Vídeo: A Regra do Quociente

Neste vídeo, vamos aprender como determinar a derivada de uma função utilizando a regra do quociente.

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Transcrição do vídeo

A regra do quociente

Neste vídeo, aprenderemos como determinar a derivada de uma função utilizando a regra do quociente. Veremos vários exemplos de como pode ser utilizada.

Considere que a função 𝑦 igual a menos três 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais 17 sobre a raiz quadrada de 𝑥.

Se quisermos determinar a derivada desta função, existem vários métodos que poderemos utilizar. Poderíamos dividir o numerador pelo denominador e simplesmente derivar a função resultante. Em alternativa, poderíamos escrever a fração como um produto e determinar a derivada utilizando a regra do produto. Existe também um método alternativo que podemos utilizar para determinar esta derivada. E este não requer simplificação ou reescrita da equação. Chamamo-lo de regra do quociente. A demonstração da regra do quociente é um pouco demorada para este vídeo. Portanto, não abordaremos aqui.

A regra do quociente diz que dadas duas funções deriváveis, 𝑢 de 𝑥 e 𝑣 de 𝑥, a derivada do seu quociente é dada por 𝑑 sobre d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 sobre 𝑣 de 𝑥 igual a 𝑣 de 𝑥 vezes 𝑑 sobre d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 menos 𝑢 de 𝑥 vezes 𝑑 sobre d𝑥 de 𝑣 de 𝑥 tudo sobre 𝑣 de 𝑥 ao quadrado. Podemos escrever isto muito mais sucintamente em notação com linhas. Que dá 𝑢 sobre 𝑣 linha igual a 𝑣𝑢 linha menos 𝑢𝑣 linha tudo sobre 𝑣 ao quadrado.

Acho uma maneira fácil de lembrar a regra do quociente é com uma rima. A rima é LO 𝑑 HI menos HI 𝑑 LO sobre o quadrado do que está em baixo. Onde HI é o numerador da função racional que estamos a derivar. E LO é o denominador dessa função racional. E os 𝑑s que estão dentro da rima mostram onde precisamos de derivar. Então, 𝑑 HI será a derivada do numerador da nossa função. E 𝑑 LO é a derivada do denominador da nossa função. Pode achar mais fácil lembrar por outros meios. Mas fique à vontade para utilizar este método também.

Agora estamos prontos para ver alguns exemplos.

Determine a primeira derivada de 𝑦 é igual a 8𝑥 mais cinco sobre três 𝑥 mais 22.

Aqui, podemos ver que a nossa função 𝑦 é uma função racional. Assim, podemos determinar a sua derivada utilizando a regra do quociente. A regra do quociente diz-nos que, se derivarmos o quociente de duas funções, ou seja 𝑢 sobre 𝑣, em ordem a 𝑥. Então, é igual a 𝑣 multiplicado pela derivada de 𝑢 em ordem a 𝑥 menos 𝑢 multiplicado pela derivada de 𝑣 em ordem a 𝑥 tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Para determinar a primeira derivada de 𝑦, comece por identificar 𝑢 e 𝑣 na nossa equação. 𝑢 será igual ao numerador da função, ou seja, oito 𝑥 mais cinco. E 𝑣 será igual ao denominador da função, ou seja, é três 𝑥 mais 22.

Em seguida, devemos determinar d sobre d𝑥 de 𝑢 e d sobre d𝑥 de 𝑣, ou d𝑢 sobre d𝑥 e d𝑣 sobre d𝑥. 𝑢 e 𝑣 são ambos polinómios. Assim, podemos simplesmente derivá-los termo a termo. Escrevendo 𝑢 em termos de potências de 𝑥, podemos dizer que é igual a oito 𝑥 elevado a um mais cinco 𝑥 elevado a zero. Para derivar, simplesmente multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente uma unidade. No primeiro termo, multiplicamos pelo expoente, de modo que este é um, e diminuímos o expoente uma unidade, para zero. Deixando-nos um multiplicado por oito 𝑥 elevado a zero. Para o segundo termo, multiplicamos pelo expoente, de modo que é zero e diminuímos o expoente uma unidade para menos um. Dando-nos zero multiplicado por cinco 𝑥 elevado a menos um.

No primeiro termo, 𝑥 elevado a zero é apenas um. Então, isso fica oito. No segundo período, multiplicamos por zero. Então, esse termo fica zero. Portanto, descobrimos que d𝑢 sobre d𝑥 é igual a oito. Podemos utilizar um método semelhante para determinar d𝑣 sobre d𝑥. E descobrimos que é igual a três. Agora que descobrimos d𝑢 sobre d𝑥 e d𝑣 sobre d𝑥, estamos prontos para utilizar a regra do quociente. Descobrimos que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a 𝑣, que é três 𝑥 mais 22, multiplicado por d𝑢 sobre d𝑥, que é oito, menos 𝑢, que é oito 𝑥 mais cinco, multiplicado por d𝑣 sobre d𝑥, portanto é três. E tudo isto sobre ao 𝑣 quadrado, ou seja, é três 𝑥 mais 22 ao quadrado.

Em seguida, podemos desembaraçar os parêntesis. E, em seguida, simplifica para descobrir que a nossa solução é que a primeira derivada de 𝑦 é igual a 161 sobre três 𝑥 mais 22 tudo ao quadrado.

Agora, veremos um exemplo um pouco mais complexo.

Determine a primeira derivada da função 𝑦 igual a quatro 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 mais cinco sobre quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais três.

Podemos ver que a nossa função é uma função racional. Portanto, podemos utilizar a regra do quociente para determinar a derivada. A regra do quociente diz-nos que 𝑢 sobre 𝑣 linha é igual a 𝑣𝑢 linha menos 𝑢𝑣 linha tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Onde 𝑢 é o numerador da nossa função e 𝑣 é o denominador. No nosso caso, 𝑢 é igual a quatro 𝑥 ao quadrado mais cinco 𝑥 mais cinco. E 𝑣 é igual a quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais três. Agora, devemos determinar 𝑢 linha e 𝑣 linha. Fazemos isso derivando 𝑢 e 𝑣 em ordem a 𝑥.

Como 𝑢 e 𝑣 são funções polinomiais, podemos determinar as suas derivadas tomando cada termo e multiplicando-o pelo expoente de 𝑥. E a seguir, diminuindo o expoente de 𝑥 uma unidade. E fazendo isso, descobrimos que 𝑢 linha é igual a oito 𝑥 mais cinco. E 𝑣 linha é igual a oito 𝑥 menos dois. Substituindo-os na nossa fórmula, descobrimos que a primeira derivada de 𝑦 ou 𝑦 linha é igual a 𝑣 multiplicado por 𝑢 linha menos 𝑢 multiplicado por 𝑣 linha tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Agora, o resultado aqui parece bastante assustador. No entanto, ainda podemos desembaraçar os parêntesis e simplificar. Isto é o que obtemos após desembaraçar os parêntesis no numerador.

O nosso passo final é simplificar o numerador. Agora, chegámos à nossa solução. O que significa que a primeira derivada de 𝑦 ou 𝑦 linha é igual a menos 28𝑥 ao quadrado menos 16𝑥 mais 25 sobre quatro 𝑥 ao quadrado menos dois 𝑥 mais três tudo ao quadrado.

Agora, vejamos um tipo de questão um pouco diferente.

Suponha que 𝑓 de 𝑥 seja igual a 𝑥 ao quadrado mais 𝑎𝑥 mais 𝑏 tudo sobre 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑥 mais quatro. Dado que 𝑓 de zero é igual a um e 𝑓 linha de zero é igual a quatro, determine 𝑎 e 𝑏.

O nosso primeiro passo nesta questão pode ser substituir 𝑥 igual a zero em 𝑓 de 𝑥. Como nos é dado que 𝑓 de zero é igual a um. Obtemos que 𝑓 de zero é igual a zero ao quadrado mais 𝑎 vezes zero mais 𝑏 tudo sobre zero ao quadrado menos sete vezes zero mais quatro. Agora, todos estes termos serão zero, exceto 𝑏 e quatro. Ficamos com 𝑓 de zero igual a 𝑏 sobre quatro. Em seguida, utilizamos o facto de que a questão nos disse que 𝑓 de zero é igual a um. E assim, podemos definir isto igual a um. A partir disto, descobrimos que 𝑏 é igual a quatro. Em seguida, podemos utilizar o facto de que 𝑓 linha de zero é igual a quatro. No entanto, primeiro que tudo, devemos determinar 𝑓 linha de 𝑥. Para o fazer, precisamos de derivar 𝑓. Como 𝑓 é uma função racional, podemos utilizar a regra do quociente para determinar a sua derivada.

A regra do quociente diz-nos que 𝑢 sobre 𝑣 linha é igual a 𝑣𝑢 linha menos 𝑢𝑣 linha tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Definindo a nossa função 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑢 sobre 𝑣, obtemos que 𝑢 é igual a 𝑥 ao quadrado mais 𝑎𝑥 mais 𝑏. E 𝑣 é igual a 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑥 mais quatro. Podemos determinar 𝑢 linha e 𝑣 linha derivando estas duas funções. Dando-nos que 𝑢 linha igual a dois 𝑥 mais 𝑎 e 𝑣 linha é igual a dois 𝑥 menos sete. Agora, podemos substituí-los na regra do quociente. Obtemos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑥 mais quatro multiplicado por dois 𝑥 mais 𝑎 menos 𝑥 ao quadrado mais 𝑎𝑥 mais 𝑏 multiplicado por dois 𝑥 menos sete tudo sobre 𝑥 ao quadrado menos sete 𝑥 mais quatro ao quadrado.

Agora, podemos simplificar o 𝑓 linha de 𝑥 neste momento. No entanto, substituiremos por 𝑥 igual a zero. E assim, muitos destes termos simplesmente desaparecerão. Vamos simplesmente substituir 𝑥 é igual a zero aqui. Nós obtemos isto. No entanto, muitos dos termos desaparecerão para zero, o que nos deixa com quatro 𝑎 mais sete 𝑏 tudo sobre 16. Agora, descobrimos que 𝑏 é igual a quatro anteriormente. E assim, podemos substituir isso, dando-nos quatro 𝑎 mais 28 tudo sobre 16.

Como a questão nos disse que 𝑓 linha de zero é igual a quatro, podemos colocá-la igual a quatro. Então, simplesmente reorganizamos isto para resolver em ordem a 𝑎. Agora, obtemos a nossa solução que é 𝑎 igual a nove. Agora determinamos os valores de 𝑎 e 𝑏, ​​o que completa a solução para esta questão.

No próximo exemplo, veremos um tipo de questão um pouco diferente.

Seja 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑥 sobre menos quatro de 𝑥 menos cinco. Dado que 𝑓 de menos dois é igual a menos um, 𝑓 linha de menos dois é igual a menos oito, ℎ de menos dois é igual a menos dois e ℎ linha de menos dois é igual a cinco, determine 𝑔 linha de menos dois.

Nesta questão, pedem-nos para determinar 𝑔 linha de menos dois. Então, vamos começar por derivar 𝑔 de 𝑥. 𝑔 de 𝑥 é uma função racional, portanto, precisamos de utilizar a regra do quociente. A regra do quociente diz-nos que 𝑢 sobre 𝑣 linha é igual a 𝑣𝑢 linha menos 𝑢𝑣 linha tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Definindo 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑢 sobre 𝑣, podemos ver que 𝑢 é igual a 𝑓 de 𝑥. E 𝑣 é igual a menos quatro de 𝑥 menos cinco. 𝑢 linha será igual a 𝑓 de 𝑥 linha. Agora, a linha simplesmente representa uma derivação em ordem a 𝑥. Portanto, 𝑓 de 𝑥 linha é idêntico a 𝑓 linha de 𝑥. Em seguida, precisamos de determinar 𝑣 linha. Portanto, é menos quatro ℎ de 𝑥 menos cinco linha.

Agora, novamente, como uma linha simplesmente representa uma derivação em ordem a 𝑥, podemos aplicar regras de derivação normais aqui. E assim, derivar o termo constante menos cinco resultará em zero. Então, podemos dizer que isto é igual a menos quatro ℎ de 𝑥 linha. Agora, como a nossa função ℎ de 𝑥 está a ser multiplicada uma constante, menos quatro. Podemos utilizar as nossas regras das derivadas e tirar o menos quatro da derivada. Dando-nos menos quatro multiplicado por ℎ de 𝑥 linha.

E agora, podemos aplicar a mesma lógica que fizemos para 𝑓 de 𝑥 linha. E podemos dizer que 𝑣 linha é igual a menos quatro ℎ linha de 𝑥. Agora, podemos substituir a regra do quociente para determinar 𝑔 linha de 𝑥. Agora que determinamos 𝑔 linha de 𝑥, podemos substituir 𝑥 igual a menos dois. Agora, formamos uma equação em termos de 𝑓 de menos dois, 𝑓 linha de menos dois, ℎ de menos dois e ℎ linha de menos dois. Deram-nos o valor de tudo isto na questão. E assim, somos capazes de substituir estes valores aqui.

Agora, o nosso passo final para determinar 𝑔 linha de menos dois é simplificar isto. Desembaraçando os parêntesis, obtemos menos 24 menos 20 tudo sobre nove. Isso dá-nos uma solução que 𝑔 linha de menos dois é igual a menos 44 sobre nove.

A seguir, veremos como podemos derivar uma função que consiste em duas expressões racionais.

Se 𝑦 for igual a 𝑥 mais cinco sobre 𝑥 menos cinco menos 𝑥 menos cinco sobre 𝑥 mais cinco, determine d𝑦 sobre d𝑥.

A nossa função, 𝑦, consiste em duas expressões racionais, 𝑥 mais cinco sobre 𝑥 menos cinco e 𝑥 menos cinco sobre 𝑥 mais cinco. E poderíamos determinar d𝑦 sobre d𝑥 utilizando a regra do quociente nestas duas expressões racionais. No entanto, isto exigiria o uso da regra do quociente duas vezes. Podemos tornar o nosso trabalho um pouco mais fácil combinando as duas expressões racionais numa. Obtemos que 𝑦 é igual a 𝑥 mais cinco ao quadrado menos 𝑥 menos cinco ao quadrado tudo sobre 𝑥 menos cinco vezes 𝑥 mais cinco. Podemos desembaraçar os parêntesis e simplificar para obter 𝑦 igual a 20𝑥 sobre 𝑥 ao quadrado menos 25.

E agora, a nossa função consiste em apenas uma expressão racional. Estamos prontos para utilizar a regra do quociente para derivar essa função. A regra do quociente diz-nos que 𝑢 sobre 𝑣 linha é igual a 𝑣𝑢 linha menos 𝑢𝑣 linha tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Definindo 𝑦 igual a 𝑢 sobre 𝑣, obtemos que 𝑢 é igual a 20𝑥 e 𝑣 é igual a 𝑥 ao quadrado menos 25. Em seguida, podemos determinar 𝑢 linha e 𝑣 linha, o que nos dá que 𝑢 linha é igual a 20 e 𝑣 linha é igual a dois 𝑥.

Agora, podemos substituí-los na regra do quociente para descobrir que d𝑦 sobre d𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos 25 vezes 20 menos 20 𝑥 vezes dois 𝑥 tudo sobre 𝑥 ao quadrado menos 25 ao quadrado. Simplificamos isto para obter que d𝑦 sobre d𝑥 igual a menos 20𝑥 menos 500 tudo sobre 𝑥 ao quadrado menos 25 ao quadrado.

No nosso exemplo final, veremos como calcular a derivada de uma função racional num ponto.

Calcule 𝑓 linha de três, onde 𝑓 de 𝑥 é igual a 𝑥 sobre 𝑥 mais dois menos 𝑥 menos três sobre 𝑥 menos dois.

Agora, a nossa função é a diferença de duas expressões racionais. Podemos começar por combinando as duas expressões racionais numa. Obtemos que 𝑓 de 𝑥 é igual a menos 𝑥 mais seis tudo sobre 𝑥 ao quadrado de menos quatro. E escrevemos 𝑓 como uma função racional. E estamos prontos para utilizar a regra do quociente, que nos diz que 𝑢 sobre 𝑣 linha é igual a 𝑣𝑢 linha menos 𝑢𝑣 linha tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Definindo 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑢 sobre 𝑣, obtemos que 𝑢 é igual a menos 𝑥 mais seis e 𝑣 é igual a 𝑥 ao quadrado menos quatro. Descobrimos então que 𝑢 linha é igual a menos um e 𝑣 linha é igual a dois 𝑥.

Substituindo 𝑢, 𝑣, 𝑢 linha e 𝑣 linha de volta à regra do quociente. Descobrimos que 𝑓 linha de 𝑥 é igual a 𝑥 ao quadrado menos quatro multiplicado por menos um menos 𝑥 mais seis multiplicado por dois 𝑥 tudo sobre 𝑥 ao quadrado menos quatro ao quadrado. Para determinar 𝑓 linha de três, simplesmente substituímos 𝑥 igual a três em 𝑓 linha de 𝑥. Obtemos que 𝑓 linha de três é igual a três ao quadrado menos quatro multiplicado por menos um menos menos três mais seis multiplicado por dois vezes três sobre três ao quadrado menos quatro ao quadrado. O que simplifica para menos cinco menos 18 sobre 25. Isso dá-nos uma solução que 𝑓 linha de três é igual a menos 23 sobre 25.

Agora, vimos vários exemplos da regra do quociente. Vamos abordar alguns pontos principais do vídeo. Para determinar a derivada do quociente de duas funções deriváveis, 𝑢 de 𝑥 e 𝑣 de 𝑥, podemos utilizar a regra do quociente que afirma que d sobre d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 sobre 𝑣 de 𝑥 é igual a 𝑣 de 𝑥 vezes d sobre d𝑥 de 𝑢 de 𝑥 menos 𝑢 de 𝑥 vezes d sobre d𝑥 de 𝑣 de 𝑥 tudo sobre 𝑣 de 𝑥 ao quadrado. Isso geralmente é escrito de forma mais sucinta, utilizando a notação primária, como a seguir. 𝑢 sobre 𝑣 linha é igual a 𝑣𝑢 linha menos 𝑢𝑣 linha tudo sobre 𝑣 ao quadrado. Antes de aplicar a regra do quociente, vale a pena verificar se é possível simplificar a expressão para a função. Isto é particularmente relevante quando a função é expressa como a soma ou diferença de duas expressões racionais.

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