Vídeo: Como você resolve quebra-cabeças de números?

Neste vídeo, analisamos duas maneiras muito diferentes de resolver um quebra-cabeça matemático sobre razão e proporção. Descubra se você prefere o concreto, ou a abordagem abstrata, e considere tentar o outro na próxima vez que tentar resolver um quebra-cabeça.

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Transcrição do vídeo

Você gosta de visualizar seus problemas numéricos ou nada faz seu sangue correr mais rápido com excitação do que um pouco da boa e velha álgebra? Neste vídeo, vamos pegar um quebra-cabeça com números simples e analisar duas maneiras muito diferentes de resolvê-lo. Uma delas é algo chamado modelo de barra, que está sendo cada vez mais usado em escolas de todo o mundo após seu sucesso em Cingapura e na Ásia, e o outro usa a álgebra para configurar e resolver algumas equações.

Ok, aqui está o enigma.

James tem oito anos. Seu tio, John, tem 32 anos. Quantos anos James terá quando John tiver o dobro da idade de James?

Então, é uma questão de razão e proporção. E salta de uma afirmação muito concreta sobre as idades de James e John agora para uma questão abstrata sobre um tempo futuro em que John terá o dobro da idade de James. Você pode pensar em muitas maneiras diferentes de abordar a questão. Mas vamos começar usando o método da barra. Se não soubermos como abordar as coisas, podemos extrair o que sabemos usando um diagrama para que possamos começar a trabalhar com o cérebro e visualizar a situação.

Bem, aqui está James, de oito anos, e John, de 32 anos, isso não nos deu muito conhecimento. Mas podemos ver que John é quatro vezes mais velho que James no momento e estamos procurando o momento em que John será duas vezes mais velho que James. Ok, talvez essa foto não tenha sido muito útil. Mas se representamos a idade deles usando barras em uma escala consistente, James tem oito anos e John tem 32 anos e a diferença em suas idades é 32 menos oito, que é 24. E a diferença em suas idades será sempre de 24 anos porque a cada ano James fica um ano mais velho, John também terá um ano a mais. Por exemplo, daqui a um ano, James terá nove anos e John, 33. A diferença ainda será 24.

Agora, precisamos pensar sobre o momento em que John é duas vezes mais velho que James. Então, desenhei isso em um diagrama diferente, com uma escala diferente. O comprimento da barra representando a idade de James e essa diferença entre as barras são as mesmas porque John é duas vezes mais velho que James ou James tem metade da idade de John. Bem, nós sabemos que a diferença em suas idades é sempre 24. Então eu posso escrever isso aqui. Porque sabemos que esses dois comprimentos são os mesmos, também podemos escrever 24 aqui. Nesse momento, James terá 24 anos e John será duas vezes 24, que é 48.

Agora, lembre-se de que a questão era, na verdade, quantos anos James terá quando John for o dobro da idade de James. Então a resposta é que James terá 24 anos quando John for o dobro da idade de James. Esta representação visual das idades com as barras criou um verdadeiro momento “aha”, onde você pode ver que uma barra aqui tinha metade do comprimento da outra barra e você sabia que a diferença era 24. Com essa abordagem, qualquer um pode resolver o problema.

Ok, agora vamos voltar e fazer o quebra-cabeça novamente usando álgebra.

James tem oito anos. Seu tio John tem 32 anos. Quantos anos James terá quando John tiver o dobro da idade de James?

Primeiro, vamos definir algumas variáveis. Seja 𝑎 a idade de James em anos e seja 𝑏 a idade de John em anos. Agora, podemos resolver uma forma geral do nosso problema. Pense que James tem 𝑎 anos e seu tio John tem 𝑏 anos, quantos anos James terá quando John for o dobro da idade de James? Agora, podemos deixar 𝑛 ser o número de anos que devem passar para que John tenha o dobro da idade de James. Então, sabemos que daqui a 𝑛 anos, James terá 𝑎 mais 𝑛 anos e John terá 𝑏 mais 𝑛 anos. Mas também sabemos que daqui a 𝑛 anos, John terá duas vezes a idade de James. Então, podemos dizer que duas vezes a idade de James em 𝑛 anos é igual à idade de John em 𝑛 anos. Algebricamente, duas vezes 𝑎 mais 𝑛 é igual a 𝑏 mais 𝑛.

Agora, podemos realizar algumas manipulações algébricas para descobrir quantos anos devem passar antes que John tenha duas vezes a idade de James e quantos anos James terá na época. Então, sabemos que em 𝑛 anos, duas vezes 𝑎 mais 𝑛 é igual a 𝑏 mais 𝑛. Então multiplicando esses dois pelos parênteses no lado esquerdo da equação usando a propriedade distributiva nos dá dois 𝑎 mais dois 𝑛 é igual a 𝑏 mais 𝑛. Então, subtraindo 𝑛 de ambos os lados da equação nos deixa com dois 𝑎 mais um 𝑛 é igual a apenas 𝑏. E, finalmente, subtraindo dois 𝑎 de cada lado nos dá uma expressão para 𝑛 em termos de 𝑎 e 𝑏.

Mas sabemos que James tinha oito anos para começar. Então, 𝑎 é igual a oito. E sabemos que John tinha 32 anos para começar. Então, 𝑏 é 32. Então, vamos substituir esses números nessa equação. Isso nos dá 𝑛 é igual a 32 menos duas vezes oito. E duas vezes oito é 16. Então 𝑛 é 32 menos 16 e 32 menos 16 são apenas 16. Então 𝑛 é 16. Serão 16 anos quando James tiver metade da idade de John. E isso significa que James terá oito mais 16 anos. Isso é 24 anos na época.

E aqui, nós temos isso. Nós temos a mesma resposta. Mas fizemos uma jornada bem diferente. Cada método tem suas próprias vantagens e desvantagens. Por exemplo, usando a álgebra, você desenvolveu uma solução geral que poderia ser facilmente adaptada se recebesse números iniciais diferentes e estivesse desenvolvendo habilidades que o ajudariam a criar planilhas ou a escrever programas de computador. Com o método da barra, você pode visualizar, resolver e verificar facilmente o problema sem precisar pensar em fórmulas abstratas.

Então, nós provavelmente temos todas as nossas formas preferidas de resolver problemas. Alguns de nós gostam de adotar uma abordagem concreta e visualizar um problema específico, enquanto outros preferem trabalhar de maneira abstrata e generalizada usando a álgebra. De qualquer maneira, pode ser útil ter tempo para tentar resolver problemas usando outro método para nos dar uma maneira diferente de ver e analisar o mundo ao nosso redor.

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