Video Transcript
Neste vídeo, descobriremos como representar uma progressão como uma função de uma variável inteira positiva chamada índice. Veremos uma mistura de perguntas sobre progressões aritméticas e geométricas, incluindo como encontrar o 𝑛-ésimo termo desses tipos de sequência e também como escrever uma progressão dado o 𝑛-ésimo termo. Mas antes de começarmos algumas perguntas, vamos recapitular parte da terminologia em torno das progressões e tipos de progressão que podemos encontrar.
Em primeiro lugar, temos que uma progressão é uma lista ordenada de termos. Os termos são geralmente nomeados 𝑎 sub 𝑖 ou 𝑎 sub 𝑛, onde 𝑖 ou 𝑛 são o índice. Neste vídeo, tenderemos a usar 𝑛 como o índice. Então, por exemplo, 𝑎 sub três seria o terceiro termo. Às vezes as progressões começam com o índice 𝑛 como 𝑛 é igual a um, e às vezes elas começam com 𝑛 igual a zero. Nesse caso, a progressão começará com o que chamaríamos de termo zero. E então teríamos o primeiro termo e o segundo termo e assim por diante. Geralmente obtemos uma pista nos tipos de pergunta se eles nos pedem para fornecer o 𝑛-ésimo termo em que 𝑛 é maior ou igual a zero. Nesse caso, sabemos que o índice deve começar com 𝑛 igual a zero. Os termos em uma progressão podem ser dados como uma lista ou definidos por uma regra geralmente relacionada ao índice.
Vamos agora recapitular como encontraríamos o 𝑛-ésimo termo de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica. Uma progressão aritmética é uma sequência com a diferença entre dois termos consecutivos constante. Essa diferença é chamada de diferença comum. Um exemplo de uma progressão aritmética seria a sequência cinco, 10, 15, 20 e assim por diante, onde podemos ver que a diferença comum entre quaisquer dois termos consecutivos seria cinco positivo.
Para encontrar o 𝑛-ésimo termo ou 𝑎 sub 𝑛 de uma progressão aritmética, calculamos 𝑎, o primeiro termo, mais 𝑛 menos um vezes d, onde d é a diferença comum. Uma progressão geométrica é uma sequência com a razão entre dois termos consecutivos constante. E essa razão é chamada de razão comum. Um exemplo de uma progressão geométrica pode ser a sequência dois, quatro, oito, 16 e assim por diante. Podemos encontrar a razão comum de uma progressão geométrica tomando qualquer termo e dividindo-o pelo termo anterior. Por exemplo, se dividirmos o quarto termo de 16 pelo terceiro termo de oito, obteremos o valor de dois para a razão. Também teríamos essa razão de dois se dividíssemos oito por quatro.
Para encontrar o 𝑛-ésimo termo de uma progressão geométrica 𝑎 sub 𝑛, calculamos 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos um, onde 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão comum. Agora que recapitulamos o que sabemos sobre as sequências, vamos dar uma olhada na primeira pergunta, onde precisaremos estabelecer qual tipo de sequência temos e, em seguida, encontrar seu 𝑛-ésimo termo.
Em qualquer padrão de sequência, se a diferença entre dois termos sucessivos for um número fixo 𝑑, essa é uma progressão aritmética. Considere a sequência um, quatro, sete, 10 e assim por diante e responda às seguintes perguntas. A progressão é aritmética? Qual é o valor de 𝑑? Qual é o termo geral dessa progressão com 𝑛 maior ou igual a zero?
Para começar esta pergunta, recebemos um pequeno lembrete sobre a definição de uma progressão aritmética. E é aquela que tem uma diferença ou diferença comum entre dois termos sucessivos iguais. Esta palavra sucessivo é como a palavra consecutivo. Significa simplesmente dois termos em que um segue imediatamente o outro. Somos solicitados a considerar a sequência um, quatro, sete, 10 e assim por diante. Se olharmos para a primeira pergunta, nos perguntam se a progressão é aritmética. Portanto, se for aritmética, terá uma diferença comum entre dois termos consecutivos.
Então, se quiséssemos encontrar a diferença entre o primeiro e o segundo termo, calcularíamos quatro menos um, o que obviamente é três. Para encontrar a próxima diferença comum entre o terceiro termo e o segundo termo, calcularíamos sete menos quatro, e isso também seria três. Da mesma forma, a diferença entre 10 e sete também é três. Como temos uma diferença comum, temos uma progressão aritmética. E podemos dizer sim como a resposta para a primeira parte desta pergunta. A segunda parte da pergunta nos pergunta: qual é o valor de 𝑑? 𝑑 é a diferença comum, e somos lembrados disso no texto da pergunta. E também é bom e fácil de trabalhar; são três. E essa é a segunda parte da pergunta respondida.
Na parte final desta questão, somos solicitados a encontrar o termo geral dessa sequência com 𝑛 maior ou igual a zero. Lembre-se de que o termo geral geralmente é visto como o 𝑛-ésimo termo. O fato de 𝑛 ser maior ou igual a zero significa que o índice dessa sequência deve começar com 𝑛 igual a zero. Então, na verdade, essa sequência começa com um termo zero. Então teríamos o primeiro termo, depois o segundo termo e o terceiro termo e assim por diante. Devemos lembrar que existe uma fórmula para nos ajudar a encontrar o 𝑛-ésimo termo de uma progressão aritmética. O 𝑛-ésimo termo 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 mais 𝑛 menos um multiplicado por 𝑑, onde 𝑎 é o primeiro termo e 𝑑 é a diferença comum.
Quando olhamos para a sequência um, quatro, sete, 10 e assim por diante, o primeiro termo é realmente o mesmo que 𝑎 sub um. Portanto, o valor de 𝑎, que substituímos, será quatro. E como o valor de 𝑑, que calculamos anteriormente, é três, adicionamos 𝑛 menos um multiplicado por três. Quando distribuímos o três entre parênteses, obtemos três multiplicado por 𝑛, que é três 𝑛, e três multiplicado por menos um, que é menos três. Finalmente, quando simplificamos isso, obtemos quatro menos três, que é um, mais três 𝑛 ou três 𝑛 mais um. E essa é a resposta para a terceira parte desta questão: o termo geral ou 𝑛-ésimo termo desta progressão é três 𝑛 mais um.
Mas é importante notar que isso ocorreu porque o índice 𝑛 era maior ou igual a zero. Se o índice tivesse começado com um, ou seja, 𝑛 é maior ou igual a um, então teríamos calculado o 𝑛-ésimo termo como sendo três 𝑛 menos dois. Portanto, é muito importante ler a pergunta para ver se há uma indicação de que o índice, de fato, começa com zero. Neste caso, no entanto, podemos dar o termo geral como três 𝑛 mais um.
Vamos agora dar uma olhada em outra pergunta.
Em uma progressão geométrica, a razão entre dois termos sucessivos é uma razão fixa 𝑟. Considere a sequência um meio, um quarto, um oitavo, um dezesseis avos e assim por diante. Essa progressão é geométrica? Considere a sequência um meio, um quarto, um oitavo, um dezesseis avos e assim por diante. Qual é o valor de 𝑟? Considere a sequência um meio, um quarto, um oitavo, um dezesseis avos e assim por diante. Qual é o termo geral dessa progressão?
Nesta pergunta, recebemos um lembrete do que é uma progressão geométrica. É aquele que tem uma razão fixa ou razão comum entre dois termos sucessivos. Em cada uma das três partes desta pergunta, estamos considerando a mesma sequência. E na primeira parte desta pergunta, nos perguntam se essa progressão dada é geométrica. Então, vamos escrever essa progressão. Se for geométrica, haverá uma razão comum 𝑟 entre quaisquer dois termos consecutivos ou sucessivos. Então, vamos ver se podemos encontrar uma razão entre os dois primeiros termos, um meio e um quarto. Para encontrar a razão, pegamos o segundo termo de um quarto e o dividimos pela metade.
Quando estamos dividindo frações, escrevemos a primeira fração e a multiplicamos pelo inverso da segunda fração. Podemos tirar um fator comum de dois do numerador e do denominador. E então multiplicar os numeradores nos dá um, e multiplicar os denominadores nos dá dois. Isso significa que a razão entre o primeiro e o segundo termo é um meio. Em seguida, encontraremos a razão entre o segundo e o terceiro termo de um quarto e um oitavo, então calcularemos um oitavo dividido por um quarto. Multiplicando pelo inverso da fração de um quarto, calculamos um oitavo multiplicado por quatro sobre um. E assim, mais uma vez, obtemos a razão de um meio.
Parece que provavelmente temos uma razão comum, mas sempre vale a pena verificar todos os termos para garantir que haja uma razão comum em todos eles. E quando calculamos um dezesseis avos dividido por um oitavo, também obtemos a razão de um meio. Portanto, estabelecemos que essa sequência tem uma razão fixa ou comum e, portanto, deve ser geométrica. E podemos dizer sim como a resposta para a primeira parte desta pergunta. Na segunda parte desta pergunta, somos solicitados a encontrar o valor de 𝑟 para a mesma sequência. Lembre-se de que 𝑟 é a razão fixa e é boa e simples. Acabamos de calcular que é um meio, que é a segunda parte da pergunta respondida.
Na parte final desta pergunta, somos solicitados a encontrar o termo geral dessa progressão. E podemos lembrar que o termo geral é outra maneira de perguntar o 𝑛-ésimo termo. Se começássemos com o primeiro termo escrito como 𝑎 sub um igual a um meio, então o segundo termo seria 𝑎 sub dois e seria um quarto. O terceiro e o quarto termos podem ser escritos como 𝑎 sub três e 𝑎 sub quatro. Então, quando estamos encontrando o termo geral, estamos realmente procurando a regra que nos permitiria calcular o 𝑛-ésimo termo ou 𝑎 sub 𝑛.
Podemos lembrar que existe uma fórmula geral que nos permite calcular o 𝑛-ésimo termo de qualquer sequência geométrica. 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑎 multiplicado por 𝑟 elevado a 𝑛 menos um, onde 𝑎 é o primeiro termo e 𝑟 é a razão comum. Os valores que precisamos inserir na fórmula serão 𝑎 igual a um meio, pois esse foi o primeiro termo, e 𝑟 calculamos como um meio. Portanto, o 𝑛-ésimo termo dessa progressão pode ser dado como um meio multiplicado por um meio elevado a 𝑛 menos um. Quando damos nossa resposta, é importante indicar os valores de 𝑛. Quando encontramos o 𝑛-ésimo termo ou termo geral, começamos com 𝑛 igual a um. Portanto, a resposta para a terceira parte da questão é que o termo geral da progressão é um meio multiplicado por um meio elevado a 𝑛 menos um para valores de 𝑛 maiores ou iguais a um.
Podemos, é claro, simplificar ainda mais esse termo geral usando uma das propriedades de potências. Se considerarmos que o primeiro valor de um meio é equivalente a um meio elevado a um, e assim adicionando os expoentes um e 𝑛 menos um nos dará simplesmente o expoente de 𝑛. Se inserirmos os valores de 𝑛 igual a um, dois, três ou quatro em qualquer uma dessas fórmulas, obteremos os quatro primeiros termos da sequência que nos foi dada, e assim verificar se temos a resposta correta para o termo geral.
A seguir, vamos dar uma olhada em uma pergunta em que precisamos encontrar os três primeiros termos da progressão dado o termo geral.
Encontre os três primeiros termos da progressão cujo termo geral 𝑎 sub 𝑛 é igual a 𝑛 sobre 𝑛 mais um.
Nesta pergunta, recebemos um termo geral ou um 𝑛-ésimo termo para uma sequência como 𝑛 sobre 𝑛 mais um. Este valor de 𝑛 é um índice para a progressão. Então, quando queremos calcular o primeiro termo, estamos calculando o valor de 𝑎 sub um, o que significa que substituímos o valor de um para cada valor de 𝑛. Portanto, teremos 𝑎 sub um é igual a um sobre um mais um. Simplificando isso nos dá o valor de um meio.
Para encontrar o segundo termo ou o valor de 𝑎 sub dois, estaremos substituindo o valor de 𝑛 igual a dois. Isso nos dá dois sobre dois mais um, que quando simplificamos nos dá o valor de dois terços para o segundo termo. Finalmente, para o terceiro termo, estaremos calculando o valor de 𝑎 sub três. Então, nós substituímos 𝑛 igual a três no termo geral. E nós temos três sobre três mais um, o que simplifica para três quartos. Portanto, podemos dar a resposta de que os três primeiros termos dessa progressão devem ser um meio, dois terços e três quartos.
Vamos agora dar uma olhada em uma pergunta final.
Considere a progressão um, um, três quartos, quatro oitavos e assim por diante. Qual das alternativas a seguir é o termo geral dessa progressão, que 𝑛 é maior ou igual a zero? Opção (A) 𝑛 sobre dois elevado a 𝑛. Opção (B) 𝑛 menos um sobre dois elevado a 𝑛. Opção (C) 𝑛 mais um sobre dois elevado a 𝑛. Opção (D) dois 𝑛 sobre dois elevado a 𝑛. Ou a opção (E) 𝑛 mais dois sobre dois elevado a 𝑛.
Nesta pergunta, recebemos uma sequência e pedimos para encontrar seu termo geral. Quando estamos encontrando um termo geral, estamos realmente encontrando uma regra que conecta o número do termo com o valor real do termo. Quando nos é dado que o índice 𝑛 é maior ou igual a zero, isso significa que nossa sequência começa com o termo zero. Temos então o primeiro termo 𝑎 sub um, o segundo termo 𝑎 sub dois e assim por diante. O 𝑛-ésimo termo seria 𝑎 sub 𝑛. Então, dado qualquer valor de 𝑛, qual seria o valor na sequência? Se considerarmos essa sequência, não há uma diferença comum entre dois termos consecutivos, portanto, essa não é uma progressão aritmética. Também não há uma razão comum entre dois termos consecutivos, portanto, essa sequência também não é uma progressão geométrica.
Para encontrar o termo geral da sequência, teremos que aplicar alguma lógica. Vamos dar uma olhada neste termo, 𝑎 sub um com o valor de um. E se, em vez de ser esse valor de um, esse valor de 𝑎 sub um fosse na verdade uma fração simplificada para um? Para que uma fração simplifique para um, o numerador e o denominador teriam que ter o mesmo valor. Digamos que essa fração seja realmente dois sobre algo e, para simplificar para um, precisaria ser dois sobre dois. Se pensarmos no termo zero 𝑎 sub zero, em vez de ser apenas um como sendo uma fração de um sobre um, agora podemos ver que os numeradores na verdade têm um padrão bastante bom. Eles vão de um a dois a três a quatro. Os denominadores também têm um padrão diferente. Eles vão de um a dois a quatro a oito.
Vamos considerar o termo geral dos numeradores e denominadores separadamente para cada valor de 𝑛 começando com 𝑛 igual a zero. Lembre-se de que escolhemos zero porque isso nos foi dado na pergunta. Então, para qualquer índice 𝑛, qual será o numerador? Bem, todo valor no numerador é um a mais que seu índice. Portanto, o 𝑛-ésimo termo do numerador será 𝑛 mais um. Para os denominadores, eles têm um padrão que parece estar dobrando. Na verdade, cada denominador é uma potência de dois. Seria dois elevado a 𝑛. Por exemplo, para o termo zero, dois elevado a zero nos dá um. Para o primeiro termo, dois elevado a um nos dão dois e assim por diante. Agora podemos juntar o termo geral para o numerador e o denominador. Portanto, o termo geral dessa sequência é 𝑛 mais um sobre dois elevado a 𝑛, que foi o valor dado a nós na opção (C).
Vamos agora resumir os principais pontos deste vídeo. Em primeiro lugar, vimos que as sequências consistem em termos. Então vimos que os termos podem ser escritos como 𝑎 sub 𝑛, onde 𝑛 é o índice. Também vimos como às vezes o índice 𝑛 começa com zero e às vezes começa com um. Nós recapitulamos progressões aritméticas e geométricas e tentamos encontrar seus 𝑛-ésimos termos.
