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Vídeo da aula: Probabilidade condicionada: diagramas em árvore Matemática

Neste vídeo, aprenderemos como utilizar diagramas em árvore para calcular probabilidades condicionadas.

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Transcrição do vídeo

Neste vídeo, aprenderemos como utilizar diagramas em árvore para calcular probabilidades condicionadas. Ao trabalhar com probabilidades condicionadas, é útil utilizar um diagrama em árvore para ilustrar a probabilidade dos diferentes resultados. Para ajudar a entender isto, primeiro vamos relembrar a fórmula da probabilidade condicionada.

A probabilidade de que um acontecimento 𝐵 ocorrer sabendo que o acontecimento 𝐴 já ocorreu é escrita como a probabilidade de 𝐵 sabendo 𝐴 é igual à probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 dividida pela probabilidade de 𝐴, onde a probabilidade da interseção é a probabilidade de que ambos 𝐴 e 𝐵 ocorrerem. Ao multiplicar ambos os membros pela probabilidade de 𝐴, isto pode ser reescrito como a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 igual à probabilidade de 𝐵 dado 𝐴 multiplicada pela probabilidade de 𝐴.

Vamos agora considerar como isto pode ser representado num diagrama em árvore. Podemos utilizar a fórmula para determinar a interseção de dois acontecimentos. Num diagrama em árvore, estes podem ser calculados multiplicando-se pelos ramos, com o primeiro ramo a representar a probabilidade de 𝐴 e o segundo ramo a representar a probabilidade de 𝐵, sabendo que 𝐴 ocorreu. Recordando que todas as probabilidades estão no intervalo de zero a um tal que a probabilidade de 𝐴 é maior ou igual a zero e menor ou igual a um e que a probabilidade do complementar de um acontecimento escrito 𝐴 linha ou 𝐴 barra seja igual a um menos a probabilidade de 𝐴, podemos completar a metade superior do diagrama em árvore.

Estendendo isto para a metade inferior, começando com a probabilidade de 𝐴 linha, o diagrama em árvore completo é como o apresentado. Multiplicando ao longo dos nossos ramos, podemos calcular as probabilidades de 𝐴 interseção 𝐵, 𝐴 interseção 𝐵 linha, 𝐴 interseção de linha 𝐵 e 𝐴 interseção de linha 𝐵 linha. Vamos agora considerar como podemos utilizar um diagrama em árvore deste tipo em contextos.

Um saco contém três bolas azuis e sete vermelhas. David seleciona duas bolas sem reposição e desenha o seguinte diagrama em árvore. Dado que a primeira bola é vermelha, determine o valor de 𝑥 que representa a probabilidade de que a segunda bola selecionada seja vermelha.

É -nos dito na questão que as duas bolas são selecionadas sem reposição. Isto significa que a cor da segunda bola depende da cor da primeira bola. Como resultado, precisamos de considerar qual é o resultado do primeiro acontecimento ao calcular a probabilidade do segundo acontecimento. Este é um exemplo de probabilidade condicionada. Estamos a tentar determinar a probabilidade de que a segunda bola seja vermelha, sabendo que a primeira era vermelha.

Dizem-nos inicialmente que o saco contém três bolas azuis e sete vermelhas. Como há 10 bolas no total, a probabilidade de que a primeira bola selecionada seja azul é de três em 10 ou três décimas. A probabilidade de que a primeira bola seja vermelha é de sete décimas. Nesta questão, somos informados de que a primeira bola é vermelha. Isto significa que agora restam seis bolas vermelhas no saco. Ainda há três bolas azuis, dando-nos um total de nove bolas. A probabilidade de que a segunda bola seja vermelha, dado que a primeira é vermelha, é, portanto, igual a seis nonos. Ao dividir o numerador e o denominador desta fração por três, isto simplifica para dois terços. O valor de 𝑥 no diagrama em árvore é, portanto, igual a dois terços.

Podemos verificar esta resposta considerando pares de ramos, pois sabemos que estes devem somar um. Como a probabilidade de que a segunda bola seja azul, dado que a primeira é vermelha, é um terço e um terço mais dois terços é igual a um, sabemos que a nossa resposta está correta. A fração de um terço veio do facto de que três das nove bolas restantes são azuis. E três nonos é equivalente a um terço.

Embora não seja necessário nesta questão, é importante notar que quando a primeira bola selecionada for azul, haverá sete bolas vermelhas e duas azuis restantes no saco. Isto resulta em probabilidades de dois nonos e sete nonos para a segunda bola ser azul e vermelha, respetivamente, dado que a primeira bola é azul.

Na nossa próxima questão, desenharemos um diagrama em árvore para determinar a probabilidade de um acontecimento condicionado.

Um saco contém 22 bolas vermelhas e 15 bolas pretas. Duas bolas são retiradas ao acaso. Determine a probabilidade de que a segunda bola seja preta, dado que a primeira bola é vermelha. Dê a sua resposta com três casas decimais.

Nesta questão, somos informados de que duas bolas são retiradas ao acaso de um saco. Uma maneira de representar isto é utilizar um diagrama em árvore. Sabemos que a primeira bola selecionada pode ser vermelha ou preta. O mesmo é verdade para a segunda bola, dando-nos quatro combinações possíveis: vermelha vermelha, vermelha preta, preta vermelha ou preta preta. Como as duas bolas são retiradas ao mesmo tempo, podemos assumir que isto é feito sem reposição. Isto significa que estamos a lidar com acontecimentos dependentes e probabilidade condicionada.

A probabilidade condicionada pode ser escrita utilizando a notação apresentada: a probabilidade de 𝐵 sabendo 𝐴. Nesta questão, fomos solicitados a determinar a probabilidade de que a segunda bola seja preta, sabendo que a primeira bola é vermelha. Esta é a probabilidade correspondente ao ramo destacado a rosa. Como os acontecimentos são dependentes, primeiro precisamos de calcular a probabilidade de que a primeira bola retirada seja vermelha.

Existem 22 bolas vermelhas e 15 bolas pretas no saco. Isto significa que há um total de 37 bolas. E a probabilidade de que a primeira bola selecionada seja vermelha é 22 de 37. Embora não seja necessário nesta questão, também podemos adicionar ao nosso diagrama em árvore a probabilidade de que a primeira bola seja preta. Isto é igual a 15 de 37. Vamos agora considerar quantas bolas restam no saco se a primeira a ser retirada for vermelha. Existem agora 21 bolas vermelhas e ainda 15 bolas pretas. Isto é um total de 36 e a probabilidade de selecionar uma bola preta agora é de 15 de 36. Esta é a probabilidade do que estamos à procura. A probabilidade de que a segunda bola seja preta, sabendo que a primeira bola é vermelha, é de 15 em 36.

Embora muitas vezes deixarmos a nossa resposta como uma fração, neste caso, pedem-nos para dar a nossa resposta com três casas decimais. 15 dividido por 36 ou a fração simplificada cinco dividida por 12 é igual a 0.4166 e assim por diante. Podemos arredondar com três casas decimais, dando-nos uma resposta de 0.417. Nesta fase, vale a pena completar o resto do diagrama em árvore. Se a primeira bola selecionada for vermelha, a probabilidade de que a segunda bola também seja vermelha é 21 de 36, pois 21 das bolas restantes são vermelhas. Se assumirmos agora que a primeira bola retirada era preta, restarão 22 bolas vermelhas e apenas 14 pretas. Isto significa que a probabilidade da segunda bola ser vermelha, dado que a primeira bola é preta, é de 22 de 36. E a probabilidade de que a segunda bola seja preta, sabendo que a primeira bola também é preta, é de 14 em 36.

Também vale a pena verificar nesta fase se os três pares de frações circulados somam um. Podemos fazer isto antes ou depois de simplificar as frações.

Vamos agora considerar um exemplo final.

A probabilidade de que chova num determinado dia é de 0.6. Se chover, a probabilidade de um grupo de amigos jogar futebol é de 0.2. Se não chover, a probabilidade de jogar futebol aumenta para 0.8. Calcule a probabilidade de que chova num determinado dia e os amigos joguem futebol. Calcule a probabilidade de que não chova num determinado dia e os amigos joguem futebol. Qual é a probabilidade de os amigos jogarem futebol num determinado dia?

Esta questão tem três partes. Todas envolvem probabilidade condicionada e os acontecimentos dependentes se chove e se um grupo de amigos joga futebol. Uma maneira de representar as informações da questão é utilizar um diagrama em árvore. Agora vamos abrir espaço para fazer isto primeiro.

Começaremos por denominar 𝑅 o acontecimento de chover. Dizem-nos que a probabilidade de chover num determinado dia é de 0.6. Sabemos que o complementar de qualquer acontecimento 𝐴, que é escrito 𝐴 linha ou 𝐴 barra, tem uma probabilidade que é igual a um menos a probabilidade de 𝐴. Isto significa que a probabilidade de não chover nesta questão é de um menos 0.6. Isto é igual a 0.4 e pode ser adicionado ao diagrama em árvore, como se mostra.

Se deixarmos o acontecimento em que o grupo de amigos joga futebol ser 𝐹, existem quatro cenários possíveis: primeiro, que chove e os amigos jogam futebol; em segundo lugar, que chove e os amigos não jogam futebol; em terceiro lugar, não chove e os amigos jogam futebol; e finalmente, que não chove e os amigos não joguem futebol. Disseram-nos que, se chover, a probabilidade de os amigos jogarem futebol é de 0.2. Este é um exemplo de probabilidade condicionada, a probabilidade de que os amigos joguem futebol, pois chove. Podemos então adicionar 0.2 ao nosso diagrama em árvore.

Mais uma vez, como as probabilidades em cada par de ramificações somam um, a probabilidade do complementar é de 0.8. A probabilidade de os amigos não jogarem futebol porque chove é de 0.8. Podemos repetir isto para a metade inferior do nosso diagrama em árvore. É-nos dito na questão que, se não chover, a probabilidade de os amigos jogarem futebol é de 0.8. A probabilidade condicionada de que os amigos joguem futebol desde que não chova é de 0.8.

Vamos agora retornar às três questões específicas que nos foram feitas. Primeiro, pediram-nos para calcular a probabilidade de que chova num determinado dia e os amigos joguem futebol. Como queremos que os dois acontecimentos ocorram, esta é a interseção dos dois acontecimentos. Lembramos que dados dois acontecimentos 𝐴 e 𝐵, a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐵 dado 𝐴 multiplicado pela probabilidade de 𝐴. Nesta questão, a probabilidade de que chova e de que os amigos joguem futebol é igual à probabilidade de que os amigos joguem futebol, sabendo que chove, multiplicada pela probabilidade de chover. Precisamos de multiplicar as probabilidades 0.2 e 0.6. Isto é igual a 0.12.

Vamos agora considerar a segunda parte da nossa questão. Esta pediu-nos para calcular a probabilidade de que não chova num determinado dia e os amigos joguem futebol. Isto corresponde ao caminho rosa no nosso diagrama em árvore. A probabilidade de não chover e os amigos jogarem futebol é igual à probabilidade de jogarem futebol, uma vez que não chove multiplicada pela probabilidade de não chover. Precisamos de multiplicar 0.8 e 0.4. Isto é igual a 0.32. A probabilidade de que não chova num determinado dia e os amigos joguem futebol é de 0.32.

A parte final da nossa questão pediu-nos para calcular a probabilidade de os amigos jogarem futebol num determinado dia. Isto pode ocorrer de duas maneiras: ou chove e eles jogam futebol ou não chove e eles jogam futebol. Precisamos de determinar a união destes dois acontecimentos. No diagrama em árvore, isto envolve determinar a soma das probabilidades. Precisamos de adicionar 0.12 e 0.32. Isto é igual a 0.44. Podemos, portanto, concluir que a probabilidade de os amigos jogarem futebol num determinado dia é de 0.44.

É importante notar que a soma das probabilidades para todos os resultados possíveis combinados é igual a um. Neste caso, as quatro probabilidades 0.12, 0.48, 0.32 e 0.08 somam um.

Vamos agora terminar este vídeo resumindo os pontos principais. Vimos neste vídeo que, quando há um número relativamente pequeno de resultados, um diagrama em árvore é uma maneira útil de ilustrar a probabilidade de acontecimentos compostos. Vimos que a soma das probabilidades para cada conjunto de ramificações é igual a um. Da mesma forma, a soma das probabilidades de todos os resultados finais é igual a um. Ao lidar com a probabilidade condicionada, vimos que a probabilidade de 𝐴 interseção 𝐵 é igual à probabilidade de 𝐵 dado 𝐴 multiplicada pela probabilidade de 𝐴.

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