Vídeo: Encontrando o Ponto que Maximiza a Função Objetivo dado o Gráfico das Restrições

Utilizando a programação linear, encontre os valores mínimo e máximo da função 𝑝 = 4𝑥 - 3𝑦, dado que 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑥 + 𝑦 ≤ 9 e 𝑦 ≥ 5.

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Usando programação linear, encontre os valores mínimo e máximo da função 𝑝 é igual a quatro 𝑥 menos três 𝑦, dado que 𝑥 é maior ou igual a zero, 𝑦 é maior ou igual a zero, 𝑥 mais 𝑦 é menor ou igual a nove e 𝑦 é maior ou igual a cinco.

Temos quatro inequações lineares nas variáveis ​​𝑥 e 𝑦, e essas são nossas restrições. Além do texto da pergunta, também temos um gráfico em que a região viável foi sombreada; esse é o conjunto de todas as soluções possíveis. Esta região sombreada mostra onde as restrições se mantêm. Este é um conjunto de soluções viáveis, que é o domínio para a nossa função objetivo que temos que maximizar ou minimizar, ou nesta questão ambas.

Em nosso problema, a região viável é um triângulo. Em geral, a região viável será um polígono para um problema de programação linear. E a questão nos pede para encontrarmos os valores extremos de nossa função objetivo 𝑝 é igual a quatro 𝑥 menos três 𝑦 nessa região viável; isto é, onde 𝑥 e 𝑦 são as coordenadas 𝑥 e 𝑦 de um ponto na região viável. E você pode pensar que isso será difícil, pois teremos que verificar o valor dessa função para cada ponto desse triângulo, mas na verdade só precisamos verificar os vértices.

Os valores máximo e mínimo de uma função objetivo linear, como a que temos, são sempre alcançados nos vértices da região viável. Nós apenas temos que calcular esta função, portanto, nos três vértices. Então, qual é o valor da função no vértice zero, nove? Nossa função objetivo 𝑝 é quatro 𝑥 menos três 𝑦. Nosso valor de 𝑥 é zero e nosso valor de 𝑦 é nove. Então, temos quatro vezes zero menos três vezes nove, o que é menos 27.

E é o mesmo processo para o vértice zero, cinco. Nossa função objetivo é quatro 𝑥 menos três 𝑦. E substituindo os valores de 𝑥 e 𝑦, obtemos que o valor da função objetivo neste ponto é menos 15. E, finalmente, temos o vértice quatro, cinco para o qual a função objetivo é quatro vezes quatro menos três vezes cinco, o que é um.

Os valores da função objetivo nos vértices são menos 27, menos 15 e um. Destes três valores, o valor mínimo é menos 27 e o valor máximo é um. E estes não são apenas os valores mínimo e máximo nos vértices da região viável; eles são os valores mínimo e máximo em toda a região factível, incluindo o interior e as bordas.

E assim, os valores mínimo e máximo da função 𝑝 é igual a quatro 𝑥 menos três 𝑦, dado que 𝑥 é maior ou igual a zero, 𝑦 é maior ou igual a zero, 𝑥 mais 𝑦 é menor ou igual a nove e 𝑦 é maior ou igual a cinco são menos 27 e um.

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