Vídeo: Encontrando a Expressão para a Taxa Média de Variação de uma Função Racional

Determine a função taxa de variação média 𝐴(ℎ) para 𝑓(𝑥) = (𝑥² + 2)/8𝑥 quando 𝑥 varia de 𝑥₁ para 𝑥₁ + ℎ.

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Determine a função taxa de variação média 𝐴 de ℎ para 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais dois sobre oito 𝑥 quando 𝑥 varia de 𝑥 um para 𝑥 um mais ℎ.

A taxa média de variação de uma função entre 𝑎 e 𝑏 é 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎. Olhando para o gráfico de alguma função, suponha que você queira ver como a função varia conforme 𝑥 varia de 𝑎 para 𝑏, podemos ler os valores de 𝑓 de 𝑎 e 𝑓 de 𝑏 do gráfico. A taxa média de variação da função entre 𝑎 e 𝑏 é a inclinação do segmento de reta que conecta os dois pontos no gráfico. Agora que vimos a fórmula para a taxa média de variação de uma função e vimos como essa fórmula está relacionada ao gráfico da função, podemos aplicar essa fórmula à pergunta que temos.

Então, queremos encontrar 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎. Comparando nossa questão com a definição que temos, vemos que 𝑎 é 𝑥 e 𝑏 é 𝑥 um mais ℎ. Então nós substituímos 𝑏 por 𝑥 um mais ℎ e 𝑎 por 𝑥 um em nossa fórmula. O que é 𝑓 de 𝑥 um mais ℎ? Bem, é o que você obtém quando substitui 𝑥 por 𝑥 um mais ℎ na definição de nossa função. 𝑥 ao quadrado se torna 𝑥 um mais ℎ ao quadrado e oito 𝑥 se torna oito 𝑥 um mais ℎ. E a mesma coisa acontece para 𝑓 de 𝑥 um, 𝑥 ao quadrado se torna 𝑥 um quadrado e oito 𝑥 se torna oito 𝑥 um. E, finalmente, podemos simplificar o denominador, 𝑥 um mais ℎ menos 𝑥 um é apenas ℎ.

E tendo usado a fórmula da taxa média de variação e a definição de 𝑓 de 𝑥, o resto é apenas álgebra. Podemos mover o ℎ do denominador na grande fração para os denominadores da fração no numerador. Isso funciona porque a divisão é distributiva em detrimento da subtração. Agora temos a diferença de duas frações e podemos combinar essas duas frações encontrando um denominador comum. Olhando para esses denominadores, temos fatores de oito, 𝑥 um mais ℎ, ℎ, e 𝑥 um. E o menor denominador comum é o produto deles, oito vezes 𝑥 um mais ℎ vezes ℎ vezes 𝑥 um. Para escrever essa primeira fração com esse novo denominador, precisamos multiplicar o numerador por 𝑥 um. E o numerador da segunda fração, precisamos multiplicá-lo por 𝑥 um mais ℎ antes de subtrair.

Agora temos uma única fração onde o numerador é bastante complicado. Então talvez possamos simplificar expandindo os termos, mas primeiro acho que precisamos limpar algum espaço. Agora temos mais algum espaço, podemos expandir os termos no numerador. Nós expandimos 𝑥 um mais ℎ ao quadrado em 𝑥 um ao quadrado mais dois ℎ𝑥 um mais ℎ ao quadrado. E também expandimos 𝑥 um mais ℎ vezes 𝑥 um ao quadrado mais dois para obter 𝑥 um ao cubo mais dois 𝑥 um mais ℎ𝑥 um ao quadrado mais dois ℎ. O denominador da fração permanece o mesmo. Podemos expandir ainda mais, multiplicando 𝑥 um por todos no primeiro conjunto de parênteses. E podemos distribuir o sinal de menos sobre os termos no outro conjunto de parênteses.

Agora que expandimos o máximo possível no numerador, podemos ver que alguns termos se cancelam. O 𝑥 um ao cubo cancela com o menos 𝑥 um ao cubo. Podemos combinar o próximo termo, dois ℎ𝑥 um quadrado, com o penúltimo termo, menos ℎ𝑥 um ao quadrado. Dois ℎ𝑥 um ao quadrado ℎ𝑥 um quadrado é apenas ℎ𝑥 um quadrado. E nós também podemos cancelar mais dois 𝑥 um com menos dois 𝑥 um. Nós temos uma bagunça no numerador, então vamos arrumar tudo. Tendo feito isso, vemos que simplificamos bastante e podemos ver que todos os termos no numerador têm um fator de ℎ que se cancelará com o fator de ℎ no denominador.

Tendo feito isso, estamos praticamente prontos. A única coisa que podemos fazer é expandir os parênteses no denominador também. Fazendo isso e trocando alguns termos, tanto no numerador quanto no denominador, obtemos ℎ𝑥 um mais 𝑥 um ao quadrado menos dois sobre oito ℎ𝑥 um mais oito 𝑥 um ao quadrado.

Esta é a taxa média de variação da função 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado mais dois sobre oito 𝑥, já que 𝑥 muda de 𝑥 um para 𝑥 um mais ℎ. Você pode apenas pensar sobre o que acontece quando ℎ fica menor e menor, cada vez mais perto de zero.

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