão entre esses dois valores. E o intervalo dessa função é o conjunto de valores no intervalo fechado de menos um a um. O mesmo é verdade para a função cosseno. Isso, mais uma vez, tem um domínio de todos os números reais e uma imagem de menos um a um, inclusive.

Podemos resumir isso da seguinte maneira. O domínio das funções sen 𝑥 e cos 𝑥 são todos números reais denotados como mostrado. Observe que eles geralmente são escritos como sen 𝜃 e cos 𝜃, onde a função seria 𝑓 de 𝜃. O intervalo das funções sen 𝑥 e cos 𝑥 é o conjunto de números no intervalo fechado de menos um para um. Vamos agora considerar como podemos encontrar o domínio e a imagem de qualquer função periódica em seu gráfico.

O gráfico a seguir mostra a função 𝑓 de 𝜃. Assuma que a função tenha um período de dois 𝜋. Qual é o domínio de 𝑓 de 𝜃? Qual é a imagem de 𝑓 de 𝜃?

Sabemos que todas as características de uma função periódica estão contidas em um intervalo desse tamanho. Nesta questão, somos informados de que o período é igual a dois 𝜋. Portanto, precisamos apenas considerar o gráfico entre zero e dois 𝜋. O domínio de qualquer função é um conjunto de todos os valores de entrada possíveis. E podemos ver no gráfico que a função está bem definida em todos os valores de 𝜃. Podemos, portanto, concluir que o domínio de 𝑓 de 𝜃 são todos os números reais escritos como o intervalo aberto de menos ∞ a ∞.

O intervalo de qualquer função é o conjunto de todos os valores de saída. No gráfico, vemos que a função oscila e é contínua entre menos sete e três. O valor máximo do gráfico é três e o valor mínimo é menos sete. Podemos, portanto, concluir que o intervalo de 𝑓 de 𝜃 é o conjunto de valores no intervalo fechado de menos sete a três. As duas respostas a essa pergunta são o intervalo aberto de menos ∞ a ∞ e o intervalo fechado de menos sete a três.

Vamos agora considerar como a transformação das funções trigonométricas afeta o domínio e a imagem. Lembramos que a função seno tem domínio e imagem como mostrado. Qualquer transformação para essa função não alteraria seu domínio. No entanto, certas transformações afetarão a imagem de nossa função.

Vamos considerar a função 𝑓 de 𝑥, que é igual a 𝑎 sen 𝑥 mais 𝑏, onde 𝑎 e 𝑏 são constantes reais. Multiplicar uma função por uma constante positiva 𝑎 resulta em uma ampliação ou alongamento vertical pelo fator de escala 𝑎. Isso mudaria o intervalo de uma função do intervalo fechado menos um, para o intervalo fechado menos 𝑎, 𝑎. No entanto, multiplicar uma função por uma constante negativa resulta em uma reflexão sobre o eixo 𝑥 e uma ampliação pelo fator de escala do valor absoluto de 𝑎. Isso significa que o intervalo da função 𝑎 sen 𝑥 é igual ao intervalo fechado do valor absoluto negativo de 𝑎 ao valor absoluto positivo de 𝑎.

Em seguida, sabemos que adicionar 𝑏 a uma função resulta em um deslocamento vertical para cima se 𝑏 for maior que zero e para baixo se 𝑏 for menor que zero. Podemos, portanto, concluir que a imagem da função 𝑎 sen 𝑥 mais 𝑏 é o intervalo fechado do valor absoluto negativo de 𝑎 mais 𝑏 para o valor absoluto positivo de 𝑎 mais 𝑏. Vamos agora considerar como isso funciona na prática.

Considere que a função 𝑓 de 𝑥 é igual a quatro cos de sete 𝑥 mais 𝜋 mais cinco. Qual é o domínio de 𝑓 de 𝑥? Qual é a imagem de 𝑓 de 𝑥?

Começamos lembrando que o domínio de qualquer função é o conjunto de todos os valores de entrada possíveis e que o domínio do cos de 𝜃 são todos os valores reais. Nesta questão, a expressão sete 𝑥 mais 𝜋 está dentro da função cosseno. Como essa expressão é bem definida para qualquer número real, o domínio de 𝑓 de 𝑥 são todos os números reais, que podem ser escritos como o intervalo aberto de menos ∞ a ∞. Sabemos que a imagem é o conjunto de valores de saída. Como o intervalo de sete 𝑥 mais 𝜋 são todos números reais, essa expressão pode assumir qualquer valor real. Portanto, vamos deixar isso igual a 𝜃 para que tenhamos quatro cos 𝜃 mais cinco.

Sabemos que cos de 𝜃 tem uma imagem no intervalo fechado de menos um a um. Portanto, precisamos considerar como as transformações dessa função para quatro cos 𝜃 mais cinco afetam a imagem. Em primeiro lugar, multiplicamos a função por quatro, o que resulta em esticar a imagem verticalmente pelo fator de quatro. Isso nos dá o intervalo fechado de menos quatro a quatro. Adicionar cinco a essa expressão desloca a função cinco vezes mais. Menos quatro mais cinco é igual a um e quatro mais cinco é igual a nove. Isso significa que o intervalo de 𝑓 de 𝑥 é o intervalo fechado de um a nove.

Poderíamos ter resolvido a segunda parte algebricamente usando nosso conhecimento de inequações. Sabemos que cos de 𝜃 é maior ou igual a menos um e menor ou igual a um. Multiplicando por quatro, temos quatro cos 𝜃 é maior ou igual a menos quatro e menor ou igual a quatro. Adicionando cinco a cada termo da inequação, temos quatro cos 𝜃 mais cinco que é maior ou igual a um e menor que ou igual a nove. Isso corresponde ao intervalo fechado de um a nove. O domínio da função quatro cos de sete 𝑥 mais 𝜋 mais cinco é o intervalo aberto de menos ∞ a ∞, e sua imagem é o intervalo fechado de um a nove.

Antes de passar para um exemplo final, vamos considerar o domínio e a imagem da função tangente. Ao contrário das funções seno e cosseno, a função tangente tem restrições de domínio. Considerando o gráfico de tg 𝜃 no intervalo de menos 360 graus a 360 graus ou menos dois 𝜋 radianos a dois 𝜋 radianos, notamos que o gráfico é indefinido em 90 graus, 270 graus, menos 90 graus e menos 270 graus. Como a função tangente é periódica, esse comportamento se repete indefinidamente a cada 180 graus. Podemos, portanto, concluir que 𝑥 não está definido e o gráfico tem uma assíntota em valores de 𝑥 igual a 90 graus mais 180 graus multiplicado por 𝑛, onde 𝑛 é qualquer número inteiro.

O domínio de tg 𝑥 pode, portanto, ser escrito como mostrado. São todos números reais, exceto por 𝑥 que é igual a 90 graus mais 180 graus multiplicado por 𝑛. Isso também pode ser escrito em radianos, pois 𝑥 é igual a 𝜋 sobre dois mais 𝜋𝑛. Mais uma vez, 𝑛 é qualquer valor inteiro. A imagem da função tangente são todos os valores reais, que podem ser escritos como o intervalo aberto de menos ∞ a ∞. Em nosso exemplo final, identificaremos os valores de entrada em que uma função tangente é indefinida.

Encontre os valores de 𝜃 em radianos de modo que a função 𝑓 de 𝜃 seja igual a tg de três 𝜃 seja indefinida.

Começamos lembrando que o domínio da função tangente em radianos exclui valores da forma 𝜃 é igual a 𝜋 sobre dois mais 𝑛𝜋, onde 𝑛 é um inteiro. Nesta questão, recebemos a função 𝑓 de 𝜃 é igual ao tg de três 𝜃, e queremos encontrar os valores onde ela é indefinida. Podemos, portanto, deixar três 𝜃 igual a 𝜋 sobre dois mais 𝑛𝜋, onde 𝑛 é um valor inteiro. Dividindo ambos os lados desta equação por três, temos 𝜃 é igual a 𝜋 sobre seis mais 𝑛𝜋 sobre três. Mais uma vez, isso é para todos os valores inteiros de 𝑛. A tg de três 𝜃 é, portanto, indefinida para todos os valores de 𝜃 igual a 𝜋 sobre seis mais 𝑛𝜋 sobre três, onde 𝑛 é um número inteiro.

Vamos agora terminar este vídeo resumindo os pontos principais. O domínio das funções sen 𝜃 e cos 𝜃 são todos números reais. E a imagem dessas funções é o conjunto de números no intervalo fechado de menos um a um. Para quaisquer constantes 𝑎 e 𝑏, a imagem das funções 𝑎 sen 𝜃 mais 𝑏 ou 𝑎 cos 𝜃 mais 𝑏 é o intervalo fechado do valor absoluto negativo de 𝑎 mais 𝑏 para o valor absoluto de 𝑎 mais 𝑏. O domínio da tg de 𝜃 escrito em radianos são todos os números reais, exceto por 𝜃 que é igual a 𝜋 sobre dois mais 𝑛𝜋, onde 𝑛 é um inteiro. Também podemos escrever em graus, onde 𝜋 sobre dois é igual a 90 graus e 𝜋 é 180 graus. Finalmente, a imagem da função tangente, tg 𝜃, são todos números reais.

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